湖南省邵阳市邵阳县2021届九年级第二学期期中数学试卷(含解析)

2021 -2021学年湖南省邵阳市邵阳县九年级〔下〕期中数学试卷
一、选择题
1．﹣的相反数是〔〕
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是〔〕
A．B．C．D．
3．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，那么m的取值范围是〔〕
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
4．以下四个几何体中，某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，那么该几何体是〔〕
A．球体 B．长方体C．圆锥体D．圆柱体
5．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．这组数据的平均数是5，那么这组数据的中位数是〔〕
A．7 B．6 C．5 D．4
6．以下运算正确的选项是〔〕
A．5m+2m=7m2B．﹣2m2•m3=2m5
C．〔﹣a2b〕3=﹣a6b3D．〔b+2a〕〔2a﹣b〕=b2﹣4a2
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，那么∠ADB的大小为〔〕
A．46° B．53° C．56° D．71°
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，那么N处与灯塔P的距离为〔〕
A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里
9．反比例函数y=的图象如下图，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③假设A〔﹣1，h〕，B〔2，k〕在图象上，那么h＜k；
④假设P〔x，y〕在图象上，那么P′〔﹣x，﹣y〕也在图象上．
其中正确的选项是〔〕
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．如图，在直角坐标系中，直线AB经点P〔3，4〕，与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB 的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是〔〕
A．2 B．3.5 C． D．4
二、填空题
11．+〔y﹣2021〕2=0，那么x y= ．
12．m2﹣m=6，那么3﹣2m2+2m= ．
13．一种花粉颗粒的直径约为．
14．一个不透明的袋子里装着质地、大小都一样的3个红球和1个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．那么两次都摸到红球的概率是．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=〔x＞0〕的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．假设四边形ODBE的面积为6，那么k= ．
16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．假设点P在直线AC上〔不与点A，C重合〕，且∠ABP=30°，那么CP的长为．
17．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为．
18．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为．
三、解答题〔本大题共7小题，共66分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕19．计算：﹣12+4sin60°﹣+〔﹣2021 〕0．
20．化简求值：[﹣]•，其中x=+1．
21．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均一样．
〔1〕求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
〔2〕假设给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，那么爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．
22．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进展班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得
到△DEC，点D刚好落在AB边上．
〔1〕求n的值；
〔2〕假设F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
24．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离〔≈1.41，
≈1.73，结果保存整数〕．
25．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
〔1〕求抛物线的对称轴；
〔2〕写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
〔3〕探究：假设点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？假设存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
2021 -2021学年湖南省邵阳市邵阳县九年级〔下〕期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．﹣的相反数是〔〕
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣的相反数是．
应选C．
【点评】此题考察了相反数的定义，是根底题，熟记概念是解题的关键．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是〔〕
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
应选：A．
【点评】此题主要考察轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合．
3．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，那么m的取值范围是〔〕
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】根据题意可得x＞0，将x化成关于m的一元一次方程，然后根据x的取值范围即可求出m 的取值范围．
【解答】解：由mx﹣1=2x，
移项、合并，得〔m﹣2〕x=1，
∴x=．
∵方程mx﹣1=2x的解为正实数，
∴＞0，
解得m＞2．
应选C．
【点评】此题考察的是一元一次方程的解法，将x用含m的代数式来表示，根据x的取值范围可求出m的取值范围．
4．以下四个几何体中，某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，那么该几何体是〔〕
A．球体 B．长方体C．圆锥体D．圆柱体
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
【解答】解：A、球体的三视图都是圆，不符合题意；
B、长方体的三视图都是矩形，不符合题意；
C、圆锥体的主视图，左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和中间一点，不符合题意；
D、圆柱体的主视图，左视图都是长方形，俯视图是圆，符合题意．
应选D．
【点评】此题考察了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
5．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．这组数据的平均数是5，那么这组数据的中位数是〔〕
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】此题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【解答】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．这组数据的平均数是5，
∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3，
∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，
∴这组数据的中位数是：5．
应选C．
【点评】此题考察的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．
6．以下运算正确的选项是〔〕
A．5m+2m=7m2B．﹣2m2•m3=2m5
C．〔﹣a2b〕3=﹣a6b3D．〔b+2a〕〔2a﹣b〕=b2﹣4a2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式．
【分析】A、依据合并同类项法那么计算即可；B、依据单项式乘单项式法那么计算即可；C、依据积的乘方法那么计算即可；D、依据平方差公式计算即可．
【解答】解：A、5m+2m=〔5+2〕m=7m，故A错误；
B、﹣2m2•m3=﹣2m5，故B错误；
C、〔﹣a2b〕3=﹣a6b3，故C正确；
D、〔b+2a〕〔2a﹣b〕=〔2a+b〕〔2a﹣b〕=4a2﹣b2，故D错误．
应选：C．
【点评】此题主要考察的是整式的计算，掌握合并同类项法那么、单项式乘单项式法那么、积的乘方法那么以及平方差公式是解题的关键．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，那么∠ADB的大小为〔〕
A．46° B．53° C．56° D．71°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．
【解答】解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，
∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB=56°，
应选C．
【点评】此题考察了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠ACB的度数和得出∠ACB=∠ADB．
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，那么N处与灯塔P的距离为〔〕
A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里
【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，那么在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：MN=2×40=80〔海里〕，
∵∠M=70°，∠N=40°，
∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=80〔海里〕．
应选：D．
【点评】此题考察了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．
9．反比例函数y=的图象如下图，以下结论：
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③假设A〔﹣1，h〕，B〔2，k〕在图象上，那么h＜k；
④假设P〔x，y〕在图象上，那么P′〔﹣x，﹣y〕也在图象上．
其中正确的选项是〔〕
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进展判断即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，
∴m＞0
故①错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
将A〔﹣1，h〕，B〔2，k〕代入y=得到h=﹣m，2k=m，
∵m＞0
∴h＜k
故③正确；
将P〔x，y〕代入y=得到m=xy，将P′〔﹣x，﹣y〕代入y=得到m=xy，
故P〔x，y〕在图象上，那么P′〔﹣x，﹣y〕也在图象上
故④正确，
应选C
【点评】此题考察了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决
此题的关键．
10．如图，在直角坐标系中，直线AB经点P〔3，4〕，与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB 的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是〔〕
A．2 B．3.5 C． D．4
【考点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形性质．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】设直线AB的解析式是y=kx+b，把P〔3，4〕代入求出直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，求出OA=4﹣3k，OB=，求出△AOB的面积是•OB•OA=12﹣=12﹣〔k+〕，根据﹣k ﹣≥2=12和当且仅当﹣k=﹣时，取等号求出k=﹣，求出OA=4﹣3k=8，OB==6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．
【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P〔3，4〕代入得：4=3k+b，
b=4﹣3k，
即直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，
当x=0时，y=4﹣3k，
当y=0时，x=，
即A〔0，4﹣3k〕，B〔，0〕，
△AOB的面积是•OB•OA=••〔4﹣3k〕=12﹣=12﹣〔k+〕，
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须最大，
∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∵﹣k﹣≥2=12，
当且仅当﹣k=﹣时，取等号，解得：k=±，
∵k＜0，
∴k=﹣，
即OA=4﹣3k=8，OB==6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，
R=2，
应选A．
【点评】此题考察了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，此题比拟好，但是有一定的难度．
二、填空题
11．+〔y﹣2021〕2=0，那么x y= 1 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
那么x y=〔﹣1〕2021=1．
故答案是：1．
【点评】此题考察了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．m2﹣m=6，那么3﹣2m2+2m= ﹣9 ．
【考点】代数式求值．
【分析】将m2﹣m=6代入3﹣2m2+2m中，即可得出结论．
【解答】解：∵m2﹣m=6，
∴3﹣2m2+2m=3﹣2〔m2﹣m〕=3﹣2×6=﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】此题考察了代数式的求值，解题的关键是在代数式中找出m2﹣m．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，将原代数式进展变形使其只含给定代数式是关键．
13．一种花粉颗粒的直径约为×10﹣6．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】计算题．
【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
×10﹣6．
×10﹣6．
【点评】此题考察了科学记数法﹣表示较小的数：用a×10n〔1≤a＜10，n为负整数〕表示较小的数．
14．一个不透明的袋子里装着质地、大小都一样的3个红球和1个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．那么两次都摸到红球的概率是0.5 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看两个球颜色一样的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：列表得：
〔红，绿〕〔红，绿〕〔红，绿〕
〔红，红〕〔红，红〕〔绿，红〕
〔红，红〕〔红，红〕〔绿，红〕
〔红，红〕〔红，红〕〔绿，红〕
∴一共有12种情况，两次都摸到红球的6种，
∴两次都摸到红球的概率是0.5，
故答案为：0.5．
【点评】此题考察的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=〔x＞0〕的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．假设四边形ODBE的面积为6，那么k= 3 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题．
【分析】连接OB，由矩形的性质和条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．
【解答】解：连接OB，如下图：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y=〔x＞0〕的图象上，
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，
∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，
∴k=3；
故答案为：3．
【点评】此题考察了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌
握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．假设点P在直线AC上〔不与点A，C重合〕，且∠ABP=30°，那么CP的长为6或2或4．
【考点】解直角三角形．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，分4种情况进展讨论，利用直角三角形的性质解答．
【解答】解：如图1：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB===2；如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4．
故答案为：6或2或4．
【点评】此题考察了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为〔0，﹣4〕．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】y轴上点的坐标横坐标为0，纵坐标为y=﹣4，坐标为〔0，﹣4〕．
【解答】解：把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为〔0，﹣4〕．
【点评】此题考察了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0．
18．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为3cm ．
【考点】等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】应用题．
【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB=6cm，
∴AD=3cm．
故答案为：3cm．
【点评】此题主要考察学生对等边三角形的性质的理解及运用能力，比拟简单．
三、解答题〔本大题共7小题，共66分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕19．计算：﹣12+4sin60°﹣+〔﹣2021 〕0．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及零指数幂法那么计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+2﹣2+1=0．
【点评】此题考察了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
20．化简求值：[﹣]•，其中x=+1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先将中括号内的局部进展通分，然后按照同分母分式的减法法那么进展计算，再按照分式的乘法法那么计算、化简，最后再代数求值即可．
【解答】解：原式=
=
=，
将x=+1代入得：原式==．
【点评】此题主要考察的是分式的化简以及二次根式的运算，掌握分式的通分、加减、乘除等运算法那么是解题的关键．
21．〔2021 •黄石〕父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均一样．
〔1〕求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；
〔2〕假设给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，那么爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】〔1〕首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
〔2〕首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，那么爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比拟大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．
【解答】解：〔1〕分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： =；
〔2〕会增大，
理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： =＞；
∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，那么爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．
【点评】此题考察了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．〔2021 •云南〕为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进展班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设胜了x场，那么负了〔8﹣x〕场，根据得分为13分可列方程求解．
【解答】解：设胜了x场，那么负了〔8﹣x〕场，根据题意得：
2x+1•〔8﹣x〕=13，
x=5，
8﹣5=3．
答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．
【点评】此题考察了一元一次方程的应用，还考察了学生的理解题意能力，关键设出胜的场数，以总分数做为等量关系列方程求解．
23．〔2021•咸宁〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
〔1〕求n的值；
〔2〕假设F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
【专题】几何图形问题．
【分析】〔1〕利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；〔2〕利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
【解答】解：〔1〕∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
〔2〕四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【点评】此题主要考察了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．
24．〔2021•红河州一模〕如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP 方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离〔≈1.41，≈1.73，结果保存整数〕．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】作PD⊥BC于点D，求出PB的长，在Rt△BPD中，利用三角函数求出PD的长；再在Rt△CPD 中，求出PC的长．
【解答】解：如图，作PD⊥BC于点D．
根据题意，得∠BPD=60°，∠CPD=45°，
PB=AP﹣AB=20海里，
在Rt△BPD中，
∴PD=PB•cos60°=10海里，
在Rt△CPD中，
∴PC==10海里．
∴PC=14
答：乙船的航行距离约是14海里．
【点评】此题考察了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，表达了数学应用于实际生活的思想．
25．〔2007•龙岩〕如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
〔1〕求抛物线的对称轴；
〔2〕写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
〔3〕探究：假设点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？假设存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．
〔2〕令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．
〔3〕分三种情况讨论：
①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；
②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，其横坐标，可得其坐标；
③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标．【解答】解：〔1〕抛物线的对称轴x=﹣=；〔2分〕
〔2〕由抛物线y=ax2﹣5ax+4可知C〔0，4〕，对称轴x=﹣=，
∴BC=5，B〔5，4〕，又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A〔﹣3，0〕B〔5，4〕C〔0，4〕〔5分〕
把点A坐标代入y=ax2﹣5ax+4中，
解得a=﹣，〔6〕
∴y=x2+x+4．〔7分〕
〔3〕存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80
在Rt△ANP1中，P1N====，
∴P1〔，﹣〕．〔9分〕
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．
在Rt△BMP2中MP2==
=
=，
∴P2=〔，〕．〔11分〕
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，
∴∠P3CK=∠BAQ，∠CKP3=∠AQB，
∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．
∴==．
∵P3
∴CK=5于是OK=1，〔13分〕
∴P3〔2.5，﹣1〕．〔14分〕
【点评】此题考察了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等根底知识，还结合等腰三角形的性质考察了点的存在性问题，有一定的开放性．。