4-2线性组合和线性表示

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解 设x11 x22 x33 , 得到方程组：
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
转化为：取何值时, 有解? 有无穷多个解?
详细求解参见上一节内容
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1 1 1 例：问1 1 ， 2 , 3 1 , ,问 1 1 2 为何值时, 可由1 , 2 , 3 (1)唯一线性表示(2)无穷多方式线性表示(3)不能线性表示
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总结：
设1 , 2 ,...., m , 是一组n维向量,则判断能否线性表示 主要看是否存在一组数k1 , k2 , , km , 使得: k11 k2 2 km m a1i a11 a12 a1m k1 b1 a2i , A a21 a22 a2 m , x k2 , b2 令 i ani an1 an 2 anm km bn 则上式变为考虑线性方程组:Ax 是否能有解问题
线性组合和线性表示
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引例：
如果向量与 方向相同或方向相反，则称为共线或平行
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面

存在唯一的实数 ， .

我们很明显可与，使得k1 k2 0.
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2
3
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也可以得到 1 , 2 , 3 之间的代数关系：
存在唯一的实数 与，使得1 2 3.
或者 存在不全为0的实数k1, k2 , k3，使得k11 k22 k33 0
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一、基本概念 （线性组合/线性表示）
设 ,1,2， m 是一组 n 维向量，若存在一组数
k1 , k2 ,, km 使 得 k1 1 k kmm ， 则 称 可 由 2 2
1， 2 线性表示。
解：三步走。第一步：构造线性表达式： x11 x22
1 4 7 x1 2 x2 5 8 ， 第二步：代入相应的数值： 3 6 9
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x1 4 x2 7 x1 4 x2 7 2 x1 5 x2 8 ，因此 2 x1 5 x2 8 3 x 6 x 9 3x 6 x 9 2 2 1 1
4 (0, 0, 0,1);问 是否可由1 , 2 , 3 , 4线性表示,结果是多少
解:注意处理行向量的方法 1 ( T , T , T , T , T ) 2 A 1 2 3 4 3 4 所以 41 5 2 3 2 4 0 0 0 4 1 1 0 0 3 0 2 1 0 3 0 3 2 1 1 0 4 1 0 0 -5 0 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 0
为非齐次线性方程组。
第三步：讨论非齐次线性方程组的解的存在性。
1 4 7 1 0 1 增广矩阵： A 2 5 8 0 1 2 3 6 9 0 0 0
x1 2 因此 ， x2 1
即 11 22
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设矩阵A (1,2 ,....,m )，A (1 ,2 ,....,m , )
否 不能线性表示
? R( A )= R(A)
R( A )= m ?
否 表示法有无穷多
是
表示法唯一
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例 : 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4), 2 (0,1, 2,3), 3 (0, 0,1, 2)
1, . . . .m, 线性表示；称 k11 k22 kmm 是 1 ,2， m 的
一个线性组合。
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例:
1 1 0 , 1 , 2 则： 1 4 2 4 0 1
1 0 0 推广 0 1 ， = ， ， 0 n维标准单位向量组1 = 2 n 0 0 1 任意一个n维向量都可以表示成它们的线性组合 a1 a2 a a a = 1 1 2 2 n n an
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二、线性表示的判定 给定确定的向量，判断一个向量是否能用 一组向量线性表示
说明 : 我们这里讨论的向量都是列向量，若1 , 2 m是行向量， 则讨论1T , 2 T m T，不影响最后的结论。
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T 例：设 1 (1, 2,3)T ,2 (4,5,6)T ， (7, 8, 9) ，试问 能否能用