高考数学一轮复习 第11单元第66讲 排列与组合的综合应用问题课件 理 湘教
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为系数a和c，有C13C14A22种，第二步在剩余数中取一数 为系数b，有C16种，故共有C13C14A22C16 144条．
2分为三类： 1B，D，E，F用四种颜色，则有A44 1124种涂色方法； 2B，D，E，F用三种颜色，则有A34 22A34 2?12192
种涂色方法；
3B，D，E，F用两种颜色，则有A24 2248种涂色方法．
解析 (1)（方法1）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2,
A
1 2
A
2 2
+A
2 2
=6(个);
当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A
1 2
A
3 3
=12(个);
当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A
1 2
A
3 =12(个);
3
当末位数字是４,而首位数字是2,有 A
2 2
+A
1 1
=3(个);
中 直 角 三 角 形 的 个 数 为 _ _ _ 4_ 8_ _ _ _ . 解析 正方体的每个顶点可引出3条棱， 3条面对角线，
其中每2条棱可构成一个直角三角形的两直角边，每1 条棱和1条面对角线也可以构成一个直角三角形的两直 角边，所以以一个顶点为直角顶点有6个直角三角形， 因此共有8648个直角三角形．
有 ___3_9_0____ (用数字作答)种．
解析 用2种颜色涂色，涂法种数
有2C62 30种；用3种颜色涂色，首先从 6种颜色中选3种，选法有C36种选法，然 后选一种颜色涂两格，有3C13种涂法，剩下两种颜色各 涂一格，有A22种涂法，涂法种数为C36 3C13 A22 360，故符 合条件的涂色方法种数为390.
同 的 分 法 有
B
A． 72 种 C． 18 种
B.36种 D． 6种
解析 先 分 组 后 分 配 ， 先 从 4本 不 同 的 书 中 选 2本 为 1组 ，
剩 下 的 2本 书 各 为 2组 ， 共 有 C 1 4种 ， 然 后 将 3组 书 分 给 3名 学 生 ， 共 有 A 种 ， 故 总 的 分 法 有 C 2 4A 3 336种 ， 应 选 B .
A
4 4
+
A
1 2
A
1 3
A
3 3
=60(个).
故满足条件的五位偶数共有
60- A
1 3
A
3 3
-A
1 2
-1=39(个).
(2)（方法1）可分两类:
0是末位数，有
A
2 2
A
2 2
=4（个）；
２或４是末位数，有
A
2 2
A
1 2
=4(个).
故共有4+4=8(个).
(方法2)第二位、第四位从奇数1，3中取，
配 方 案 有
(D )
A.80种 C.5种
B.160种 D.10种
解析 由 于 同 一 所 高 校 的 指 标 是 相 同 的 ， 因 此 用
“ 隔 板 法 ” 分 为 四 份 即 可 ， 故 共 有 C 3 5 1 0 种 ， 应 选 D .
2 . 将 4 本 不 同 的 书 分 给 3 名 学 生 ， 每 人 至 少 一 本 ， 则 不
进一步理解排列、组合的概念， 掌握排列、组合数公式；提高灵活 应用排列、组合知识及其基本方法、 技巧分析和解决有关应用问题的能 力.
1. 将 同 一 所 高 校 的 6个 自 主 招 生 指 标 分 给 某 校 高 三 年
级 的 4 个 班 ， 每 班 至 少 分 得 一 个 指 标 ， 则 不 同 的 分
当末位数字是4,而首位数字是3，有
A
3 3
=6(个).
故有6+12+12+3+6=39(个).
(方法2)不大于21034的偶数可分为三类：
1为万位数字的偶数，有Leabharlann A1 3A
3 3
=18(个);
2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
A
1 2
=2(个);
还有21034本身.
而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.
2 6
+C
2 4
·C
1 6
+2=98个.
(2)所作三棱锥最多有
C
1 4
·C
3 6
·+ C
2 4
·C
2 6
+C
3 4
·C
1 6
=194个.
备选题 设集合M 1,2,3,4,5,6，S1，S2，，Sk都是
M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si {ai，bi}，
Sj
{aj，bj}(i
j，i、j {1,2,3，，k})，都有minabii
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
=48个数.
(2)（方法一）1排十万位有A
5 5
种，2排个
位有A
5 5
种,且１排十万位而2排个位有A
4 种,共
4
可组成 A
A 6 -2
6
A 5 +
5
4 =504个数.
4
(方法二)以1的排法分为两类：①1排个
位有 A
5 5
种；②1排中间4个位置之一，而2不
排个位有A
1 4
·A
4 4
·A
1 种，
4
共可组成 A
2.解排列、组合题的“十六字方针， 十二个技巧”
(1)“十六字方针”是解排列、组合题 的 基 本 分类规相加、律分步相, 乘、即 ⑤ 有序排列、无序组合 .
.
(2)“十二个技巧”是解排列、组合题 的捷径,即:
相邻问题捆绑法； 不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
所以共有2419248264种不同的涂色方法．
评析 几 何 型 排 列 、 组 合 的 综 合 问 题 ， 求 解 过 程
应 兼 顾 排 列 、 组 合 的 基 本 知 识 、 方 法 与 几 何 性 质 的 综 合 运 用 ．
素材3 已知平面α∥平面β,在α内有4个不共线的 点，在β内有6个不共线的点.
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多 少个不同平面？
(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?
解析 (1)作出的平面有三类：
①α内1点,β内2点确定的平面有 ·C 14 C个62 ;
②α内2点,β内1点确定的平面有
C·24
C
个1 ; 6
③α,β平面本身.
所以所作平面最多有 C
1 4
·C
, bi ai
minabjj
,
bj aj
(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的
最大值是
( )
A. 10
B. 11
C. 12
D.13
解析 含 2个 元 素 的 子 集 有 15个 ， 但 1 ,2、 2,4、 3,6只
1.求解排列与组合的综合应用题的三条 途径
(1)以① 元素为分析对象 ,先满足特殊 元素的要求,再考虑其他元素,即优元法.
(2)以② 位置为分析对象 ,即先满足特殊 位置的要求,再考虑其他位置,即优位法.
这两种方法都是③ 直接法 .
(3)先不考虑附加条件，计算出所有排 列数或组合数，再减去不符合要求的排列 数或组合数，即④ 间接法 .
5 5
+A
1 4
·A
4 4
·A
1 ＝504个数.
4
题型三 几何型排列、组合问题
例3 1二次函数f x ax2 bx c的系数a、b、c为
集合A {3， 2，1, 0,1, 2,3, 4}中的三个不同元素，则
可确定坐标原点在该函数图象对应的抛物线内部的条
数有 __________ 条．
2 (2010 天津卷)如图，用四种不同颜色给图中的A、
(3)辩证地看待“元素”与“位 置”.排列、组合问题中的元素与位 置，没有严格的界定标准，哪些事 物看成元素或位置，要视具体情况 而定，有时“元素选位置”，问题 解决得简捷，有时“位置选元素”， 效果会更好.
题型一 分组分配问题
例1 某市创业园区的某项工程共有6个不同的建
设项目，计划由甲、乙、丙3 个基建队承包完成，每 个基建队至少能承包其中的一个项目，分别求符合下 列条件的不同分配方案．
解析 各 数 位 上 的 数 字 之 和 为 奇 数 有 两 种 情 形 ： ①
三 个 数 均 为 奇 数 ， 共 有 A 3 3个 ； ② 三 个 数 中 一 奇 二 偶 ， 共 有 C 1 3A 3 3个 ， 故 共 有 A 3 3C 1 3A 3 324个 ．
5. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色， 每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3种颜色且 相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共
1每个基建队均承包2个项目； 2甲、乙、丙三个队分别承包的项目数为1个、2个或3个．
评析 分配问题处理方法有“边分边给”和“先分组后分
配” 两种方法，同时应注意平均分组且组无代号的分组方
法，共有
种 ， 应 用 时 一 定 要
分 析 确 认 所 平 均 分 的 组 有 无 代 号 ．
素材1 某班级要从4名男生、 2名女生中选派4人参加
B、C、D、E、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜
色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不
同的涂色方法共有
( )
A． 288种 C． 240种
B． 264种 D． 168种
解析 1由图形特征可知，原点在抛物线内等价于
af (0)00或af (0)00,即ca00或ca00,从而ac0，则 确定满足条件的抛物线时，第一步取一正数和一负数
易错点 先 从 4本 不 同 书 中 选 3本 给 3名 学 生 ， 然 后 将
剩 下 的 书 给 3名 学 生 中 的 一 名 ， 有 A 3 4C 1 372种 ， 这 样 将 会 出 现 重 复 现 象 ．
3 . 从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 取 3 个 顶 点 构 成 三 角 形 ， 其
易错点 正 方 体 的 8 个 顶 点 取 3 个 为 顶 点 构 成 三 角 形 ，
直 角 顶 点 只 能 是 正 方 体 的 顶 点 ．
4 . 由 1 、 2 、 3 、 4 、 5 这 五 个 数 字 组 成 的 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数
中 ， 各 数 位 上 的 数 字 之 和 为 奇 数 的 共 有 _ 2_ _ 4_ _ 个 ．
某次社区服务中的2项服务工作，如果要求至少有 1名 女生参加，且每项工作均由 2人承担，那么不同的选
派方案种数为___8__4____ 种．
解析 先 从 6 人 中 依 题 设 选 4 人 ， 有
然 后 将 4 人 平 均 分 配 承 担 2 项 工 作 ， 有共 有
题型二 数字排列、组合问题
例2 用0,1,2,3,4这五个数字，可以组 成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
有
A
2 2
个;首位从２,４中取，有
A
2个1 ；余下
排在剩下的两位，有
A
2 2
个,故共有
A
2 2
A
1 2
A
2 2
=8(个).
评析 不同数字的无重复排列是排列问 题中的一类典型问题，常见的附加条件 有：奇偶数、位数关系及大小关系等， 也可有相邻问题、不相邻问题等，解决 这类问题的关键是搞清受限条件，然后 按特殊元素（位置）的性质分类.这类 问题有0参与时，不可忽视它不能排在 首位的隐含条件.
素材2 用1,2,3,4,5,6按下列要求可组成多少 个没有重复数字的6位数. (1)1，2排两端（即十万位和个位）； (2)1不排十万位，2不排个位.
解析 (1)首先考虑特殊元素，1，2先排
两端，有A
2 2
种，再让其他４个数在中间
位作全排列，有
A
4 4
种.由分步计数原理,
共有 A
A2 ·
2
4 4
2分为三类： 1B，D，E，F用四种颜色，则有A44 1124种涂色方法； 2B，D，E，F用三种颜色，则有A34 22A34 2?12192
种涂色方法；
3B，D，E，F用两种颜色，则有A24 2248种涂色方法．
解析 (1)（方法1）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2,
A
1 2
A
2 2
+A
2 2
=6(个);
当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A
1 2
A
3 3
=12(个);
当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A
1 2
A
3 =12(个);
3
当末位数字是４,而首位数字是2,有 A
2 2
+A
1 1
=3(个);
中 直 角 三 角 形 的 个 数 为 _ _ _ 4_ 8_ _ _ _ . 解析 正方体的每个顶点可引出3条棱， 3条面对角线，
其中每2条棱可构成一个直角三角形的两直角边，每1 条棱和1条面对角线也可以构成一个直角三角形的两直 角边，所以以一个顶点为直角顶点有6个直角三角形， 因此共有8648个直角三角形．
有 ___3_9_0____ (用数字作答)种．
解析 用2种颜色涂色，涂法种数
有2C62 30种；用3种颜色涂色，首先从 6种颜色中选3种，选法有C36种选法，然 后选一种颜色涂两格，有3C13种涂法，剩下两种颜色各 涂一格，有A22种涂法，涂法种数为C36 3C13 A22 360，故符 合条件的涂色方法种数为390.
同 的 分 法 有
B
A． 72 种 C． 18 种
B.36种 D． 6种
解析 先 分 组 后 分 配 ， 先 从 4本 不 同 的 书 中 选 2本 为 1组 ，
剩 下 的 2本 书 各 为 2组 ， 共 有 C 1 4种 ， 然 后 将 3组 书 分 给 3名 学 生 ， 共 有 A 种 ， 故 总 的 分 法 有 C 2 4A 3 336种 ， 应 选 B .
A
4 4
+
A
1 2
A
1 3
A
3 3
=60(个).
故满足条件的五位偶数共有
60- A
1 3
A
3 3
-A
1 2
-1=39(个).
(2)（方法1）可分两类:
0是末位数，有
A
2 2
A
2 2
=4（个）；
２或４是末位数，有
A
2 2
A
1 2
=4(个).
故共有4+4=8(个).
(方法2)第二位、第四位从奇数1，3中取，
配 方 案 有
(D )
A.80种 C.5种
B.160种 D.10种
解析 由 于 同 一 所 高 校 的 指 标 是 相 同 的 ， 因 此 用
“ 隔 板 法 ” 分 为 四 份 即 可 ， 故 共 有 C 3 5 1 0 种 ， 应 选 D .
2 . 将 4 本 不 同 的 书 分 给 3 名 学 生 ， 每 人 至 少 一 本 ， 则 不
进一步理解排列、组合的概念， 掌握排列、组合数公式；提高灵活 应用排列、组合知识及其基本方法、 技巧分析和解决有关应用问题的能 力.
1. 将 同 一 所 高 校 的 6个 自 主 招 生 指 标 分 给 某 校 高 三 年
级 的 4 个 班 ， 每 班 至 少 分 得 一 个 指 标 ， 则 不 同 的 分
当末位数字是4,而首位数字是3，有
A
3 3
=6(个).
故有6+12+12+3+6=39(个).
(方法2)不大于21034的偶数可分为三类：
1为万位数字的偶数，有Leabharlann A1 3A
3 3
=18(个);
2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
A
1 2
=2(个);
还有21034本身.
而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.
2 6
+C
2 4
·C
1 6
+2=98个.
(2)所作三棱锥最多有
C
1 4
·C
3 6
·+ C
2 4
·C
2 6
+C
3 4
·C
1 6
=194个.
备选题 设集合M 1,2,3,4,5,6，S1，S2，，Sk都是
M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si {ai，bi}，
Sj
{aj，bj}(i
j，i、j {1,2,3，，k})，都有minabii
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
=48个数.
(2)（方法一）1排十万位有A
5 5
种，2排个
位有A
5 5
种,且１排十万位而2排个位有A
4 种,共
4
可组成 A
A 6 -2
6
A 5 +
5
4 =504个数.
4
(方法二)以1的排法分为两类：①1排个
位有 A
5 5
种；②1排中间4个位置之一，而2不
排个位有A
1 4
·A
4 4
·A
1 种，
4
共可组成 A
2.解排列、组合题的“十六字方针， 十二个技巧”
(1)“十六字方针”是解排列、组合题 的 基 本 分类规相加、律分步相, 乘、即 ⑤ 有序排列、无序组合 .
.
(2)“十二个技巧”是解排列、组合题 的捷径,即:
相邻问题捆绑法； 不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
所以共有2419248264种不同的涂色方法．
评析 几 何 型 排 列 、 组 合 的 综 合 问 题 ， 求 解 过 程
应 兼 顾 排 列 、 组 合 的 基 本 知 识 、 方 法 与 几 何 性 质 的 综 合 运 用 ．
素材3 已知平面α∥平面β,在α内有4个不共线的 点，在β内有6个不共线的点.
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多 少个不同平面？
(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?
解析 (1)作出的平面有三类：
①α内1点,β内2点确定的平面有 ·C 14 C个62 ;
②α内2点,β内1点确定的平面有
C·24
C
个1 ; 6
③α,β平面本身.
所以所作平面最多有 C
1 4
·C
, bi ai
minabjj
,
bj aj
(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的
最大值是
( )
A. 10
B. 11
C. 12
D.13
解析 含 2个 元 素 的 子 集 有 15个 ， 但 1 ,2、 2,4、 3,6只
1.求解排列与组合的综合应用题的三条 途径
(1)以① 元素为分析对象 ,先满足特殊 元素的要求,再考虑其他元素,即优元法.
(2)以② 位置为分析对象 ,即先满足特殊 位置的要求,再考虑其他位置,即优位法.
这两种方法都是③ 直接法 .
(3)先不考虑附加条件，计算出所有排 列数或组合数，再减去不符合要求的排列 数或组合数，即④ 间接法 .
5 5
+A
1 4
·A
4 4
·A
1 ＝504个数.
4
题型三 几何型排列、组合问题
例3 1二次函数f x ax2 bx c的系数a、b、c为
集合A {3， 2，1, 0,1, 2,3, 4}中的三个不同元素，则
可确定坐标原点在该函数图象对应的抛物线内部的条
数有 __________ 条．
2 (2010 天津卷)如图，用四种不同颜色给图中的A、
(3)辩证地看待“元素”与“位 置”.排列、组合问题中的元素与位 置，没有严格的界定标准，哪些事 物看成元素或位置，要视具体情况 而定，有时“元素选位置”，问题 解决得简捷，有时“位置选元素”， 效果会更好.
题型一 分组分配问题
例1 某市创业园区的某项工程共有6个不同的建
设项目，计划由甲、乙、丙3 个基建队承包完成，每 个基建队至少能承包其中的一个项目，分别求符合下 列条件的不同分配方案．
解析 各 数 位 上 的 数 字 之 和 为 奇 数 有 两 种 情 形 ： ①
三 个 数 均 为 奇 数 ， 共 有 A 3 3个 ； ② 三 个 数 中 一 奇 二 偶 ， 共 有 C 1 3A 3 3个 ， 故 共 有 A 3 3C 1 3A 3 324个 ．
5. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色， 每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3种颜色且 相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共
1每个基建队均承包2个项目； 2甲、乙、丙三个队分别承包的项目数为1个、2个或3个．
评析 分配问题处理方法有“边分边给”和“先分组后分
配” 两种方法，同时应注意平均分组且组无代号的分组方
法，共有
种 ， 应 用 时 一 定 要
分 析 确 认 所 平 均 分 的 组 有 无 代 号 ．
素材1 某班级要从4名男生、 2名女生中选派4人参加
B、C、D、E、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜
色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不
同的涂色方法共有
( )
A． 288种 C． 240种
B． 264种 D． 168种
解析 1由图形特征可知，原点在抛物线内等价于
af (0)00或af (0)00,即ca00或ca00,从而ac0，则 确定满足条件的抛物线时，第一步取一正数和一负数
易错点 先 从 4本 不 同 书 中 选 3本 给 3名 学 生 ， 然 后 将
剩 下 的 书 给 3名 学 生 中 的 一 名 ， 有 A 3 4C 1 372种 ， 这 样 将 会 出 现 重 复 现 象 ．
3 . 从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 取 3 个 顶 点 构 成 三 角 形 ， 其
易错点 正 方 体 的 8 个 顶 点 取 3 个 为 顶 点 构 成 三 角 形 ，
直 角 顶 点 只 能 是 正 方 体 的 顶 点 ．
4 . 由 1 、 2 、 3 、 4 、 5 这 五 个 数 字 组 成 的 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数
中 ， 各 数 位 上 的 数 字 之 和 为 奇 数 的 共 有 _ 2_ _ 4_ _ 个 ．
某次社区服务中的2项服务工作，如果要求至少有 1名 女生参加，且每项工作均由 2人承担，那么不同的选
派方案种数为___8__4____ 种．
解析 先 从 6 人 中 依 题 设 选 4 人 ， 有
然 后 将 4 人 平 均 分 配 承 担 2 项 工 作 ， 有共 有
题型二 数字排列、组合问题
例2 用0,1,2,3,4这五个数字，可以组 成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
有
A
2 2
个;首位从２,４中取，有
A
2个1 ；余下
排在剩下的两位，有
A
2 2
个,故共有
A
2 2
A
1 2
A
2 2
=8(个).
评析 不同数字的无重复排列是排列问 题中的一类典型问题，常见的附加条件 有：奇偶数、位数关系及大小关系等， 也可有相邻问题、不相邻问题等，解决 这类问题的关键是搞清受限条件，然后 按特殊元素（位置）的性质分类.这类 问题有0参与时，不可忽视它不能排在 首位的隐含条件.
素材2 用1,2,3,4,5,6按下列要求可组成多少 个没有重复数字的6位数. (1)1，2排两端（即十万位和个位）； (2)1不排十万位，2不排个位.
解析 (1)首先考虑特殊元素，1，2先排
两端，有A
2 2
种，再让其他４个数在中间
位作全排列，有
A
4 4
种.由分步计数原理,
共有 A
A2 ·
2
4 4