优化方案：2011高中数学(文)高考总复习一轮用书-第11章解三角形2节名师课件苏教版

课堂互动讲练
自我挑战
4．(本题满分10分)如图所示，有两条相 交成60°角的直路xx′，yy′，交点是O，甲， 乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3 km，乙 离O点1 km，后来两人同时以每小时4 km的 速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行． (1)起初两人的距离是多少？ (2)用含t的式子表示t小时后两人的距离； (3)什么时间两人的距离最短？
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跟踪训练
3．某船在海上航行时不幸遇险，并 发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉 后，立即测出该船在方位角为45°，相 距10 n mile 的C处，还测得该船正沿方位 角为105°的方向以每小时9 n mile的速 度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以 每小时21 n mile的速度前往营救，试求 我海上救生艇的航向及与呼救船相遇所 需时间．
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【解】 如图，设游 击手能接到球，接球点为B， 而游击手从点A跑出，本垒 为O点(如图所示)．
设从击出球到接到球 的时间为t，球速为v，则 ∠AOB=15°，
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OB＝vt，AB≤v4·t.
在△AOB 中，由正弦定理，
得sin∠OBOAB＝siAn1B5°，
sin∠OAB＝OBAsiBn15°≥vvtt·
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方案二：①需要测量的数据有：
A点到M、N点的俯角α1、β1；B点 到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离 d(如图所示)．
②第一步：计算BM.
由正弦定理 BM＝sind(αsi1n＋α1α2)； 第二步：计算 BN. 由正弦定理 BN＝sind(sβi2n－β1β1)； 第三步：计算 MN. 由余弦定理 MN＝ BM2＋BN2＋2BM×BNcos(β2＋α2).
由正弦定理可得
BD＝CsDins1in3350°°＝
2 2 CD.
又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC
＝90°.
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跟踪训练
根据勾股定理有，
AB＝ AD2＋BD2 ＝
23＋12 CD＝
1000 42，
1．2AB≈7776，故实际所需电线长
度约为 7776 m.
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考点二
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【思路点拨】 连接AM，AN，BM， BN，构造三角形，利用边角关系求MN.
【解】 方案一：①需要测量的数据有： A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N 点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．
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②第一步：计算 AM. 由正弦定理 AM＝sind(αsi1n＋α2α2)； 第二步：计算 AN. 由正弦定理 AN＝sind(sβi2n－β2β1)； 第三步：计算 MN. 由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM×ANcos(α1－β1).
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例3 在奥运会垒球比赛前，C国教 练布置战术时，要求击球手与连接 本垒及游击手的直线成15°的方向 把球击出．根据经验及测速仪的显 示，通常情况下球速为游击手最大 跑速的4倍．问按这样的布置，游 击手能不能接到球？
【思路点拨】 设游击手能 接到球，转化成三角形中的问题， 再利用正弦定理进行探究．
定理得
AB ＝ sin120°
sin∠BCCAB ⇒
sin∠CAB
＝
(9×23)× 21×23
3 2 ＝3143，
∴∠CAB＝21.79°.
∴我海上救生艇应朝北偏东 66.79°的
方向沿直线前去救援，所需时间为23小时．
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考点四
生活中的解三角形问题
生活中的实际问题，涉及三角 形的较多，数量关系的建立也常用到 正、余弦定理等三角形中的有关知识， 此类问题的解决也可从这些知识入手 来解答．
答案：20
3米
40 3
3米
三基能力强化
4．如图，要计算某地两景点B 与C的距离，由于地形的限制，需要 在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥ CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠ BDA＝60°，∠BCD＝135°，则两景 点B与C的距离为________(精确到0. 1 km)．
(参考数据：＝1.414，＝1.732， ＝2.236)
＝5 2× 3＝5 6(km)， ∴山的高度约为 5 6 km. 【点评】 准确画出相应的图形， 在相关的三角形中利用正、余弦定理解 答．
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互动探究
2．在例2中，如图，若在B处 测 得山顶D的仰角为75°，向前 行 驶5 km后，到达A处，再测得 山顶D的仰角为45°，求山高CD.
解：在△ABD 中，∠ADB＝75°－45°＝30°，
当且仅当 x－1＝4(x－ 3 1)时取等号，即 x＝1
＋ 23时，y 有最小值 2＋ 3.8 分 故 AC 最短为(2＋ 3)米，此时，BC 长为(1
＋ 23)米.10 分
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【点评】 《考试说明》中要求“能够 运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决 一些与测量和几何计算有关的实际问题”， 所以我们必须在熟练掌握两个定理的前提下， 掌握三角形中的一些测量问题的解法，注意 在解三角形问题中相关代数方法的运用，并 且能综合函数、平面向量等知识解决与三角 形有关的实际问题．
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例4 (解题示范)(本题满分10分) 为了立一块广告牌，要制造一个三角形支 架．要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米， 且AC比AB长0.5米．为了使广告牌稳固， 要求AC的长度越短越好，求AC最短为多 少米？且当AC最短时，BC的长度为多少 米？
【思路点拨】 充分利用正、余弦定 理求解．
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跟踪训练
解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD －∠ADC＝60°，
CD＝6000，∠ACD＝45°，
由正弦定理可得 AD＝CDsinsi6n04°5°＝ 23CD， 在 △BCD 中 ， ∠CBD ＝ 180°－ ∠BCD － ∠BDC＝135°，
CD＝6000，∠BCD＝30°，
由正弦定理 AB ＝ AD sin30° sin105°
∴AD＝sin530°·sin105°＝5
2＋5 2
6 .
在 Rt△ACD 中， CD＝ AD·sin45°＝
5
2＋5 2
6× 22＝5＋25
3
km.
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考点三
与角度有关的问题
解决有关海上或空中测量角度的 问题(如确定目标的方位、观察某一建 筑物的视角等)的关键是根据题意和图 形及有关概念，确定所求的角在哪个 三角形中，该三角形中已知哪些量， 需求哪些量．
与高度有关的计算问题
正弦定理在测高问题中的应用
背景
可测元 素
图形
底部可 到达
a、α
底部不 可到达
a、α、β
目标及解法
求AB， AB＝atanα
①在△ACD中 用正弦定理求 AD； ②AB＝AD·sinβ
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例2 如图一辆汽车在一条水平的公路上 向正西行驶，到A处时测得公路北 侧远处一山顶D在西偏北45°的方 向上，行驶5 km后到达B处，测得 此山顶在西偏北75°的方向上，仰 角为60°，求此山的高度CD.
只有 一点 b、α、β 可到达
图形
目标及解法
求AB. AB＝ a2＋b2－2abcosα
求AB，
AB＝
bsinβ sin(α＋β)
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背景 可测元素
两点
都不
a、α、β、 γ、θ
可到达
图形
目标及解法 求AB.
①△ACD中用正弦定理 求AC；
②△BCD中用正弦定理 求BC；
③△ABC中用余弦定理 求AB
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【解】 如图，设BC的长 度为x(x>1)米，AC的长度为y米， 则AB的长度为(y－0.5)米．在△ ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos∠ACB，2分
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即(y－0.5)2＝y2＋x2－2yx×12， 化简得 y(x－1)＝x2－14.4 分 ∵x>1，∴x－1>0，因此 y＝xx2－－114＝(x－1)＋ 4(x－ 3 1)＋2≥ 3＋2.6 分
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【点评】 这类实际应用题，实质 就是解三角形问题，一般都离不开正弦 定理和余弦定理．在解题中，首先要正 确地画出符合题意的示意图，然后将问 题转化为三角形问题去求解．
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跟踪训练
1．(2010年通州第二次统 考)某单位在抗雪救灾中， 需要在A、B两地之间架 设高压电线，测量人员在 相距6000 m的C、D两地 (A、B、C、D在同一平面 上)测得∠ACD＝45°， ∠ADC＝75°，∠BCD＝ 30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考虑到电线 的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需的 电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍， 问施工单位至少应该准备多长的电线？(参 考数据： 42≈6.48)
第二节 应用举例
基础知识梳理
1．仰角与俯角 仰角与俯角：与目标视线同在一铅垂平面 内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在 水平视线上方时的夹角叫做 仰角；目标视线在 水平视线下方时的夹角叫做 俯角.如图所示．
基础知识梳理
如图AB为一铁塔，从 塔顶B看水平面上点C 的俯角为∠ABC，这种 说法对吗？
l
三基能力强化
1．在某次测量中，在A处测得同一 半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯 角为70°，则∠BAC＝________.
答案：130°
三基能力强化
2．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的 南偏西________．
答案：44°
三基能力强化
3．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底 望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼 顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别 是________、________.
答案：11.3 km
三基能力强化
5．如图，为了测量河的宽度， 在一岸边选定两点A，B望对岸的 标记物C，测得∠CAB＝30°，∠ CBA＝75°，AB＝120 m，则这条 河的宽度为________．
解析：如图. 在△ABC中，过 C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度．在△ABC中，
三基能力强化
∵∠CAB=30°，∠CBA=75°， ∴∠ACB=75°，∴AC=AB=120 m. 在Rt△ACD中， CD=ACsin∠CAD=120sin30°=60(m)． 因此这条河宽为60 m. 答案：60 m
课堂互动讲练考点一源自与距离有关的问题正、余弦定理在测距离问题中的应用
背景 两点 均可 达到
可测元素 a、b、α
【 思 考 ·提 示 】
不
对
，
应
是
π 2
－
∠ABC.
基础知识梳理
2．方位角 一般是指从正北方 向工 顺时针 转到目标方 向线的水平角．例如： 方位角是30° ，是指北 偏东30° 的角．在实际 问题中，一般更明确地 指出方位角的具体方 向．
基础知识梳理
3．坡角与坡比 坡角：坡面与水平面的二面角的度 数．如图中角α. 坡比：坡面的铅直高度与水平宽度 之比，即i＝ h ＝tanα.如图．
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例1 (2009年高考宁夏、海南卷)为了测量两 山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、 B两点进行测量．A、B、M、N在同一个铅 垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据 有俯角和A、B间的距离．请设计一个方案， 包括：①指出需要测量的数据(用字母表示， 并在图中标出)；②用文字和公式写出计算 M、N间的距离的步骤．
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跟踪训练
解：设所需时间为t 小时，在点B处相遇，如 图．在△ABC中，∠ACB ＝120°，AC＝10，AB ＝21t，BC＝9t，由余弦 定理得(21t)2＝102＋(9t)2 －2×10×9t×cos120°， 整理得：36t2－9t－10＝0，
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解得：t1＝23，t2＝－152(舍去)．由正弦
6－ 4
2
4
＝ 6－ 2，
而( 6－ 2)2＝8－4 3>8－4×1.74>1，
即 sin∠OAB>1，∴这样的∠OAB 不存在．
因此游击手不能接到球．
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【点评】 这种“能不能”型问题， 一般是假设“能”，然后在此基础上进 行正确的推理、计算，如果能得出正确 的结果，那就得出问题的解答；如果推 出了矛盾，那就证明假设不正确，答案 就是“不能”．这种题目是开放型的一 种，对于提高思维的批判性和深刻性， 提高数学素养有较大的帮助．
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【思路点拨】 先在△ABC中求BC， 再利用Rt△BCD求CD.
【解】 在△ABC 中，A＝45°，C
＝75°－45°＝30°.
根据正弦定理：sBinCA＝sAinBC，
∴BC
＝
ABsinA sinC
＝
5ssiinn3405°°＝
5
2
(km)．
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在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan∠DBC ＝BC·tan60°