全息技术第五辑平面全息图衍射效率

(入射波)
0
Reflected waves
(反射衍射波)
-1 dn n d Λ ε +1 -1 0 z Transmitted waves
(透射衍射波)
3
θ ε
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ε ε
3
1
Region 1(区域 1) x Region 2(区域 2) Region 3(Q 区域 3) 区 域
图1.表面浮雕光栅的结构

i
ri
ti
光栅的标量衍射理论
设单个周期的振幅透过率用函数f(x)表示， 则整个光栅的透过率函数是： 1 x （11） T ( x ) f ( x ) comb ( )
对(11)式进行傅里叶变换得到：
1 F T ( x ) F ( ) comb ( )
3λ 0.0025 2 0.0099 9 0.0385 0 0.0818 0 0.1360 0
5λ 0.0024 4 0.0097 0 0.0380 0 0.0810 0 0.1350 0
7λ 0.0024 2 0.0096 0 0.0374 0 0.0806 0 0.1350 0
10λ 0.0024 1 0.0095 6 0.0373 0 0.0804 0 0.1350 0
• 对于不同类型的光栅往往用不同的理论来 分析计算它们的衍射效率
• 这些理论一般可以划分为二大类：一是标 量衍射理论；一是矢量衍射理论。已有许 多专著详尽地介绍了标量衍射理论。矢量 衍射理论是分析光栅衍射的严格方法，其 可以分为两大类：积分方法和微分方法。 在微分方法中，严格耦合波理论和模态理 论是两种最广泛使用的分析方法，有报道 指出这两种方法实质上是等价的。
一般的表面浮雕光栅的衍射问题如图1所示。 光栅的周期为Λ ，槽深为d。
这里我们只给出入射光是TE偏振（电场矢量 平行于光栅刻槽方向）情况下的理论公式， 对于TM偏振情况同样可以采用本文的方法， 只是表达式略有点不同。为了简单起见，在 以下的分析中，都不考虑介质的吸收。
Incident wave +1
具体的算法可参考文献：M.G.Moharam，etal.Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings:enhanced transmittance matrix approach[J]. J.Opt.Soc.Am.， 1995，A12(5):1077～1086.
• 在理想情况下t(x) 可在0到1之间变化。当 t0=1/2,t1=1/2 时，能达到这一最大变化范围。此时：
1 1 1 1 j 2x t(x ) cos 2x e e j 2x 2 2 2 4


(2.5.2)
假定用振幅为C0 的平面波垂直照明全息图，则透射光 场为： 1 1 U t ( x) C0t ( x) C0 C0 e j 2x e j 2x (2.5.3) 2 4 • 对于与再现像有关的正、负一级衍射光，它们的强 度为(C0/4)2。因此，衍射效率为： (2.5.4) (C0 / 4) 2 S H 1
则反射和透射的各级衍射波的衍射效率为：
DE ri Ri Ri Re(

k1, zi k 0 1 cos
)
DE ti TiTi Re(

k 3 , zi k 0 1 cos
)
(9)
在这里没有考虑介质的损耗，故所有级次的 衍射效率总和应为1，即： (10) DE DE 1
i
i
exp{ j [ k xi x k 3 , z i ( z d )]} (3)
这里Ri是第i级反射衍射波的振幅；Ti是第i级 透射衍射波的振幅
在区域2，第n薄层的电场、磁场可以表示 为空间谐波的傅里叶级数展开：
E 2 y , n S i , n ( z ) exp( jk xi x )
• 当物光波和参考光波都是平面波时，记录 的是正弦型振幅全息图，其振幅透过率可 表示为： 1 (2.5.1) t ( x) t t cos 2x t t e j 2x e j 2x
0 1 0
2
1
式中： 为全息图上条纹的空间频率； t0为平均透射系数； t1为调制幅度，它与记录时参考光和物光 光束之比以及记录介质的调制传递函数有关。
i
H 2 x,n
0 12 j ( ) U i , n ( z ) exp( jk xi x ) 0 i
(4)
在第n层光栅区域，场振幅满足Maxwell方 程组： E
2 y,n
z H 2 x ,n H 2 z , n j 0 n ( x , z n ) E 2 y , n z z
0.0099
0.0387
0.0835
0.1399
0.5 λ
0.2880 0
0.2220 0
0.1980 0
0.1970 0
0.1955 0
0.1950 0
0.2025
• 由表1、表2，可看出在Λ =λ 时，两种方法的 结果相差很大，在表1中，此时的±1级的衍射 效率在二种不同的方法中，其相对误差达到了 229%，在表2中，此时的±1级的衍射效率的相 对误差也达到了70%左右。而在Λ ≥2λ 时，两 种方法的差别就不是很明显了，此时的±1级 的衍射效率的相对误差仅仅在7%左右。 • 对于矩形位相光栅，当周期等于波长或小于波 长时，必须使用严格的耦合波理论来分析；在 周期Λ ≥2λ 时，我们就已经可以使用光栅的 标量衍射理论对所要求的衍射效率进行大致的 估算了。
表2. 矩形光栅在不同的周期、槽深下的±1级衍射效率
Scalar η (±1) 0.0025
Λ d 0.05 λ 0.1 λ 0.2 λ 0.3 λ 0.4 λ
λ 0.0089 0 0.0350 0 0.1280 0 0.2360 0 0.2900 0
2λ 0.0027 0 0.0107 0 0.0411 0 0.0922 0 0.1590 0
• 用耦合波理论计算衍射效率时，衍射效率与入 射光的波长、光栅周期、光栅深度以及介质的 介电常量的大小都有关系；而在光栅的标量衍 射理论中，通过对(14)式的仔细分析可以得到： 对于振幅型的光栅，衍射效率只与占空比有关； 对于位相型的光栅，衍射效率与由于表面浮雕 或折射率调制引起的位相延迟有关。 • 耦合波理论对于衍射效率的计算同时确定了反 射和透射衍射波的衍射效率；而在光栅的标量 衍射理论中，只能计算透射衍射波的衍射效率。 •
i 1 i i i

当单位振幅的平面波垂直入射光栅时，如 此时的光栅的透过率可以表示透过光栅后 的场振幅，则可以用上式分析各级光的衍 射效率： 2 1 i i F ( ) (14)

分析和比较
• • • • 理论上的分析与比较 矩形光栅在不同的周期下的比较 矩形光栅在不同的周期、槽深下的比较 其他槽形光栅在不同的周期下的比较
表1. 耦合波理论与光栅的标量衍射理论比较 Table 1. Comparison between coupled-wave theory and Scalar diffraction theory
Diffraction efficiency Λ =λ Coupledwave theory Λ =2λ Λ =3λ Λ =4λ Λ =5λ 0 0.7310 0.0793 0.0332 0.0197 0.0125 ±1 0.1230 0.3600 0.3810 0.3850 0.3820 ±2 0 0.0866 0.0403 0.0233 0.0141 ±3 0 0 0.0397 0.0316 0.0322
j 0 H 2 x , n
(5)
将(4)式代入(5)式得到耦合波方程：
S i,n ( z ) k 0U i , n ( z ) z
U i , n ( z ) k xi 2 Si,n ( z ) k0 i p,n S p,n ( z ) z k0 p
(6)
(7)
h
其中 h ,n
~
1


0
f ( x , z n ) exp( jhKx ) dx
在区域1中总的电场是入射平面波与反射衍 射波的叠加，即： E1 E inc R i exp[ j ( k xi x k1, zi z )] (2) 区域3中的电场为：
E3
i
T
把(6)、(7)式写成矩阵形式，经过整理后有：
[ S i,n ( z ' ) ] [ An ][S i,n ]
2 2
(8)
这里的A是(s×s)的矩阵，s是在场的展开中保 留的空间谐波的数目，使用本征值法求解(8) 式 ，解得 Si,n(z) ，Ui,n(z) 。最后，由边界条件要 求电场矢量在切向，磁场矢量在法向上连续， 由此可求得未知量 Ri，Ti
i i F ( ) ( )
(12)
由(12)式可以将(11)式写成傅里叶变换形式：
T ( x ) F T ( x ) exp( j 2 x ) d
1 F (0)
F ( )[exp( j 2 x ) exp( j 2 x )] (13)

C SH
2 0

16
6.25%
• 可见，矩形函数全息图一级像的衍射效率较正 弦型全息图的为高。但矩形光栅具有较高级次 的衍射波。计算机产生的全息图就可能是矩形 光栅型全息图。这样，我们看到通过改变透射 函数的波型，就可适当提高衍射效率。例如， 用非线性显影就可以提高一级像的衍射效率。
2.5.2 相位全息图的衍射效率
矩形光栅在不同的周期下的比较
• 在已有的文献中大多认为：标量衍射理论的适用 范围是光栅周期Λ ＞5λ 。 • 计算一个实例：ε 1=1，ε 3=2.25，垂直入射，光 栅是表面浮雕型的矩形光栅，其占空比为0.5，槽 深d=λ ，我们首先使用光栅的标量衍射理论计算 出其各级的衍射效率，然后我们使用耦合波理论 来计算周期Λ =λ ，2λ ，3λ ，4λ ，5λ ，10λ 时 透射衍射波的各级衍射效率，结果如表1所示。
理论上的分析与比较
• 从推导的过程来看，耦合波理论是没有近似的严 格理论 ；而光栅的标量衍射理论是简单直观的， 是通过光栅透射系数和透射场振幅的关系，推导 出光栅各级衍射光的衍射效率。
• 在耦合波理论中，计算衍射效率时要区分TE偏振、 TM偏振，其在不同的入射波的偏振状态下，计算 的公式是不同的；而在光栅的标量衍射理论中， 没有考虑入射波的偏振状态。
2.5 平面全息图的衍射效率
• 全息图的衍射效率直接关系到全息再现像 的亮度。通常把它定义为全息图的一级衍 射成像光通量与照明全息图的总光通量之 比。要注意的是，平面全息图和体积全息 图衍射效率的公式是不相同的。这里只讨 论平面全息图的情况，对于平面全息图又 有振幅调制和相位调制
2.5.1 振幅全息图的衍射效率
• 对于矩形光栅形式的相位全息图的衍射效 率，计算表明其正、负一级的最大衍射效 率为： 2
2 1 40.4%
• 各种全息图衍射效率理论最大值
全息图类型 平 面 透 射 型
调制方式
余弦振幅
矩形振幅
余弦位相
矩形位相
衍射效率
0．063
0．101
0．339
0．404
严格耦合波理论
区域2（光栅区）包含了两种介质的周期分布 ，其相对介电常量为一周期函数。 在区域2，我们把它分成N层，其第n层的厚 度是dn，每一个薄层光栅的相对介电常量是 一周期函数，可以用傅里叶级数展开为： ~ n ( x , z n ) 1 ( 3 1 ) h , n exp( jhKx ) (1)
Λ =10λ
Scalar theory diffraction
0.0031
0
0.3880
0.4050
0.0032
0
0.0425
0.0450
矩形光栅在不同的周期、槽深下的比较
• 先用标量衍射理论来计算d=0.05λ ，0.1λ ， 0.2λ ，0.3λ ，0.4λ ，0.5λ 时的±1级衍 射效率，结果如表2所示。 • 再用耦合波理论来计算在光栅周期Λ =λ ， 2λ ，3λ ，5λ ，7λ ，10λ 时，不同的d情 况下的±1级的衍射效率，其结果如表3所 示。