北京师范大学第三附属中学八年级数学上册第一单元《三角形》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（ ）
A ．CG
B ．BF
C ．BE
D ．AD
2．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25° 3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．11 4．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ） A ．5边形 B ．6边形
C ．7边形
D ．8边形
5．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是
（ ） A ．20cm B ．7cm
C ．5cm
D ．2cm
6．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD
∠的度数为（ ）
A ．25︒
B ．85︒
C ．60︒
D ．95︒
7．内角和为720°的多边形是（ ）． A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
8．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点
F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）
A ．α
B ．5
2
α C ．2α
D ．32
α
9．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC
∠的度数是（ ）
A ．65︒
B ．75︒
C ．85︒
D ．105︒
10．下列说法正确的有（ ）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个
n 边形分成了()2n -个三角形．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．具备下列条件的三角形中，不是．．直角三角形的是（ ） A ．A B C ∠+∠=∠ B ．1
2
A B C ∠=∠=∠ C ．3A B C ∠=∠=∠
D ．11
23
A B C ∠=
∠=∠ 12．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．
14．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．
15．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．
16．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．
17．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．
①如图 1，若 AB ⊥AE ，则∠BFC=75°； ②图 2 中 BD 过点C ，则有∠DAE+∠DCE=45°； ③图 3中∠DAE+∠DFC 等于 135°；
④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD 的摆放位置，使得D 在边AC 上，则
∠BAE=105°．
18．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则
CDP ∠=___________度．
19．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________
20．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若
150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．
三、解答题
21．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形共有多少条对角线．
22．阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与
DFE ∠的平分线交于点G ．
（1）直线EG ，FG 有何关系？请补充结论：求证：“__________”，并写出证明过程； （2）请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________题，并写出解答过程． A ．在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，求EMF ∠的度数．
B ．如图3，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，请猜想EOF ∠与
EPF ∠满足的数量关系，并证明它．
23．已知：在RT △ABC 中，∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，AE 是∠CAB 的角平分线，AE 与CD 交于点F ．
（1）如图1，求证：∠CEF ＝∠CFE ．
（2）如图2，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，请直接写出图中与∠CAE 互余的所有角．
24．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 为AD 上一点，过点E 作EF AD ⊥交
BC 的延长线于点F ．
（1）若40B ∠=︒，70ACB ∠=︒，求F ∠的度数；
（2）请直接写出F ∠与B ，ACB ∠之间的数量关系：______．
25．如图，//AE DF ，BE DF ⊥于点G ，190B ∠+∠=︒．
（1）判断CD 与AB 的位置关系，并说明理由． （2）若50A ∠=︒，求出DEG ∠的度数．
26．如图，是A 、B 、C 三个村庄的平面图，已知B 村在A 村的南偏西65°方向，C 村在
A 村的南偏东15°方向，C 村在
B 村的北偏东85°方向，求从
C 村观测A 、B 两村的视角ACB ∠的度数．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
在ABC 中，过C 点向AB 所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB 上的高，由此可得答案． 【详解】
解：ABC 中，AB 边上的高为：.CG 故选：.A 【点睛】
本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】
解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°， ∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，
∴7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．D
解析：D
【分析】
设多边形的边数是n，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数是n，
则180（n﹣2）=3×360，
解得：n=8．
故选:D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【详解】
A、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；
B 、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；
C 、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；
D 、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
6．D
解析：D 【分析】
根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】 解：
∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°， 又∵35B ∠=︒
由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°， ∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数． 【详解】
解：依题意有（n-2）•180°=720°， 解得n=6． 该多边形为六边形， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．
8．C
解析：C 【分析】
先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得
出ABE ∠的大小． 【详解】 解：如下图所示，
∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ， ∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠， ∵12F ∠+∠=∠，F α∠=， ∴21α∠-∠=，
∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，
∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠， ∵//DE BA ，
∴2ABE BED α∠==∠， 故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．
9．B
解析：B 【分析】
根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】
解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒， ∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒， ∴∠BDC =∠ADE =75︒， 故选：B 【点睛】
本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
10．C
解析：C 【分析】
分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法
分析得出即可． 【详解】
解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误； ②连接C 、D 两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误； ③两点之间线段最短，故原说法错误；
④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；
⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形，此说法正确． 所以，正确的说法只有1个， 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
11．C
解析：C 【分析】
利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可． 【详解】
A ：A
B
C ∠+∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：2=180C ︒∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意； B ：1
2
A B C ∠=∠=
∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：11
++=2=18022
C C C C ︒∠∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意； C ：3A B C ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：
3+3+=180C C C ︒∠∠∠⇒26C ≈︒∠，故此选项符合题意；
D ：11
23
A B C ∠=
∠=∠代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：12
++=18033C C C ︒∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项符合题意； 故答案选：C 【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和运算方式是解题的关键．
12．B
解析：B 【分析】
根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可 【详解】
解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键
二、填空题
13．18【分析】连接BG根据重心的性质得到△BGC的面积再根据D点是BC的四等分点得到△GDC的面积故可求解【详解】连接BG∵G为纸片的重心
∴S△BGC=S△ABC=8∵D为边上的一个四等分点（）∴S△
解析：18
【分析】
连接BG，根据重心的性质得到△BGC的面积，再根据D点是BC的四等分点得到△GDC的面积，故可求解．
【详解】
连接BG，∵G为ABC纸片的重心，
∴S△BGC=1
S△ABC=8
3
）
∵D为BC边上的一个四等分点（BD CD
∴S△DGC=3
S△BGC=6
4
∴剪去GDC，则剩下纸片的面积为24-6=18
故答案为：18．
【点睛】
此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．
14．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角
解析：④
【分析】
四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．
【详解】
解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；
②错误，可以是四个直角；
③错误，可以是四个直角；
④正确．
故选：④．
【点睛】
本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．
15．54°【分析】根据折叠的性质及题意可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数从而计算∠ABD 的度数则∠BDC=∠A+∠ABD 即可计算出结果【详解】由题意可得：∠A=∠∠=∠CBE ∴则在Rt △BEC 中
解析：54°
【分析】
根据折叠的性质及题意，可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数，从而计算∠ABD 的度数，则∠BDC=∠A+∠ABD ，即可计算出结果．
【详解】
由题意可得：∠A=∠A '，∠A '=∠CBE ，
∴44ACB A CBE ∠=∠=∠，
则在Rt △BEC 中，∠C+∠CBE=90°，即：5∠CBE=90°，∠CBE=18°，
∴∠A=18°，∠C=72°，∠ABC=90°，
∴72ABA ABC CBE '=-=︒∠∠∠，
由折叠性质可知，ABD A BD '∠=∠，
∴=36ABD A BD '∠=∠︒，
∴54BDC ABD A ∠=∠+∠=︒
故答案为：54°．
【点睛】
本体三角形的折叠问题，平行线的性质及三角形的外角定理，理解图形变化中的特点，准确结合题意计算是解题关键．
16．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得
∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE
解析：110°
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．
【详解】
解：∵=125CGB ∠︒
∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°
∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，
∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB
∴∠ABC ＋∠ACB
=2∠GBC ＋2∠GCB
=2（∠GBC ＋∠GCB ）
=110°
∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°
∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，
∴∠AEC=∠FDC=90°，
∴∠ACE=180°－∠AEC －∠A=20°
∴CFB ∠=∠FDC ＋∠ACE=110°
故答案为：110°．
【点睛】
此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键． 17．①②③④【分析】由可得：再结合：从而可求解于是可得可判断①；由可得：再利用：求解可判断②；由再利用角的和差可得：可判断③；由图4可得：可判断④【详解】解：如图1故①正确；如图2故②正确；如图3故③正
解析：①②③④．
【分析】
由,AB AE ⊥可得：90BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，再结合：
2105BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，
从而可求解CAD ∠，于是可得BFC ∠，可判断①；由90ADB ，
∠=︒可得：90DAC ACD ∠+∠=︒，再利用：180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，
求解DAE DCE ∠+∠，可判断②；由,DFC D DAF ∠=∠+∠再利用角的和差可得：135DFC DAE D CAE ∠+∠=∠+∠=︒，可判断③；由图4可得：
105BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，
可判断④． 【详解】
解：如图1，,AB AE ⊥
90BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，
60BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，
45CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒，
2105BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，
15CAD ∴∠=︒，
90ADB ∠=︒，
901575BFC AFD ∴∠=∠=︒-︒=︒，
故①正确；
如图2，90ADB ∠=︒，
90DAC ACD ∴∠+∠=︒，
180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，
90ACE ∠=︒， 180CAD DAE ACD DCE E ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，
()()180180904545DAE DCE CAD ACD E ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒， 故②正确；
如图3，,DFC D DAF ∠=∠+∠
9045135DFC DAE D DAF DAE D CAE ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故③正确；
如图4，6045BAD CAE ∠=︒∠=︒，，
6045105BAE ∴∠=︒+︒=︒，
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
18．10或50【分析】分点P 在AB 的上方点P 在AB 与CD 的中间点P 在CD 的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（1）如图点P 在AB 的上方；（2）如图
解析：10或50
【分析】
分点P 在AB 的上方、点P 在AB 与CD 的中间、点P 在CD 的下方三种情况，再分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．
【详解】
由题意，分以下三种情况：
（1）如图，点P 在AB 的上方，
30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，
150BPD PBA ∴∠=∠+∠=︒，
//AB CD ，
150CDP ∴∠=∠=︒；
（2）如图，点P 在AB 与CD 的中间，
延长BP ，交CD 于点E ，
//,20AB CD PBA ∠=︒，
20BED PBA ∴∠=∠=︒，
30BPD ∠=︒，
10CDP BPD BED ∴∠=∠-∠=︒；
（3）如图，点P 在CD 的下方，
//,20AB CD PBA ∠=︒，
120PBA ∴∠=∠=︒，
30BPD ∠=︒，
13030CDP BPD CDP ∴∠=∠+∠=∠+︒>︒与120∠=︒不符，
即点P 不可能在CD 的下方；
综上，10CDP ∠=︒或50CDP ∠=︒，
故答案为：10或50．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
19．4【分析】利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积【详解】解：∵BD ：DC=2：3∴BD=BC △ABD 的面积=BD•h ＝× BC•h=△ABC 的面积
解析：4
【分析】
利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高，只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积．
【详解】
解：∵BD ：DC=2：3，
∴BD=25
BC ． △ABD 的面积=
12BD•h ＝12× 25BC•h=25△ABC 的面积=25×10=4． 故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形面积公式以及根据公式计算三角形面积的能力．
20．30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝10
解析：30°
【分析】
通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；
【详解】
等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：15
（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°． 故答案是：30°．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键． 三、解答题
21．这个多边形共有14条对角线．
【分析】
设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【详解】
解：设这个多边形边数为n ，
由题意得180(2)3602180n -=⨯+︒︒︒，解得7n =， 对角线条数：
7(73)142
（条）， 所以这个多边形共有14条对角线．
【点睛】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n 边形一个顶点可以引（n-3）条对角线．
22．（1）EG ⊥FG ，证明见解析；（2）A ．45；B .2EOF EPF ∠=∠（在A 、B 两题中任选一题即可）
【分析】
（1）由AB ∥CD ，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的定义可得
90GEF GFE ∠+∠=︒，由三角形内角和定理可得∠G ＝90︒，则EG FG ⊥； （2）A ．由（1）可知90BEG DFG ∠+∠=︒，根据角平分线的定义可得
45MEG MFG ∠+∠=︒,故135MEF MFE ∠+∠=︒，根据三角形的内角和即可求出EMF ∠=45︒；
B ．设OEF α∠=，OFE β∠=，故EOF ∠=180αβ︒--，再得到
180BEO DFO αβ∠+∠=--︒，根据角平分线的定义可得
190122PEO PFO αβ︒-∠+∠=-，则119022
PEF PFE αβ∠+∠=︒++，再求出EPF ∠，即可比较得到结论．
【详解】
解：（1）由题意可得，求证：“EG ⊥FG”，证明过程如下
∵//AB CD
∴∠BEF ＋∠EFD=180° EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，
12GEF BEF ∴∠=∠，12
GFE DFE ∠=∠， 1111()180902222
GEF GFE BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+⨯︒∠==︒． 在EFG 中，180GEF GFE G ∠+∠+∠=︒，
180()1809090G GEF GFE ∴∠=-∠+∠=-︒=︒︒︒，
EG FG ∴⊥．
（2）A ．由（1）可知=90BEG DFG GEF GFE ∠+∠=∠+∠︒，
∵BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M
∴∠MEG=12∠BEG ，∠MFG=12
∠DFG ∴()111190452222
MEG MFG BEG DFG BEG DFG ∠+∠=
∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 则4591350MEF MFE ︒+∠︒=+∠=︒， ∴EMF ∠=180135︒-︒=45︒
故答案为：A ，45；
B.设OEF α∠=，OFE β∠=，
∴EOF ∠=180αβ︒--，
∵//AB CD
∴∠BEF ＋∠EFD=180°
则180BEO DFO αβ∠+∠=--︒
∵BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ∴190122
PEO PFO αβ︒-
∠+∠=-, ∴111190902222PEF PFE αβαβαβ∠+∠=︒--++=︒++， ∴EPF ∠=111809022αβ⎛
⎫︒-︒++ ⎪⎝⎭=121902
αβ︒--， ∵EOF ∠=1118029022αβαβ⎛
⎫︒--=︒-
- ⎪⎝⎭， 故2EOF EPF ∠=∠
故答案为：B ，2EOF EPF ∠=∠．（在A 、B 两题中任选一题即可）
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠DAF ＝∠CAE ，再根据等角的余角相等、对顶角相等，可得∠CEF ＝∠CFE ；
（2）根据互余的两个角的和为90°求解即可．
【详解】
（1）证明：∵∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，
∴∠DAF +∠AFD ＝90°，∠CAE +∠CEF ＝90°，
又∵AE 是∠CAB 的角平分线，
∴∠DAF ＝∠CAE ，
∴∠AFD ＝∠CEF ，
又∵∠AFD ＝∠CFE ，
∴∠CEF ＝∠CFE ；
（2）∵EG ⊥AB 于点G ，
∴∠DAF +∠GEA ＝90°，
由（1）可知∠DAF ＝∠CAE ，∠CAE +∠CEF ＝90°，∠CEF ＝∠CFE ＝∠DFA ，
∴图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．
【点评】
本题考查了角平分线的定义和余角的定义，解决本题的关键是熟记余角的定义． 24．（1）15°；（2）()12
F ACB B ∠=∠-∠
【分析】
（1）结合题意，根据三角形内角和性质，得BAC ∠；再根据AD 平分BAC ∠，得BAD ∠；利用三角形外角和性质，得ADC ∠；最后结合EF AD ⊥计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的解题思路计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵40B ∠=，70ACB ∠=
∴180180407070BAC B ACB ∠∠∠=--=-︒-︒=︒︒︒
∵AD 平分BAC ∠ ∴11703522
BAD BAC ∠=
∠=⨯︒=︒ ∴75ADC B BAD ∠=∠+∠=︒
∵EF AD ⊥
∴90907515F ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒； （2）∵180BAC B ACB ∠∠∠=--
∵AD 平分BAC ∠ ∴()1121118090222B BAD BA ACB B A C CB ∠=
∠-∠-∠∠⨯-==-∠ ∴111190902222
B ACB B A
C ADC B B BA
D B -∠-∠=+∠-∠=∠+∠=∠+∠ ∵EF AD ⊥ ∴()111902922900B ACB DC B B A AC F ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪+
∠∠∠-∠⎭-⎝ 故答案为：()12F ACB B ∠=
∠-∠． 【点睛】
本题考查了三角形内角和、三角形外角、角平分线、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、直角三角形两个锐角互余的性质，从而完成求解．
25．（1）//CD AB ，证明见解析；（2）40°
【分析】
（1）先求证D DFB ∠=∠，再根据平行线判定得到//CD AB ；
（2）先求出B 的度数，再根据平行线的性质得到DEG ∠的度数．
【详解】
（1）//CD AB ；理由如下：
∵BE DF ⊥，
∴90FGB ∠=︒，
∴18090DFB B FGB ∠+∠=︒-∠=︒，
∵190B ∠+∠=︒，
∴1DFB ∠=∠，
∵//AE DF ，
∴1D ∠=∠，
∴D DFB ∠=∠，
∴//CD AB ．
（2）∵//AE DF ，50A ∠=︒，
∴50DFB A ∠=∠=︒，
∵90DFB B ∠+∠=︒，
∴40B ∠=︒，
∵//CD AB ，
∴40DEG B ∠=∠=︒．
【点睛】
考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．
26．80ACB ∠=︒
【分析】
根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可得到结论.
【详解】
解：由已知，265∠=︒，315∠=︒，85DBC ∠=︒
∵//BD AE
∴1265∠=∠=︒
∴41856520DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒
在ABC 中
18018065152080ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒
【点睛】
本题考查的是方向角的概念，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解答此题的关键．。