河北省石家庄28中学2025届数学九上开学联考试题【含答案】

河北省石家庄28中学2025届数学九上开学联考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）若a 为有理数，且满足|a |+a=0，则（）A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ＜0D ．a ≤03、（4分）下列式子：2x ，5a b +，22x π--，52y ab +，其中分式的数量有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（4分）下列各组数中，以a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形的是（）
A ．a=1、b=2、
B ．a=1.5、b=2、c=3
C ．a=6、b=8、c=10
D ．a=3、b=4、c=5
5、（4分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100︒的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（）
A ．2550︒︒或
B ．2050︒︒或
C ．4050︒︒或
D ．4080︒︒或6、（4分）小明随机写了一串数字“1，2，3，3，2，1，1，1，2，2，3，3，”，则数字3出现的频数（）A ．6B ．5C ．4D ．37、（4分）已知一次函数y ＝kx ﹣b （k≠0）图象如图所示，则kx ﹣1＜b 的解集为（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞0D ．x ＜08、（4分）若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（）A ．11a b -<-B ．22a b <C ．33a b ->-D ．22a b <二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式：322a a a -+=________．10、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=45°，cm ，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．
11、（4分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个.设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为.
12、（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣7，m +1）在第三象限，则m 的取值范围是_____．
13、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD
于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在y 轴上，C 在x 轴上，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线翻折，点B 恰好落在反比例函数()0k y k x =≠的图象上的点'B 处，'CB 与y 轴交于点D ，已知'2DB =，30ACB ∠=．()1求的度数；()2求反比例函数()0k y k x =≠的函数表达式；()3若Q 是反比例函数()0k y k x =≠图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P ，使以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．15、（8分）甲、乙两家文化用品商场平时以同样价格出售相同的商品.六一期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品一律按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
（1）分别写出两家商场购物金额y （元）与商品原价x （元）的函数解析式；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象；（3）六一期间如何选择这两家商场购物更省钱？16、（8分）阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x 2+x +a 有一个因式是（x +2），求另一个因式以及a 的值解：设另一个因式是（2x +b ），根据题意，得2x 2+x +a =(x +2)(2x +b )，展开，得2x 2+x +a =2x 2+(b +4)x +2b ，所以412b a b +=⎧⎨=⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，所以，另一个因式是（2x −3），a 的值是−6.请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x 2+10x +m 有一个因式是（x +4），求另一个因式以及m 的值.17、（10分）某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产种类甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（2）如果装运每辆土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
18、（10分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥，DF BC ⊥，E ，F 是垂足，那么四边形CEDF 是正方形吗？说出理由．
B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只有出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示，则进水速度是______升/分，出水速度是______升/分，a 的值为______.20、（4分）已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是_________.21、（4分）如图，三个正方形中，其中两个正方形的面积分别是100，36，则字母A 所代表的正方形的边长是_____．
22、（4分）某企业两年前创办时的资金为1000万元，现在已有资金1210万元，设该企业两年内资金的年平均增长率是x ，则根据题意可列出方程：______．
23、（4分）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程，他把一元二次方程写成的形式，并将方程左边的
看作是由一个正方形(边长为)和两个同样的矩形(一边长为，另一边长为)构成的
矩尺形，它的面积为，如图所示。

于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表小为：___________,整理，得，因为表示边长，所以___________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）（1）011(3)()12π---++；（2-25、（10分）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是每秒1个单位，连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为t 秒（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当6t =时，判断四边形AQCP 的形状，并说明理由；
26、（12分）如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．
（1）求证：∠FBC ＝∠CDF ；
（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ，猜想线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0，∵一次函数y=x+k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y=x+k 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．故选：A．本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点坐标为（0，b）．2、D 【解析】试题解析：0a a +=，a a ，∴=-0a ∴≤，即a 为负数或1．故选D ．3、B
【解析】
根据分式定义：如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式进行分析即可．
【详解】
解：2x ，52y
ab +是分式，共2个，
故选：B ．此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是A B 的形式，从本质上看分母必须含有字母．4、B 【解析】“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形.”【详解】解：A.12+2=22; B.1.52+22≠32;C.62+82=102; D.32+42=52.故选B ．本题考核知识点：勾股定理逆定理.解题关键点：理解勾股定理逆定理的意义.5、C 【解析】折痕为AC 与BD ，∠BAD=100°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=40°，易得∠BAC=50°，所以剪口与折痕所成的角a 的度数应为40°或50°．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD=12∠ABC ，∠BAC=12∠BAD ，AD ∥BC ，
∵∠BAD=100°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，
∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．
∴剪口与折痕所成的角a 的度数应为40°或50°．
故选：C ．
此题考查菱形的判定，折叠问题，解题关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
6、C
【解析】
根据频数的定义可直接得出答案
【详解】
解：∵该串数字中，数字3出现了1次，
∴数字3出现的频数为1．
故选：C．
本题是对频数定义的考查，即频数是表示一组数据中符合条件的对象出现的次数．
7、C
【解析】
将kx-1＜b转换为kx-b＜1，再根据函数图像求解.
【详解】
由kx-1＜b得到：kx-b＜1．
∵从图象可知：直线与y轴交点的坐标为（2，1），
∴不等式kx-b＜1的解集是x＞2，
∴kx-1＜b的解集为x＞2．
故选C．
本题考查的是一次函数的图像，熟练掌握函数图像是解题的关键.
8、D
【解析】
由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【详解】
A.在不等式a<b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1<b−1，故本选项错误；
B.在不等式a<b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a<2b，故本选项错误；
C.在不等式a<b的两边同时乘以1
3-,不等号的方向改变，即33
a b
->-，故本选项错误；
D.当a=−5,b=1时,不等式a2<b2不成立，故本选项正确；故选：D.
本题考查不等式的性质，在利用不等式的性质时需注意，在给不等式的两边同时乘以或除以
某数（或式）时，需判断这个数（或式）的正负，从而判断改不改变不等号的方向.解决本题时还需注意，要判断一个结论错误，只需要举一个反例即可.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、2(1)a a -【解析】
利用提公因式完全平方公式分解因式．【详解】
3222
2(21)(1)a a a a a a a a -+=-+=-故答案为：2
(1)a a -利用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式．10、1【解析】
分析：过点D 作DE ⊥AB ，根据等腰直角三角形ADE 的性质求出DE 的长度，从而得出答案．
详解：过点D 作DE ⊥AB ，∵∠A=45°，DE ⊥AB ，∴△ADE 为等腰直角三角形，∵AD=BC=，
∴DE=1cm ，即AB 与CD 之间的距离为1cm ．
点睛：本题主要考查的是等腰直角三角形的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是作出线段之间的距离，根据直角三角形得出答案．11、
10801080
1215
x x =++【解析】
单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B 型包装箱的数量+12=所用A 型包装箱的数量，由此可得到所求的方程【详解】
解：根据题意，得：10801080
1215
x x =++12、m<-1【解析】
根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式，然后求解即可.
【详解】
：∵点(7-，1m +)在第三象限，∴m+1<0，
解不等式得，m<-1，所以，m 的取值范围是m<-1.故答案为m<-1.
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.13、【解析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥，∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE,∴1
12
CF EF CE ===，∴BF =
==．
∴平行四边形ABCD 的面积为5BF CD ⋅==．故答案为：.
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）30．（2）33y x =
．（3）满足条件的点P 坐标为1,02P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,03P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭，5,02P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．【解析】
（1）'90906030B CO BCB '∠=-∠=-=;（2）求出B ’的坐标即可；
（3）分五种情况，分别画出图形可解决问题.【详解】解：()
1四边形ABCO 是矩形，
90BCO ∴∠=，
'30ACB ACB ∠=∠=，'906030B CO ∴∠=-=．
()2如图1中，作'B H x ⊥轴于H ．
'30DAC DAC DAB ∠=∠=∠=，
2'4AD CD DB ∴===，
'6CB ∴=，'3B H =，CH =，CO =OH ∴=)
'
B ∴，
反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象经过点'B ，k ∴=y x
∴=
．()3如图2中，作//DQ x 轴交y x =于33,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，以DQ 为边构造平行四边形可得13,02P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，273,03P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
；
如图3中，作'//CQ OA 交y x
=
于3'2Q ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，以'CQ 为边构造平行四边形可得
370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；如图4中，当,22Q ⎛⎫"-- ⎪ ⎪⎝⎭，以CQ "为边构造平行四边形可得5,02P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
综上所述，满足条件的点P 坐标为1,02P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,03P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭，5,02P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．本题考核知识点：反比例函数，矩形，翻折，直角三角形等综合知识.解题关键点：作辅助线，数形结合，分类讨论.
15、（1）甲商场：y=0.8x ，乙商场：y=x （0≤x≤200），y=0.7x+60（x ＞200）；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】
（1）根据题中描述的数量关系分别写出甲商场和乙商场中，y 与x 的函数关系即可（其中乙商场需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论）；（2）根据（1）中所得函数关系式按要求画出函数图象即可；（3）根据（1）中所得函数关系式分0.8x<0.7x+60、0.8x=0.7x+60、0.8x>0.7x+60
三种情况进行解答即可得到相应的结论.
【详解】
解：（1）甲商场：y ＝0.8x ，乙商场：y ＝x （0≤x ≤200），y ＝0.7（x ﹣200）+200＝0.7x +60，即y ＝0.7x +60（x ＞200）；（2）如图所示；
（3）①由0.8x<0.7x+60解得：x<600；②由0.8x=0.7x+60解得：x=600；③由0.8x>0.7x+60解得x>600，
∴当x=600时，甲、乙商场购物花钱相等；当x<600时，在甲商场购物更省钱；当x>600时，在乙商场购物更省钱.
本题考查了一次函数的应用，解决第（1）小题时，需注意乙商场中：y 与x 的函数关系式需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论；解第（2）小题时，需分三种情况分别讨论，再作出相应的结论.
16、另一个因式是（3x-2），m 的值是-8【解析】
设另一个因式为（3x+b ），然后列方程组求解即可．【详解】
设另一个因式是（3x+b ），
根据题意，得3x 2+10x+m=(x+4)(3x+b)，
展开，得3x2+10x+m=3x2+(b+12)x+4b，
所以
1210
4
b
m b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
8
2
m
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以，另一个因式是（3x-2），m的值是-8.
本题考查了解二元一次方程组与因式分解，解题的根据是熟练的掌握解二元一次方程组与因式分解的相关知识点.
17、（1）y=20―3x；
（2）三种方案，即:
方案一:甲种3辆乙种11辆丙种6辆
方案二:甲种4辆乙种8辆丙种8辆
方案三:甲种5辆乙种5辆丙种10辆
（3）方案一,即甲种3辆,乙种11辆,丙种6辆,最大利润为16.44万元｡
【解析】
(1)由8x+6y+5(20-x-y)=120得y=20-3x
(2)由
3
2033
23
x
x
x
≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
得3≤x≤
17
3且x为正整数，故3，4，5
车辆安排有三种方案：
方案一：甲种车3辆；乙种车11辆；丙种车6辆；
方案二：甲种车4辆；乙种车8辆；丙种车8辆；
方案三：甲种车5辆；乙种车5辆；丙种车10辆；
(3)设此次销售利润为w元．
w=8x×12+6(20-x)×16+5[20-x-(20-3x)]×10=1920-92x
w随x的增大而减小，由（2）：x=3,4,5
∴当x＝3时,W最大＝1644（百元）＝16.44万元
答：要使此次销售获利最大,应采用（2）中方案一,即甲种3辆,乙种11辆,丙种6辆,最大利润为16.44万元
18、是，理由见解析.
【解析】
根据90ACB ∠=,CD 平分ACB ∠,DE BC ⊥,DF AC ⊥,可得
DE DF =,90ECF CED CFD ∠=∠=∠=,根据正方形的判定定理可得:四边形CEDF 是
正方形.【详解】
解:四边形CEDF 是正方形,理由：
90ACB ∠=,CD 平分ACB ∠,DE BC ⊥,DF AC ⊥,
DE DF ∴=,90ECF CED CFD ∠=∠=∠=,∴四边形CEDF 是正方形,
本题主要考查正方形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的判定定理.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、5 3.75
1
【解析】
首先根据图象中的数据可求出进水管以及出水管的进出水速度，进而利用容器内的水量列出方程求出即可．【详解】
解：由图象可得出：
进水速度为：20÷4=5（升/分钟），
出水速度为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升/分钟），（a-4）×（5-3.75）+20=（24-a ）×3.75解得：a=1．
故答案为：5；3.75；1
此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用等知识，利用图象得出进出水管的速度是解题关键．20、1.【解析】
解：∵1，3，x ，1，5，它的平均数是3，∴（1+3+x+1+5）÷5=3，∴x=4，
∴S 1=[（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（1﹣3）1+（5﹣3）1]=1；
∴这个样本的方差是1．故答案为1．21、1【解析】
根据正方形的性质可得出面积为100、36的正方形的边长，再利用勾股定理即可求出字母A 所代表的正方形的边长，此题得解．【详解】
面积是100的正方形的边长为10，面积是36的正方形的边长为6，∴字母A 所代表的正方形的边长=1．故答案为：1．
本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．22、21000(1)1210x +=．【解析】
根据关系式：现在已有资金1000万元×（1+年平均增长率）2=现在已有资金1万元，把相关数值代入即可求解．【详解】
设该企业两年内资金的年平均增长率是x ，则根据题意可列出方程：1000（1+x ）2=1．故答案为：1000（1+x ）2=1．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）
2
=b ．
23、11
1
【解析】
由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个完整的正方形，由此即可得出答案．【详解】
解：由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个面积为36的正方形，
故第一个空和第二个空均应填1，
而大正方形的边长为x +1，故x +1=6，x =1，
故答案为：1，1，1．
此题是信息题，首先读懂题意，正确理解题目解题意图，然后抓住解题关键，可以探索得到大正方形的边长为x +1，而大正方形面积为36，由此可以求出结果．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）2+；（2）－5.【解析】
（1）首先根据立方根、零次幂、负指数幂和绝对值的性质化简，然后计算即可；（2）将二次根式化简，然后应用乘法分配律，进行计算即可．【详解】
解：（1）原式21212=-++-=+；（2）原式101552
=-
=-=-.此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．25、（1）8t =；（2）当6t =时，四边形AQCP 为菱形,理由见解析．【解析】
（1）由矩形性质得出16BC AD ==，8AB CD ==，由已知可得，BQ DP t ==，
16AP CQ t ==-，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）6t =时，BQ 6=，6DP =，得出16610CQ =-=，16610AP =-=，AP CQ =，//AP CQ ，四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，与勾股定理求出
10AQ ==，得出AQ CQ =，即可得出结论．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，16BC AD ∴==，8AB CD ==，由已知可得，BQ DP t ==，16AP CQ t ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=-，解得：8t =，∴当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）四边形AQCP 为菱形；理由如下：6t =，6BQ ∴=，6DP =，16610CQ ∴=-=，16610AP =-=，AP CQ ∴=，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，10AQ ===，AQ CQ ∴=，∴平行四边形AQCP 为菱形，∴当6t =时，四边形AQCP 为菱形；本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定等知识；熟练掌握判定与性质是解题的关键．26、(1)见解析，（2）BF ＝CG +DF ．理由见解析.
【解析】
（1）由题意可得到∠FBC +∠E ＝90°，∠CDF +∠E ＝90°，然后依据余角的性质求解即可；（2）在线段FB 上截取FM ，使得FM ＝FD ，然后可证明△BDM ∽△CDF ，由相似三角形的
性质可得到BM FC ，然后证明△CFG 为等腰直角三角形，从而可得到CG CF ，然后可得到问题的答案．
【详解】
.解：（1）∵ABCD 为正方形，∴∠DCE ＝90°．∴∠CDF +∠E ＝90°，又∵BF ⊥DE ，∴∠FBC +∠E ＝90°，∴∠FBC ＝∠CDF （2）如图所示：在线段FB 上截取FM ，使得FM ＝FD ．∵∠BDC ＝∠MDF ＝45°，∴∠BDM ＝∠CDF ，∵BD DM DC DF ==，∴△BDM ∽△CDF ，∴BM DM CF DF ==，∠DBM ＝∠DCF ，∴BM CF ，∴∠CFE ＝∠FCD +∠CDF ＝∠DBM +∠BDM ＝∠DMF ＝45°，∴∠EFG ＝∠EFC ＝45°，∴∠CFG ＝90°，∵CF ＝FG ，
∴CG ＝CF ，
∴BM ＝CG ，
∴BF ＝BM +FM ＝CG +DF ．
本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．。