高二数学高效课堂资料学案三十四3.2.2+平面的法向量与平面的向量表示

高二数学高效课堂资料
学案三十四：3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
【课标要求】
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.
2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.
3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．
【学习目标】
1.会求平面的法向量.
2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.
3.会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．
【学习过程】
[课前预习]
1.平面的法向量
已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．
2.平面的向量表示
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件____________的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．
3.两平面平行或垂直的判定两平面平行或垂直的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到
α∥β或α与β重合?____________；
α⊥β?__________?__________.
4.三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
探究点一
求平面的法向量例1 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面
ACE 的一个法向量．引申探究
若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量．
规律小结：利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量
AB →，AC →. (3)列方程组：由n ·AB →
＝0，
n ·AC →＝0列出方程组．
(4)赋非零值：取其中一个为非零值
(常取±1)．
(5)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练 1 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形．平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 是边长为1的正三角形，ABCD 是菱形．∠ABC ＝60°，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点，试建立恰当的空
间直角坐标系，求平面DEF的法向量．
探究点二利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
规律小结：利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法
向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练 2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD
为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝1
2
AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面
PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
探究点三三垂线定理及应用
例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB. 规律小结：利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个．
跟踪训练 3 如图，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，求证：AB⊥PC.
课堂小结：
1.求平面的法向量
2.利用空间向量证明平行问题
3.三垂线定理及应用
【课后巩固】
1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为1，1
2
，2，则m为( )
A．－4 B．－6 C．－8 D．8
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则( ) A．α∥βB．α⊥β
C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确
3．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0，1，2) B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)
4．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A．－10
3
B．6
C．－6 D.10 3
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________．
【作业布置】
完成课后巩固。