广东省东山中学2010～2011学年度高一第二学期期末考试(数学文)

广东省东山中学2010～2011学年度高一第二学期期末考试（数
学文）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

） 1．设集合{}{}
R x x x x Q P ∈<--==,02,4,3,2,12，则P
Q =（ ）
A ．{1，2}
B ．{3，4}
C ．{1}
D ．{－2，－1，0，1，2}
2．数列2468
,,,,3579
的第10项是 （ ） A ．17
16
B ．1918
C ．2120
D ．2322
3．若c b a >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．c b c a ->-11
B ．c
b c a -<
-1
1 C ．bc ac > D ．bc ac < 4．在ABC ∆中，1
2,3,sin ,2
a b A ===则cos B 的值是（ ）
A
B ．35
C ．4
5
D
．± 5．设12a =，数列{1}n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ）
A ．80
B ．81
C ．54
D ．53
6．不在不等式326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（0，2）
D ．（2，0）
7．直线
1
:(3)453a x y a ++=-和直线
2
:2(5)8x a y ++=平行，则a =（ ）
A ．71--或
B ．7-
C ．7或1
D ．1- 8．将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A ．2
2cos y x = B ．2
2sin y x = C ．)4
2sin(1π
+
+=x y D ．cos 2y x =
9．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则y x z -=3的取值范围是( )
A ．[]6,3-
B ．[]12,3-
C ．[]12,6-
D ．[]6,3
10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A ．289
B ．1024
C ．1225
D ．1378
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

）
11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4S = _____ 12．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦
长为C 的标准方程为 13．数列{}n a 的通项公式是)1(1+=
n n a n ，若前n 项和为,11
10
则n = _____
14．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线2
2
:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为__________
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

）
15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，3,sin 2sin a b C A ===
（Ⅰ）求边长c 的长度； （Ⅱ）求ABC ∆的面积。

16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>-=.0 ,21,0 ,2,0 ,4)(2x x x x x x f
（Ⅰ）求)]2([-f f 的值；
（Ⅱ）求)1(2
+a f （a R ∈）的值；
（Ⅲ）当34<≤-x 时，求函数)(x f 的值域。

17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知0,0>>y x ，12=+y x ，求y
x 1
1+的最小值。

（Ⅱ）已知()+∞∈,0,b a ，求证：ab b
a ab
≤+2。

18.（本小题满分14分）
设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n a
n b n =+，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

19．（本小题满分14分）已知直线l ：kx-y-3k=0；圆M ：2
2
8290x y x y +--+= （Ⅰ）求证：直线l 与圆M 必相交；
（Ⅱ）当圆M 截l 所得弦最长时，求k 的值。

20．（本小题满分14分）
已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n n
n b b b T a b +++==
21,2
，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （Ⅲ）求使不等式12)1
1()11)(11(21+≥+++
n p a a a n
对一切*N n ∈均成立的最大实数p 。

广东梅县东山中学2010-2011学年度第二学期期末测试题参考答案
高一数学(文科)
一、选择题(共10题,总计50分)
二、填空题(共4题,总计20分)
11.15; 12.2
2
(3)4x y -+=; 13.10; 14.4 三、解答题(共6题,总计80分)
15.解: （Ⅰ）c = 6分（Ⅱ）2
22
cos sin 255
A A bc b
c a +-==∴= (9)
分 35
5
52321s i n 21=⨯⨯⨯==
∴A bc S …… 12分
16. 解:（Ⅰ）2
[(2)](5)4521f f f -==-=- ……4分 （Ⅱ）2
2
2
4
2
(1)4(1)23f a a a a +=-+=--+ …… 8分 （Ⅲ）①当04<≤-x 时，∵x x f 21)(-= ∴9)(1≤<x f ②当0=x 时，2)0(=f
③当30<<x 时，∵2
4)(x x f -= ∴45<<-x 故当34<≤-x 时，函数)(x f 的值域是(5,9]- …… 12分
17. 解:（Ⅰ）
223232211+≥++=+++=+y x x y y y x x y x y x …… 5分
当且仅当21,2x y =
=
时取等号, 故11
x y
+的最小值是3+ 7分 （Ⅱ）证明：∵()+∞∈,0,b a
∴()()
0222
≥+-=
+-+=+-b
a b
a a
b b a ab b a ab b a ab ab …12分
∴ab b
a ab
≤+2……… 14分
18. 解:（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()d n n na S n 12
1
1-+
= ∵ 77=S ，7515=S ，∴⎩⎨⎧=+=+, 7510515,
721711d a d a 即
⎩⎨
⎧=+=+, 57,
131
1d a d a ……4分 解得 21-=a ，1=d …… 6分 ∴3-=n a n …… 8分 （Ⅱ）n n n b n n a n n
+⨯=+=+=-28
1
22
3, …… 9分
123n n T b b b b =+++
+123111
1
(21)(22)(23)(2)888
8
n n =⨯++⨯++⨯++
+⨯+ 1231
(2222)(123)8n n =⨯+++++++ 11(1)(22)82n n n ++=⨯-+1(1)(21)42
n n n +=⨯-+…… 14分
19. 解:（Ⅰ）证明：（方法1）将圆M 的方程化为2
2
(4)(1)8x y -+-= …… 2分 ∴圆M 的圆心M （4，1），半径r M =2 .
又直线l 的方程可化为k(x –3)–y=0,即无论k 为何值，直线恒过点P(3,0). …… 4分
∴<r M ,即点P 在圆M 的内部， …… 6分 ∴直线l 必与圆M 相交。

…… 8分 （方法2）将圆M 的方程化为2
2
(4)(1)8x y -+-= …… 2分
直线l 与圆心M 点的距离 …… 4分
故：2222
2
227k 72k 7(k 1)6k 6
r d =0k +1k +1
M
+--++-=> …… 6分
∴即d r M <，直线l 与圆必相交。

…… 8分 （Ⅱ）在圆中，直径是最长的弦； …… 10分
∴当圆M 截l 所得的弦最长时，直线必过圆心M （4，1） …… 12分 把M （4，1）代入直线l 的方程可得：10k -=即1k = …… 14分
20. 解:（Ⅰ）由题意得⎩⎨⎧=+=+2
)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12
b a ， …… 2分
)
12(l o g )(3-=∴x x f
*)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- …… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得n
n n b 2
1
2-=
， n n n n n T 21
22322523211321-+-++++=∴- ①
1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得 11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . n
n n n n n T 2
3232122132+-=---=∴-， …… 7分 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(252232252)
()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n
n 得*
,2
32)(N n n n f n
∈+=随n 的增大而减小，n T 随n 的增大而增大。

+∞→∴n 当时，3→n T
又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m ……10分 （Ⅲ）由题意得*21)1
1()11)(11(1
21N n a a a n p n ∈++++≤
对 恒成立
记)1
1()11)(11(1
21)(21n a a a n n F ++++=
，则
1
)1(4)1(2)32)(12(22)
11()11)(11(1
21)
1
1)(11()11)(11(321)
()
1(2211
21-++=
+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)
1(2)
1(2=++>
n n …… 12分
)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大
)(n F 的最小值为332)1(=
F ，332≤∴p ，即33
2max =p . …… 14分。