随机信号

设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。

若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。

若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。

显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。

9.1.1随机过程和随机信号的概念
我们在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。

如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。

这就是随机过程概念的简单描述。

随机信号也是随机过程。

设X(t)是一个随机信号，当t = t0时，X(t0)为一个随机变量。

下面，我们通过一个简单的例子说明随机信号的概念。

设有一个随机信号产生器，若有甲乙两个同学分别去做实验观察实验结果，
甲观察到的实验输出波形为x
1(t)，乙观察得到的的实验输出波形为x
2
(t),如图
9.1所示。

同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x
1
(t)，
x
2
(t),...,x N(t)。

也就是说，随机信号产生器产生的随机信号X(t)，在同一时刻
t (例如t = t
) 可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X取值的，即时间t给定时X(t)是一个随机变量。

图9.1 随机信号X(t)
显然，随机信号X(t)有如下两个特点：
（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；
（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。

现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等都是随机信号。

9.1.2 随机信号的分布函数和概率密度
既然随机信号X(t)是以时间t为参变量的随机变量，我们可以用随机变量求分布函数和概率密度的方法描述随机信号。

定义1：随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t时刻的取值小于x的概率，即
（9.1-1）
定义2：随机信号X(t)的概率密度函数定义为：
(9.1-2)
为了描述随机信号在不同时刻t1, t2,. ,t n,的内在联系，同理可以定义n维的联合分布函数和n维的联合概率密度函数，分别如下所示：
(9.1-3)
(9.1-4)
随机信号的统计特性从理论上说，可以用概率密度函数（包括n维的联合概率密度函数）给以完整的描述。

但在实际中，确定概率密度是很困难的。

因此，
人们常通过计算随机信号的一些参数称为统计特征或数字特征，来描述随机信号的统计平均规律或分布规律。

下一节我们将介绍一些随机信号的常用统计特征（或数字特征）。

9.2连续随机信号的统计特征
9.2.1 均值
均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。

定义为
定义3
（9.2-1）当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件：
（9.2-2）
这种随机信号称为平稳随机信号，而不满足上式的随机信号就称为非平稳随机信号。

显然，对平稳随机信号X(t)有: ，。

即平稳随机信号的均值是一个常数。

定义4随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为：
（9.2-3）
同理，平稳随机信号X(t)的均方值也是一个与时间t无关的常数
9．2．2方差
方差是随机信号在均值上下波动程度的一种统计特征，是用来说明随机信号各可能值相对与均值的偏离程度。

定义5随机信号X(t)的方差定义为
（9.2.4）对平稳随机信号X(t)而言，方差是一个与时间t无关的常数：
方差又称为二阶中心矩。

方差的数值越大，表示X(t)的各样本偏离均值的程
称为标准差。

度越大，各样本取值的分散程度也越大。

方差的平方根
（9.2.5）
对于平稳随机信号X(t)而言，有
(9.2.6)
即方差等于随机信号平方的平均值减去平均值的平方。

如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪声电流或电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率（有交
流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率；因此，方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。

9.2.3自相关函数和自协方差函数
上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能
反映不同时刻各数值之间的相互关系。

例如，随机信号X(t) 分别在t
1，t
2
时刻的随机取值X(t1)，X(t2) 之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。

同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X与Y之间的互关联（下一小节介绍）。

1．自相关函数
自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的相关程度。

定义6实随机信号X(t)的自相关函数定义为
（9.2.7）
由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设
, 则有。

所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔
τ的函数，记为R xx(τ).
2．自协方差函数
自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。

定义7实随机信号X(t)的自协方差函数定义为
（9.2.8）
当
时，有。

显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔τ的函数，记为C
xx
(τ),且有:
(9.2.9)
当均值
时，有。

当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔
有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。

它是由一、二维数字特征定义的。

一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

3．平稳随机信号自相关函数的性质
，自协方差函数，
设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为
（1）(9.2.10)
(9.2.11)
时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。

即
（9.2.12）
即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。

（3）
（9.2.13）
时的自相关函数、自协方差函数取最大值。

即
，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即
（9.2.14）
，当时，与相互独立，有
（5）若均值
很大时，与相
即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔
9.2.4互相关函数和互协方差函数
类似上面的思路，可以定义两个随机信号X(t) 和Y(t)之间的相关性的测度：互相关函数和互协方差函数。

定义8：随机信号X(t) 、Y(t)的互相关函数定义为
（9.2.16）
定义9：随机信号X(t) 、Y(t)的互协方差函数定义为
（9.2.17）
，则随机信号X(t) 与Y(t)之间互不相关。

如果
平稳随机信号X(t) 、Y(t)的互相关函数为
（9.2.18）
平稳随机信号X(t) 、Y(t)的互协方差函数为
（9.2.19）。