【创新设计】2021届高考数学一轮总温习 基础回扣练 推理证明、算法、复数 理 苏教版(1)

基础回扣练——推理证明、算法、复数
(建议历时：60分钟)
一、填空题
1．(2021·北京卷改编)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于第________象限．
解析 因为i(2－i)＝1＋2i ，因此对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限．
答案 一
2．(2021·辽宁卷改编)复数z ＝1i －1
的模为________． 解析 z ＝1i －1
＝－1－i －1＋i －1－i ＝－12－12i ， ∴|z |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案
2
2 3．(2021·韶关调研)假设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i
，那么a ＋b ＝________. 解析 由已知得a i ＋i 2＝b ＋(2＋i)，
即－1＋a i ＝(b ＋2)＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋2＝－1，a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－3，
∴a ＋b ＝1－3＝－2.
答案 －2
4．(2021·佛山二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，那么复数z 的虚部是________．
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1，
∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝±
3. 答案 ±3 5．(2021·青岛一模)某流程图如下图，假设a ＝3，那么该程序运行后，输出的x 值为________．
解析 第一次循环：x ＝2×3＋1＝7，n ＝2；
第二次循环：x ＝2×7＋1＝15，n ＝3；
第三次循环：x ＝2×15＋1＝31，n ＝4.
现在不知足条件，输出x ＝31.
答案 31
6．(2021·徐州一模)执行如下图的流程图，那么输出n 的值为________．
解析 第一次循环，n ＝1，S ＝1＋2＝3；第二次循环，n ＝2，S ＝2×3＋2＝8；第三次循环，n ＝3，S ＝3×8＋2＝26；第四次循环，n ＝4，S ＝4×26＋2＝106，现在知足条件，输出n ＝4.
答案 4
7. (2021·绍兴模拟)已知某流程图如下图，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13
，那么在空白的赋值框处应填入的关系式能够是________．
①y ＝x 3；②y ＝x 13
；③y ＝3x ；④y ＝3－x . 解析 由流程图可知，当输入的x 的值为5时，
第一次运行，x ＝5－2＝3；
第二次运行，x ＝3－2＝1；
第三次运行，x ＝1－2＝－1，
现在x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13
，只有③中的函数y ＝3x 符合要求． 答案 ③
8. (2021·咸阳模拟)某算法的流程图如下图，若是输出的结果为5,57，那么判定框内应为________．
①k ≤6；②k ＞4；③k ＞5；④k ≤5.
解析 当k ＝1时，S ＝2×0＋1＝1；当k ＝2时，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，由题意知现在退出循环．
答案 ②
9．(2021·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是第________列． 解析 正奇数从小到大排，那么89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．
答案 四
10．(2021·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，而且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．假设a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，那么a 2＋b 2＝c 2，称那个定理为勾股定理．现将这必然理推行到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为极点O 所对面的面积，S 1，
S 2，S 3别离为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，那么S ，S 1，S 2，S 3知足的关系式为________．
①S 2＝S 21＋S 22＋S 23；②S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23；③S ＝S 1＋S 2＋S 3；④S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3
. 解析 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝1
4BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23
. 答案 ①
11．(2021·湛江二模)已知i 是虚数单位，那么2
1＋i
＝________. 解析 21＋i ＝1－i. 答案 1－i
12．(2021·无锡一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i
为纯虚数，那么实数a ＝________. 解析 1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a 5＋2a ＋15
i ， 由题意知：2－a 5
＝0，∴a ＝2. 答案 2
13．(2021·浙江卷)假设某流程图如下图，那么该程序运行后输出的值等于________．
解析 第一步：S ＝1＋12＝32
，k ＝2； 第二步：S ＝32＋12×3＝53
，k ＝3； 第三步：S ＝53＋13×4＝74
，k ＝4； 第四步：S ＝74＋14×5＝95
，k ＝5， 终止循环．输出S ＝95
.
答案 95 14．(2021·泰安一模)假设流程图如下图，那么该程序运行后输出k 的值为________． 解析 第一次：n ＝3×5＋1＝16，k ＝1；
第二次：n ＝162
＝8，k ＝2； 第三次：n ＝82
＝4，k ＝3； 第四次：n ＝42
＝2，k ＝4； 第五次：n ＝22
＝1，k ＝5， 现在知足条件，输出k ＝5.
答案 5
15．(2021·陕西卷)观看以劣等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n 个等式可为________．
解析 观看规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12. 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12
16．(2021·兰州质检)在平面几何中有如下结论：假设正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，那么S 1S 2＝14
.推行到空间几何能够取得类似结论：假设正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，那么V 1
V 2＝________.
解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，
因此V 1
V 2＝127
. 答案
127 二、解答题
17．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立．
(1)求a 2的取值范围；
(2)判定数列{a n }可否为等比数列，并说明理由． 解 (1)因为{a n }是单调递增数列，因此a 2＞a 1，即a 2＞2. 又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，那么有2a 1≥a 2，即a 2≤4，因此a 2∈(2,4]．
(2)数列{a n }不能为等比数列．
用反证法证明：
假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }单调递增，因此q ＞1.
因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立，
因此对任意n ∈N *，都有1＋1n
≥q n .① 因为q ＞1，因此存在n 0∈N *，
使适当n ≥n 0时，q n ＞2.
因为1＋1n
≤2(n ∈N *)． 因此存在n 0∈N *，使适当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n ，与①矛盾，故假设不成立．
18．(2021·常德模拟)设a ＞0，f (x )＝ax
a ＋x ，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.
(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a
3＋a .
猜想a n ＝
a
n－1＋a(
n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k时猜想正确，
即a k＝
a
k－1＋a，
则a k＋1＝f(a k)＝
a·a k
a＋a k＝
a·
a
k－1＋a
a＋
a
k－1＋a
＝
a
k－1＋a＋1＝
a
[k＋1－1]＋a
.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，关于任何n∈N*，都有a n＝
a
n－1＋a.。