2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题二 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形学案

2021届高考数学二轮总复习层级二专题二三角函数与解三角形第二讲三角恒等变换与解三角形学案
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姓名：
第二讲 三角恒等变换与解三角形
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b
c
＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选A ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2
－b 2
＝4c 2
，即a 2
＝4c 2
＋b 2
.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 2
2bc ＝－14，∴b
c
＝6.故
选A ．
2．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－ 3
D ．2＋3
解析：选 D tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝
tan 45°＋tan 30°
1－tan 45°tan 30°＝1＋
33
1－
3
3
＝2＋ 3.故选D ．
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5
5
，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2
B ．30
C ．29
D ．25
解析：选A ∵cos C
2＝5
5
，
∴cos C ＝2cos 2
C
2－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫552－1＝－3
5.
在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12
－
2×5×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－35＝32，
∴AB ＝32＝4 2.故选A ．
4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为
a 2＋
b 2－
c 2
4，则C ＝( )
A ．π2
B ．π3
C ．
π4
D ．
π6
解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝a 2
＋b 2
－c 2
4＝2ab cos C 4＝1
2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，
即tan C ＝1.
∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
4
.故选C ．
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②
∴①2
＋②2
得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－1
2，
∴sin(α＋β)＝－1
2.
答案：－1
2
6．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，
BD ＝5.
(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝AB
sin ∠ADB ，
即
5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝2
5
.
由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝
1－
225＝23
5
.
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝
25
. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2
＝BD 2
＋DC 2
－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×
2
5
＝25， 所以BC ＝5.
7．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2
＝sin 2
A －sin
B sin
C ．
(1)求A ；
(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．
解：(1)由已知得sin 2
B ＋sin 2
C －sin 2
A ＝sin
B sin
C ， 故由正弦定理得b 2
＋c 2
－a 2
＝bc .
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
.
因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，
由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即
62＋32cos C ＋1
2
sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－
2
2
. 因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝2
2，
故sin C ＝sin[(C ＋60°)－60°]
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝
6＋2
4
. 明 考 情
1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．
2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．
3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．
考点一 三角恒等变换
|析典例|
【例】 (1)计算sin 110°sin 20°
cos 2155°－sin 2
155°
的值为( ) A ．－12
B ．12
C ．32
D ．－3
2
(2)(一题多解)(2019·湖北冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝1
2
，则sin(3α－β)＝( )
A ．－12
B ．12
C ．－
32
D ．
32
(3)(一题多解)(2019·福建省百校临考冲刺)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos
α＝2，则tan α
2
＝( )
A ．32
B ．34
C ．
23
3
D ．
43
3
[解析] (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2
155°＝sin 70°sin 20°
cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝1
2sin 40°
sin 40°＝12
.
(2)解法一：因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0， 所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角， 因此sin(α－β)＝－
32，cos(α＋β)＝－3
2
， 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－
32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×1
2
＝1.
因为α为锐角，所以2α＝
π2
， 所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝1
2，故选B ．
解法二：同解法一可得，sin(α－β)＝－
32，cos(α＋β)＝－32
. 所以cos 2(α－β)＝2cos 2
(α－β)－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－1＝－12，sin 2(α－β)＝
2sin(α－β)cos(α－β)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×1
2
＝－32.
所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin 2(α－β)·cos(α＋β)
＋cos 2(α－β)·sin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝1
2
.故选B ．
(3)解法一：由已知得cos α＝1－
3
2
sin α. 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2
α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－32sin α2＝1，
整理得74sin 2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝43
7.
因为α∈(0，π)，所以sin α＝437，故cos α＝1－32×437＝1
7.
所以tan α2＝sin α1＋cos α＝43
71＋17
＝3
2
.故选A ．
解法二：因为sin α＝2sin α2·cos α
2，cos α＝1－2sin 2
α
2
，所以3sin α
＋2cos α＝2可以化为23sin α2·cos α
2＋2·⎝
⎛⎭⎪⎫
1－2sin 2 α2＝2， 化简可得23sin
α
2·cos α
2＝4sin 2
α
2
， ①
因为α∈(0，π)，
所以①式可化为23cos α2＝4sin α2，即tan α2＝3
2
.
[答案] (1)B (2)B (3)A。