基于分形理论的城市日用水量预测方法

基于分形理论的城市日用水量预测方法
张宏伟;陆仁强;牛志广
【摘要】针对城市日用水量呈现周期性和自相似性的特点,通过对分形理论的研究,提出了基于分形拼贴定理和分形插值函数迭代过程的城市日用水量预测方法.该方法根据分形拼贴定理,由基于仿射变换的分形插值方法求取一个与历史日用水量记录相近的迭代函数系,建立分形预测模型,对城市日用水量进行预测.首先根据日用水量具有以周为周期的特点,应用相似日拟合模型对日用水量进行预测,平均预测误差为2.06%;然后根据日用水量具有以月为周期的特点对日用水量进行预测,平均预测误差为2.94%.应用表明,该方法实用性强,能够为城市供水优化调度提供决策支持.【期刊名称】《天津大学学报》
【年(卷),期】2009(042)001
【总页数】4页(P56-59)
【关键词】用水量;预测;分形理论;拼贴定理;吸引子;迭代函数系
【作者】张宏伟;陆仁强;牛志广
【作者单位】天津大学环境科学与工程学院,天津,300072;天津大学环境科学与工程学院,天津,300072;天津大学环境科学与工程学院,天津,300072
【正文语种】中文
【中图分类】TU991
城市供水是维持城市正常运行的重要因素，是人们正常工作生活的必需条件，为了保证城市供水的安全性、可靠性，首先要对城市用水量有一个准确的预测，用水量
的准确预测能够为城市供水系统的优化调度和管理提供数据支持．城市用水量的预测主要分为短期预测和中长期预测．关于城市用水量预测的方法较多，主要包括时间序列法、灰色系统理论、小波变换法、神经网络法以及上述方法的组合预测方法等[1]．近年来，随着计算机技术的发展，又出现了许多结合人工神经网络的用水
量预测的优化算法[2]．笔者针对城市用水量自身具有的周期性和自相似性，应用
分形插值理论对日用水量进行预测．分形插值理论在电力、经济等领域均取得了很好的预测效果[3]，这些成果的取得为分形理论在城市用水量预测中的应用提供了
很好的借鉴意义．
分形理论由 Mandelbrot于 20世纪 70年代提出[4]，其核心是认为由系统各部分组成的几何形体间具有自相似性和标度不变性．分形理论是现代非线性科学中一个十分重要的研究领域，对多种学科产生了巨大影响，分形理论运用于自然科学领域和社会科学领域都取得了重大的成果．
1.1 迭代函数系及吸引子定理
到目前为止，用迭代函数系（iterated function system，IFS）去解析地构造、
研究自然界中具有自相似结构的分形最为成功．一个IFS由一个完备的度量空间（ X, d）和一组有限的压缩映射集 Wn：X →X组成，Wn的压缩因子为 Sn，且
0 ≤ Sn＜1（n=1， 2，…，N），IFS用表示，且 IFS的压缩因子为
变换W: H ( X ) → H( X)定义为： W( B)=∀ B ∈ H( X )是完备度量空间
(H( X ),h( d))上具有压缩因子 S的压缩映射，即h( W( A), W( B ))≤ Sh( A, B)，
∀A , B ∈ H( X)成立，则必定存在唯一不动点P ∈ H( X)满足且 P可用下式给出，即对∀B ∈ H( X )，有
式中： W n(B )表示变换W 的n次迭代，即Wn(B ) = W( W (… W ( B)))，则不
动点P为该 IFS的吸引子[4]．
1.2 IFS拼贴定理
在完备度量空间（ X, d）中，给定L ∈ H( X)和ε ＞0，选定一个具有压缩因子 S：0 ≤ S＜1的使得
则
式中：P为的吸引子；h( L, P)是 Hausdorff度量[4]．
拼贴定理说明必存在一个 IFS其吸引子P近似或相似于一个给定的集合L．因为不动点P是从它自身的变换 W( P)构造而来的，所以可以对给定的集合L作压缩变换，然后把它们粘贴在一起以重构L．
1.3 基于仿射变换IFS码的分形插值方法
与在整个区间内构造一个插值函数或分段函数的传统插值方法不同，分形插值方法是根据一组给定的插值点，在整个区间内构造出一个IFS[5]，该IFS满足吸引子定理和拼贴定理，即从此函数空间内任意一初始点利用IFS进行迭代，其吸引子为通过这一组插值点的函数图像．
一般，分形插值所需要的IFS码可通过仿射变换得到，即
首先通过经验法或解析法确定 di的值[6]，然后确定 a、ici、ei和 fi的值，便可以求出 IFS中第i个仿射变换 Wi．求得各 Wi后，可用确定型或随机型迭代算法得
到IFS的吸引子．
城市日用水量变化受确定性因素和随机性因素的影响，主要包括城市工业布局、气候因素和节假日等因素的综合影响．日用水量变化规律主要表现为周期性、趋势性和随机扰动性，即城市日用水量大致呈现按周、按月、按季和按年 4种周期性变
化规律，随着人们生活水平的提高和城市经济的发展，城市日用水量有逐年增加的趋势．
以华北地区某市某年5月1日到7月31日的日用水量实测数据为例（见图1），可以看出城市日用水量呈现很好的按周和按月的周期性，从5月到7月日用水量
呈上升趋势，不同月的日用水量受气候因素影响较大，同一周的日用水量受休息日
的因素影响较大．
在应用分形插值方法进行预测时，主要有两种方法[7]：① 基于相似日外推模型的分形外推算法；②基于相似日拟合模型的分形内插算法．文中采用后者对城市日用水量进行预测研究．相似日拟合模型是根据分形拼贴定理求取一个与历史负荷数据相近的吸引子的 IFS．由于城市日用水量呈现很好的周期性，相似日拟合模型可认为是基于丰富的历史数据外推出一个周期．
3.1 以周为周期的城市日用水量预测
以华北地区某市某年 5月份前 3周的日用水量数据为例，通过相似日拟合模型对
第4周的日用水量进行预测，具体有7个步骤．
（1）以预测周为起点，向前顺次取 3周作为相似周，取离预测周最近的一周为
基准周．
（2）获取前 3周用水量数据作为样本数据，确定插值点集合．在这里取周一到
周日作为横坐标，分别用0到6表示，取周一到周日的日用水量数据作为纵坐标，这些点一起构成插值点集合．
（3）样本数据标准化处理．
式中：Ti和 Qi分别为时间坐标和该日用水量负荷值；Tm in和 Tm ax分别为样
本时间点最小值和最大值；Qmin和 Qm ax分别为样本内最小和最大用水量负荷值；xi和yi分别为标准化后的样本数据．
（4）建立基准周负荷曲线的 IFS．以第（3）步标准化后的插值点集合建立基准
周负荷曲线的 IFS，由于插值点数据较少，不能用解析法求出垂直尺度因子di，在这里依据多次试算取 di=0.1（i= 1,2,… ,6），然后计算其他参数，确定仿射变换．（5）建立其他相似周负荷曲线的IFS．其中参数的求法同上．
（6）对已求得的 3个迭代函数系进行相应参数加权求和，求得一个统计意义上
的 IFS，可依据经验对离预测周最近的相似周的参数赋予较大的权重．在这里分别
取0.2、0.4、0.4．
（7）用上面求得的统计意义上的 IFS通过任意点进行迭代得到吸引子，此吸引子便可认为是基于历史数据外推一个周期得到的预测周负荷曲线．
通过上述步骤求取的第4周的IFS码见表1，应用随机型迭代函数系算法得到第4周负荷曲线的吸引子[8]，迭代结果见图 2．根据ix的值读出所对应的 iy，依据日用水量的历史数据对日用水量变化范围进行预估，然后根据式（6）进行反算便可以得到第4周每天的日用水量预测值，预测结果见表2．预测的最大相对误差为3.82%，最小相对误差为0.15%，平均相对误差为2.06%，能够满足日用水量预测的需要．
3.2 以月为周期的城市日用水量预测
以华北地区某市某年 9月份、10月份、11月份日用水量实测数据为例，通过相似日拟合模型得到12月日用水量负荷曲线的IFS码，然后对12月的日用水量数据进行预测，具体步骤同 3.1节．在确定插值点集合时，由于每月有 30个或 31个日用水量数据，为了减少计算量，选取每月日用水量的最大值、最小值、拐点等主要特征点构成插值点集合．求得的12月的IFS码见表3．应用随机型迭代函数系算法得到 12月日用水量负荷曲线的吸引子，迭代结果见图3，预测结果见图4．预测的最大相对误差为 6.84%，最小相对误差为0.80%，平均相对误差为2.94%，能够满足日用水量预测实际应用的需要．
充分利用城市日用水量具有周期性和自相似性特点，使用基于相似日拟合模型的分形插值方法对城市日用水量进行预测．根据分形拼贴定理，由分形插值方法求取一个与历史日用水量记录相近的迭代函数系，建立城市日用水量的分形预测模型．结果表明，以周为周期的平均预测误差为 2.06%，以月为周期的平均预测误差为2.94%．应用表明，分形插值方法克服了以往插值方法在整个区间只用一个函数或分段函数进行插值的缺点，该方法根据分形拼贴原理，通过求取一个与历史记录相
近的吸引子的迭代函数系，建立预测模型，进行预测时既考虑了城市日用水量的确定性过程又考虑了随机性过程．此方法将分形理论引入到城市日用水量的预测中，不仅扩大了分形理论的应用领域，也为用水量预测提出了新方法，可以尝试应用该方法预测城市日用水量，为城市供水优化调度提供决策支持．
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