2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.2第2课时组合二练习含解析人教A版选修2_3

第一章 1.2 1.2.2 第2课时
A级基础巩固
一、选择题
1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( C )
A．C28A23B．C28A66
C．C28A26D．C28A25
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C28种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有C28A26种排法．
2．(2020·山西一模)某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有( B )
A．6种B．12种
C．18种D．24种
[解析] 根据题意，分3步分析：
①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C14＝4种情况，
②，在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C13＝3种情况，
③，剩下的2人负责拖地，有1种情况，
则有4×3＝12种不同的分工；
故选B．
3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( A )
A．40个B．120个
C．360个D．720个
[解析] 先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．
4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( B )
A．4种B．10种
C．18种D．20种
[解析] 分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C24种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人
送画册，其余送集邮册，有C14种方法，∴共有C14＋C24＝10种赠送方法．
5．(2018·浙江卷，16)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．( D )
A．720 B．560
C．540 D．1 260
[解析] 不含有0的四位数有C25×C23×A44＝720(个)．
含有0的四位数有C25×C13×C13×A33＝540(个)．
综上，四位数的个数为720＋540＝1 260．
6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( A )
A．72种B．48种
C．24种D．12种
[解析] 解法一：(1)4种颜色全用时，有A44＝24种不同涂色方法．
(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A34种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A34＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．
解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．
二、填空题
7．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有__225__个．
[解析] 在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．
8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有__112__种放法(用数字作答)．
[解析] 设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112．
9．(2020·浙江模拟)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工全部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么
分配的方案共有__36__种(用数字作答)．
[解析] 根据题意，分2步分析：
①，将4名水暖工分成3组，有C24＝6种分组方法，
②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有A33＝6种分配方法，
则有6×6＝36种不同的分配方案；
故答案为36．
三、解答题
10．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
[解析] (1)所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C14·C26个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C24·C16个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C14·C36个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C24·C26个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C34·C16个．
故最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．
(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．
B级素养提升
一、选择题
1．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( C )
A．60种B．20种
C．10种D．8种
[解析] 四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10．
2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( D )
A．120 B．119
C．110 D．109
[解析] 5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A 55种，其中3个号码一致的坐法有C 3
5种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A 5
5－C 3
5－1＝109．
二、填空题
3．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有__1_560__．
[解析] 依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3,1,1,1或2,2,1,1两种 分为3,1,1,1四组时，有C 3
6×A 4
4＝480种， 分为2,2,1,1四组时，有C 2
6×C 24A 22×A 4
4＝1 080种，
故共有480＋1 080＝1 560种．
4．以正方体的顶点为顶点的四面体共有__58__个．
[解析] 先从8个顶点中任取4个的取法为C 4
8种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C 4
8－12＝58个．
三、解答题
5．(2020·泰州高二检测)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员．
[解析] (1)第一步：选3名男运动员，有C 3
6种选法；第二步：选2名女运动员，有C 2
4种选法，故共有C 3
6·C 2
4＝120种选法．
(2)解法一：(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有C 1
4·C 4
6＋C 2
4·C 3
6＋C 3
4·C 2
6＋C 4
4·C 1
6＝246种选法．
解法二：(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C 5
10种选法，其中全是男运动员的选法有C 5
6种，故“至少有1名女运动员”的选法有C 5
10－C 5
6＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C 4
9种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C 4
8种选法，其中不含女运动员的选法有C 4
5；故不选女队长时共有C 4
8－C 4
5种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 4
9＋C 4
8－C 4
5＝191(种)．
6．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中． (1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有一个空盒的放法有多少种？ (4)恰有两个空盒的放法有多少种？
(5)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？
[解析] (1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44
＝256种．
(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A 4
4＝24种．
(3)由题意知，必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C 3
4·C 2
4·A 3
3＝144种．
(4)由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C 24
·(C 2
4·C 2
2A 22
＋C 14·C 33)·A 2
2＝84
种．
(5)分三类放法．
第一类：甲球放入1号盒子，即
，则乙球有3种放法(可放入42
种放法．故此类放法的种数是3×42
；
第二类：甲球放入2号盒子，即
，则乙球有2种放法(可放入42
种放法．故此类放法的种数是2×42
；
第三类：甲球放入3号盒子，即
，则乙球只有1种放法(放入42
种放法，故此类放法的种数是1×42
．
综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42
＝96种．。