1.2 数列的极限 导学-答案

1.2数列的极限 导学答案
一、相关问题
1. 了解我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法，说明这一方法的逼近过程；（参见讲义引例）
2.说明函数与数列之间的关系（参见讲义相关内容）
二、相关知识
1. 构造一个数列，从几何上描述数列收敛的过程；
2. 写出数列极限的精确定义.
三、练习题
1. 下列说法是否可以作为a 是数列{}n x 的极限的定义？为什么？
(1) 对0ε∀>，N ∃∈ ，当n > 时，不等式n x a ε-≤成立；
(2) 对于无穷多个0ε>，N ∃∈ ，当n > 时，不等式n x a ε-<成立；
(3) 对于任给的0ε>，N ∃∈ ，当n > 时，有无穷多项n x ，使得不等式n x a ε-<成立；
(4) 对于给定的10010ε-=，不等式1010
n x a --≤恒成立. 解：（1）可以
（211n n
ε=+
（3{(1)}n n x a =+-
（4）不可以，反例：11{10}n x a -=+
2. 判断数列{sin ,}8
n n x n π=∈ 的收敛性. 解：此处考察的是收敛数列与其子数列间的关系.
在{sin ,}8
n n x n π=∈ 中取如下两个子列： 8{sin ,}8k k π∈ ，即8168{sin ,sin ,,sin ,}888
k πππ ， (164){sin ,}8k k π+∈ ，即2036(164){sin ,sin ,,sin ,}888
k πππ+ ，
显然，第一个子列收敛于0，第二个子列收敛于1，因此原数列发散.
3. 用数列极限的定义（N ε-语言）证明：
（1）1lim sin 02n n n π→∞= （2
）lim 1n n
→∞= 证：（1）111sin 0sin 22n n n x A n n n
ππ-=-=≤ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有 1n x A n ε-≤
< 因此，有1lim sin 02
n n n π→∞=. （2
）
211n a a n -=-==< 故对0ε∀>，取21a N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n N >
1ε-<， 因此有，
1n →∞=. 4. 若lim n n x a →∞=，证明lim n n x a →∞
=。

反之是否成立？ 解：由于n n x a x a -≤-，所以0ε∀>，0N ∃>，当n N >，有n x a ε-< 从而n n x a x a ε-≤-<，故有lim n n x a →∞
=. 反之未必成立。

例如，令()1n
n x =-，则有lim 1n n x →∞=，但是lim n n x →∞不存在. 四、思考题
1.若{}n x 和{}n y 是两个发散数列，它们的和与积是否发散？若其中一个收敛，一个发散，它们的和与积的收敛性又如何？
解：发散数列的和与积都不一定发散，例如 {(1)}n n x =-，1{(1)}n n y +=-，{}n x 和
{}n y 都是发散数列，但是{}{0,0,n n x y +=
是收敛于0的收敛数列，
{}{1,1,}n n x y ⋅=--L 是收敛于1-的收敛数列.
若其中一个收敛，一个发散，它们的和必定发散，积不一定收敛，例如⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1和{}2n .
2. 说明数列收敛与其子列收敛的关系.
解：若数列{}n x 是收敛的，则由Cauchy 收敛准则，其任意子列{}k n x 一定收敛的，反之，若数列{}n x 有两个不同的子列收敛于不同的极限，则数列{}n x 发散.。