2020-2021学年河南郑州高一上数学月考试卷

2020-2021学年河南郑州高一上数学月考试卷
一、选择题
1. 已知全集U ={1,2,3,4}， A ={1,2}，B ={2,3}，则(∁U A )∪B =( ) A.{2} B.{3}
C.{1,3,4}
D.{2,3,4}
2. 如图中的阴影部分，可用集合符号表示为( )
A.(∁U A)∩(∁U B)
B.(∁U A)∪(∁U B)
C.(∁U B)∩A
D.(∁U A)∩B
3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y 1=
(x+3)(x−5)
x+3
，y 2=x −5
B.f(x)=x ，g(x)=√x 2
C.f(x)=x ，g(x)=√x 33
D.f(x)=|x|，g(x)=(√x)2
4. 已知函数f(x)={x 2−x,x ≤1,
11−x ,x >1, 则f(f(−2))的值为( )
A.1
2 B.1
5
C.−1
5
D.−1
2
5. 函数f(x)=√x−1
+√4−x 的定义域为( ) A.[1, 4] B.[1, +∞)
C.(−∞, 4]
D.(1, 4]
6. 已知函数y =f(2x +1)定义域是[−1, 0]，则y =f(x +1)的定义域是( ) A.[−1, 1] B.[0, 2] C.[−2, 0] D.[−2, 2]
7. 已知集合A ={x|1≤x <5}，C ={x|−a <x ≤a +3}，若C ∩A =C ，则a 的取值范围为( ) A.−3
2<a ≤−1 B.a ≤−3
2
C.a ≤−1
D.a >−3
2
8. 函数f(x)=11+x 2
的值域为( ) A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1)
D.[0,1]
9. 已知集合M ={y|y =x 2−1, x ∈R }，N ={x|y =√3−x 2}，则M ∩N 等于( ) A.{(−√2,1),(√2,1)} B.{−√2,√2, 1}
C.[−1,√3]
D.⌀
10. 函数f(x)=|x −1|与g(x)=x(x −2)的单调递增区间分别为( ) A.[1, +∞)，[1, +∞) B.(−∞, 1]，[1, +∞) C.(1, +∞)，(−∞, 1] D.(−∞, +∞)，[1, +∞)
11. 设集合A ={x|x 2+x −12=0}，集合B ={x|kx +1=0}，如果A ∪B =A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( ) A.−1
12，0 B.1
12，0
C.112，−1
12
D.14，−1
12
12. 已知函数f(x)=√mx 2+mx +1的定义域是R ，则m 的取值范围是( ) A.0<m <4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4
二、填空题
已知：集合A ={x, y}，B ={2, 2y}，若A =B ，则x +y =________．
已知函数f(x)=x 3，若实数a ，b 满足f(a +2)+f(b)=0，则a +b 等于________．
函数y =√x 2−2x −3的递减区间是________，递增区间是________．
函数f(x)=9x 2+√x −1的最小值为________． 三、解答题
已知集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}，求∁R (A ∩B )，A ∪(∁R B ).
计算下列各式：
(1)(4
9)12
−9.60−(278)
−1
3
+(1
3)−2
；
(2)(a12⋅b23)−3÷(b−4⋅√a−2)12.
已知函数f(x)=x
2x−1
，证明：函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．
设函数f(x)={x2−4x，x≥0,
−x2−4x，x<0.
(1)画出f(x)>x的图象，根据图象直接写出f(x)>x的解集（用区间表示）；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
若非零函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)⋅f(y)=f(x+y)，且当x<0时f(x)>1．(1)求证：f(x)>0；
(1)求证：f(x)为R上的减函数；
(3)当f(4)=1
16时，对a∈[−1, 1]时恒有f(x2−2ax+2)≤1
4
，求实数x的取值范围．
在半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD，CE垂直下底AD于E，设DE=x(0<x<1)，CE=ℎ，梯形ABCD的周长为L.
(1)求ℎ关于x的函数解析式，并指出定义域；
(2)试写出L与关于x的函数解析式，并求周长L的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南郑州高一上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
【解答】
解：∵U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,3}，
∴∁U A={3,4}，
∴(∁U A)∪B={2,3,4}.
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集．
【解答】
解：图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，
∴图中的阴影部分，可用集合符号表示为(∁U B)∩A．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．
【解答】
解：对于A，函数y1=(x+3)(x−5)
x+3
=x−5(x≠−3)，
与y2=x−5(x∈R)的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，函数f(x)=x(x∈R)，
与g(x)=√x2=|x|(x∈R)的对应关系不相同，所以不是同一函数；
对于C，函数f(x)=x(x∈R)，
与g(x)=√x3
3=x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于D，函数f(x)=|x|(x∈R)，
与g(x)=(√x)2=x(x≥0)的定义域不相同，对应关系也不相同，所以不是同一函数．故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
根据分段函数解析式，先求出f（−2），再求f（f（−2））即可求解.
【解答】
解：函数f(x)={
x2−x,x≤1,
1
1−x
，x>1,
则f(−2)=(−2)2−(−2)=6,
故f(f(−2))=f(6)=1
1−6
=−1
5
.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
可看出，要使得函数f(x)有意义，需满足{
x>1
4−x≥0
，解出x的范围即可．
【解答】
解：要使f(x)有意义，则：{
x−1>0，
4−x≥0，
∴1<x≤4，
∴f(x)的定义域为(1, 4]．
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由函数f(2x+1)的定义域是[−1, 0]，求出函数f(x)的定义域，再由x+1在函数f(x)的定义域内求解x的取值集合得到函数y=f(x+1)的定义域，．
【解答】
解：由函数f(2x+1)的定义域是[−1, 0]，得−1≤x≤0．
∴−1≤2x+1≤1，即函数f(x)的定义域是[−1, 1]，
再由−1≤x+1≤1，得：−2≤x≤0．
∴函数y=f(x+1)的定义域是[−2, 0]．
故选C.
7.
【答案】 C
【考点】
集合的包含关系判断及应用 【解析】
由C ∩A ＝C ，得C ⊆A ，然后分C 是空集和不是空集分类求解实数a 的取值范围． 【解答】
解：由C ∩A =C ，得C ⊆A ，
∵ A ={x|1≤x <5}，C ={x|−a <x ≤a +3}． 当−a ≥a +3，即a ≤−3
2时，C =⌀，满足C ⊆A .
当C ≠⌀时，有{−a <a +3，
−a ≥1，a +3<5，
解得：−3
2
<a ≤−1．
综上，a 的取值范围是a ≤−1． 故选C . 8.
【答案】 B
【考点】
函数的值域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由x 2+1≥1，得0<1
x 2+1≤1， 即0<f(x)≤1． 故选B ． 9.
【答案】 C
【考点】
函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 交集及其运算
【解析】
先分别求出集合M 和集合N ，再利用交集的定义：两个集合M 和N 的交集是含有所有既属于M 又属于N 的集合，而没有其他元素的集合，求出交集即可． 【解答】
解：∵ y =x 2−1≥−1， ∴ M =[−1, +∞)， ∵ 0≤3−x 2，
∴ N =[−√3, √3]， ∴ M ∩N =[−1, √3]. 故选C . 10.
【答案】 A
【考点】
函数的单调性及单调区间 【解析】
去掉绝对值求出f(x)的递增区间，结合二次函数的性质求出g(x)的递增区间即可． 【解答】
解：f(x)=|x −1|={x −1,x ≥1,
−x +1,x <1, 故f(x)在[1, +∞)递增，
g(x)=x 2−2x =(x −1)2−1，故g(x)在[1, +∞)递增， 故选A . 11.
【答案】 A
【考点】 并集及其运算
集合的包含关系判断及应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：A ={−4,3}，
当k =0时，B =⌀，符合要求；
当k ≠0时，x =−1
k ．
由A ∪B =A 知B ⊆A ，所以−1
k =−4或−1
k =3， 所以k =1
4或k =−1
3，
所以实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为−1
12，0.
故选A . 12.
【答案】 D
【考点】
函数的定义域及其求法 【解析】
函数的定义域使开偶次方根的被开方数大于等于0，转化为不等式恒成立；二次不等式恒成立结合二次函数的图象列出限制条件，求出m 的范围． 【解答】
解：∵ f(x)=√mx 2+mx +1的定义域是R ， 故mx 2+mx +1≥0恒成立，
①m =0时，1≥0恒成立，满足题意， ②m ≠0时，需{m >0,
Δ=m 2−4m ≤0,
解得0<m ≤4， 综上，0≤m ≤4. 故选D .
二、填空题
【答案】 2或6 【考点】 集合的相等 【解析】
首先根据已知集合AB ，以及A =B 联立方程组，分别解出x 与y 的值，然后求出x +y 的值 【解答】
解：∵ 集合A ={x, y}，B ={2, 2y}， 而A =B ,
∴ {x =2,y =0，
或{x =2y,y =2，即{x =4,y =2. ∴ x +y =2或6. 故答案为：2或6. 【答案】 −2
【考点】
函数奇偶性的性质 函数单调性的性质
【解析】
容易看出f(x)是奇函数，且在R 上是单调函数，从而根据f(a +2)+f(b)＝0得出f(a +2)＝f(−b)，进而得出a +2＝−b ，从而得出a +b ＝−2． 【解答】
解：f(x)是奇函数，且在R 上单调递增，
∴ 由f(a +2)+f(b)=0得，f(a +2)=f(−b)， ∴ a +2=−b ， ∴ a +b =−2． 故答案为：−2. 【答案】
(−∞, −1],[3, +∞) 【考点】
函数的单调性及单调区间 【解析】
先求出该函数定义域为{x|x ≤−1, 或x ≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y =x 2−2x −3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．
【解答】
解：∵ x 2−2x −3≥0得x ≤−1，或x ≥3.
∴ 函数y =x 2−2x −3在(−∞, −1]上单调递减， 在[3, +∞)上单调递增.
∴ 该函数的递减区间为(−∞, −1]，递增区间为[3, +∞)． 故答案为：(−∞, −1]；[3, +∞)． 【答案】 9
【考点】
函数的最值及其几何意义 【解析】
先求函数的定义域，确定函数的单调性，即可求出答案． 【解答】
解：∵ f(x)的定义域为[1, +∞)， 又f(x)在定义域上单调递增， ∴ f(x)min =f(1)=9． 故答案为：9． 三、解答题
【答案】
解：∵ A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}， ∴ A ∩B ={x|3≤x <7}，
则∁R (A ∩B )={x|x <3或x ≥7}.
∁R B ={x|x ≤2或x ≥10}，
则A ∪(∁R B )={x|x ≤2，或3≤x <7或x ≥10}． 【考点】
交、并、补集的混合运算 【解析】
本题考查交、并、补集的混合运算． 【解答】
解：∵ A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}， ∴ A ∩B ={x|3≤x <7}，
则∁R (A ∩B )={x|x <3或x ≥7}.
∁R B ={x|x ≤2或x ≥10}，
则A ∪(∁R B )={x|x ≤2，或3≤x <7或x ≥10}． 【答案】
解：(1)原式=23−1−2
3+9=8. (2)原式=a −3
2⋅b −2÷(b −2⋅a −1
2) =a
−32
÷a
−
12
⋅(b −2÷b −2)
=a −1=1
a .
【考点】
有理数指数幂的化简求值
【解析】无
无
【解答】
解：(1)原式=2
3−1−2
3
+9=8.
(2)原式=a−32⋅b−2÷(b−2⋅a−12)
=a−3
2÷a−
1
2⋅(b−2÷b−2)
=a−1=1
a
.
【答案】
证明：设1<x1<x2，
∴f(x1)−f(x2)=x1
2x1−1−x2
2x2−1
=x2−x1
(2x1−1)(2x2−1)
>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
通过求导得出导函数小于0，从而证出函数的单调性．【解答】
证明：设1<x1<x2，
∴f(x1)−f(x2)=x1
2x1−1−x2
2x2−1
=x2−x1
(2x1−1)(2x2−1)
>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．【答案】
解：如图，
由图可得，f(x)>x的解集为(−5,0)∪(5,+∞).
(2)当x>0时，−x<0，
f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x2+4x=−f(x)，
当x=0时，f(0)=0，
当x<0时，−x>0，
f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x=−f(x)，
∴对任意的x∈R有f(−x)=−f(x)成立，
∴结合奇函数的定义知f(x)为奇函数.
【考点】
函数奇偶性的判断
函数图象的作法
【解析】
（1）根据二次函数的作图方法进行作图，然后看图说话即可；（2）根据函数的奇偶性的判断方法进行判断．
【解答】
解：如图，
由图可得，f(x)>x的解集为(−5,0)∪(5,+∞).
(2)当x>0时，−x<0，
f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x2+4x=−f(x)，当x=0时，f(0)=0，
当x<0时，−x>0，
f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x=−f(x)，
∴对任意的x∈R有f(−x)=−f(x)成立，
∴结合奇函数的定义知f(x)为奇函数.
【答案】
(1)证明：法①f(0)⋅f(x)=f(x)，
即f(x)[f(0)−1]=0，
又f(x)≠0，
∴f(0)=1.
当x<0时，f(x)>1，
则−x>0，
∴f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，
则f(−x)=1
f(x)
∈(0,1)．
故对于x∈R恒有f(x)>0．
法②f(x)=f(x
2+x
2
)=[f(x
2
)]2≥0，
∵f(x)为非零函数，
∴f(x)>0.
(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)⋅f(x2−x1)=f(x2)，
又x2−x1<0，
即f(x2−x1)>1，
故f(x2)
f(x1)
=f(x2−x1)>1，
又f(x)>0，∴f(x2)>f(x1)，
故f(x)为R上的减函数．
(3)解：f(4)=1
16
=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=1
4
，则原不等式可变形为f(x2−2ax+2)≤f(2)，
依题意有x2−2ax≥0对a∈[−1, 1]恒成立，
∴当x>0时，x≥2a，
当x<0时，x≤2a，
当x=0时，符合题意.
故实数x的取值范围为(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)．
【考点】
函数的概念
函数的单调性及单调区间
函数的值域及其求法
【解析】
（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f(x)>0；
（2）根据函数单调性的定义证明f(x)为R上的减函数；（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．
【解答】
(1)证明：法①f(0)⋅f(x)=f(x)，
即f(x)[f(0)−1]=0，
又f(x)≠0，
∴f(0)=1.
当x<0时，f(x)>1，
则−x>0，
∴f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，
则f(−x)=1
f(x)
∈(0,1)．
故对于x∈R恒有f(x)>0．
法②f(x)=f(x
2
+x
2
)=[f(x
2
)]2≥0，
∵f(x)为非零函数，
∴f(x)>0.
(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，
有f(x1)⋅f(x2−x1)=f(x2)，
又x2−x1<0，
即f(x2−x1)>1，
故f(x2)
f(x1)
=f(x2−x1)>1，
又f(x)>0，
∴f(x2)>f(x1)，
故f(x)为R上的减函数．
(3)解：f(4)=1
16
=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=1
4
，
则原不等式可变形为f(x 2−2ax +2)≤f(2)， 依题意有 x 2−2ax ≥0对a ∈[−1, 1]恒成立， ∴ 当x >0时，x ≥2a ， 当x <0时，x ≤2a ， 当x =0时，符合题意.
故实数x 的取值范围为(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)． 【答案】
解：(1)ℎ2=1−(1−x)2=−x 2+2x ， ∴ ℎ=√−x 2+2x ，定义域为(0, 1). (2)如图，|CD|=√ℎ2+x 2=√2x ， |BC|=2−2x ，
∴ L =2√2x +2−2x +2 =2√2x −2x +4=−2(√x −√22
)2
+5，x ∈(0, 1)，
即L =−2(√x −√22
)2+5，x ∈(0, 1)，
∴ √x =
√2
2
，即x =1
2时，L 取最大值5．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法 【解析】
（1）根据图形，便有ℎ=√1−(1−x)2=√−x 2+2x ，并且定义域为(0, 1)；
（2）容易求出|CD|=√2x ，|BC|=2−2x ，所以周长L =−2x +2√2x +4，对该函数解析式配方即可求出周长L 的最大值．
【解答】
解：(1)ℎ2=1−(1−x)2=−x 2+2x ， ∴ ℎ=√−x 2+2x ，定义域为(0, 1). (2)如图，|CD|=√ℎ2+x 2=√2x ， |BC|=2−2x ，
∴ L =2√2x +2−2x +2 =2√2x −2x +4=−2(√x −√22
)2+5，x ∈(0, 1)，
即L =−2(√x −√22
)2+5，x ∈(0, 1)，
∴ √x =
√2
2
，即x =1
2时，L 取最大值5．。