数学建模之摩托车选购问题.

数学建模与数学实验
课程设计报告
学院数理学院专业数学与应用数学班级1314112 学号131411224 学生姓名李高锋指导教师张晓果
2013年6月
题目
1.你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。

你选择的标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况。

经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵
⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1 3 781 1 553A =11 137********
三种车型（记为a ，b ，c ）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜
欢程度的成对比较矩阵为
（价格） （耗油量）
123112211132a b c a b c ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦
1115211217a b c a b c ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥5 7⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦
（舒适程度） （外表）
111311154a b c a b c ⎡⎤ 3 5⎢⎥⎢⎥⎢ 4⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦
115111137a b c a b c ⎡⎤ 3⎢⎥⎢⎥5 7⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ （1）根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请你按
由重到轻的顺序将它们出。

（2）哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，你认为哪辆车最漂亮？
（3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。

摘 要
商品各项指标比较时我们现实生活中经常遇到的问题，购买商品时，我们要对商品价格、外观、实用性、质量以及自身购买力和喜好程度等诸多因素进行考虑，以寻求效用最大化的最终方案。

将商品的各项指标以矩阵的形式列出来，利用高等代数等相关知识，构造它们之间的成对比较矩阵，通过层次分析法，针对同一层得每个矩阵按列向量归一化求的归一化向量E ，对E 按行求和得到向量F ，再对F 进行归一化，得到权向量w ，将层次比较判断后进行综合,做出选择.所给题目中购买摩托车问题便是该模型的一个具体实例。

（1） 有所求结果可知四种标准由重到轻的顺序是：b a c >>。

（2） 由模型的分析和求解可知 c 车最便宜，a 车最省油，a 车最舒适，
b 车最漂亮。

（3） 对各种车的喜爱程度分别为：
141.06%
243.78%315.16%
D D D ===，所以最喜欢b 车。

关键字：价格，耗油量，舒适度，外表美观，喜欢程度，层次分析法
1．问题重述
题目中给定了我们对三种车关于价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况四种的比较矩阵，还有三种车型（记为a，b，c）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度的成对比较矩阵，要求我们采用一定方法从矩阵中获取信息，从出四项标准排出a、b、c三种车在我们心中由重到轻的顺序；并判断哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，哪辆车最漂亮；最后要求我们用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度。

2.模型假设
对于购车方案的选择，除去价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观这四方面的考虑因素之外，不考虑所购摩托车的品牌效应，个人对于摩托车的产地的喜好，排除顾客对所购车辆是否会因为是国货或日货等投入个人感情色彩而影响购买愿望，总之，仅考虑题目中所给四种因素。

3．符号说明
B(k)(k=1,2,3,4)：各因素成对比较矩阵
C(k)：B(k)列向量求和所得向量
D(k):对C(k)的平铺矩阵
E(k): B（k）./D（k）
F(k):对矩阵E(k)行求和
G(k):对F(k)列求和
H(k):对G(k)的平铺矩阵
w(k):各项因素的权向量
λ:各因素的最大特征根
CI：一致性指标
CR：一致性比率
P：组合权重
D：喜欢程度
4.分析与建立模型
问题分析：
a、b、c三种车型的选择与车的外表，耗油量，价格以及舒适程度密切相关。

欲建立解决方案的模型首先要确定这四个要素在我们心中的地位，对各个地位要量化以确保方案最优化的准确性；其次，就每一个要素都要将三个选择方案进行比较；最后，将各个层次的比较判断进行综合，确定出最优解。

建立模型：
建立如下层次结构模型
目标层是解决问题的目的，此题中的目的就是为了选择令自己最满意的车型。

准则层是为实现总目标而采取的各种措施和方案。

该问题的各项准则分别为价格，耗油量，舒适程度和外表。

方案层是用于解决问题的各种方案和措施。

本题中的解决方案即a 、b 、c 三种车型。

本题中通过对价格，耗油量，舒缓程度和外表选择(分别用x1、x2、x3、x4表示)最令自己满意的车型这一目的的影响程度来构造一个与各因素相关的判断矩阵
1378111552311133751114
853x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
1⎢⎥⎣⎦
A =
通过列向量归一化求得归一化后的n ×n 阶矩阵，然后对该矩阵按行求和得
到一个n ×1阶的新矩阵，对得到的新矩阵再次归一化，求得矩阵w=[w1,w2,w3,w4],所得矩阵中的每个分量就是准则层对应因素对于目标层的权重；A ×w=[y1,y2,y3,y4], λ=1/3*(y1/w1+y2/w2+y3/w3+y4/w4)。

然后利用同样的方法构造出所给各个方案分别对应准则层中x1、x2、x3、x4
这四个因素的权
向量(3)k w 以及对应的λ(k)；另外还应求出λ(k),对应的一致性指标CI(k)。

对计算得到的数据列表，利用相应方法对所得数据检验，求解，找出a 、b 、c 三种车在我们心中由重到轻的顺序；并判断哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，哪辆车最漂亮；最后要求我们用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度。

5.模型求解
有前面的模型可知我们先对成对比较矩阵
1378111552311133751114
853x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
1⎢⎥⎣⎦
A =
列
向量归一化，得到矩阵B=0.6245
0.68180.52500.47060.2082
0.22730.37500.29410.08920.04550.07500.17650.0781
0.04550.02500.0588⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦，然后按行求和得
到矩阵C = 2.30191.10460.38620.2074⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再对矩阵C =
2.30191.10460.38620.2074⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦归一化得到w =0.57530.27610.09650.0518⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
2.49401.20970.38940.2111*?A w ⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=1/4 2.4940/0.5753 1.2097/0.27610.3894/0.09650.2111/0.0518 1.2068
µ=⨯+++=（）同理，可求得下面四个比较矩阵权向量和最大特征根。

（价格B1） （耗油量B2）
123112211132a b c a b c ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦
1115211217a b c a b c ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥5 7⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦
（舒适程度B3） （外表B4）
111311154a b c a b c ⎡⎤ 3 5⎢⎥⎢⎥⎢ 4⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦
115111137a b c a b c ⎡⎤ 3⎢⎥⎢⎥5 7⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 以上四个矩阵的权向量和最大特征根µ（k ）以及一致性指标CI(k)如下表所
x
（1）
10.57520.53900.27610.11090.0960.61940.05180.19320.410420.57520.29730.27610.73110.09650.28240.05180.72350.437630.57520.16380.27610.15800.09650.09640.05180.08330.1515P P P =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯= 四种标准由重到轻的顺序是：b a c >>。

（2）由表格分析求解可知 c 车最便宜，a 车最省油，a 车最舒适，b 车最漂亮。

（3）对a 种类型车的喜欢程度：11/
123100%41.06%D P P P P =++⨯=（） 对b 种类型车的喜欢程度：2 2/123100%43.78%D P P P P =++⨯=（
） 对a 种类型车的喜欢程度：3 3/123100%15.16%D P P P P =++⨯=（
） 具体算法有两种，（一）输入式算法，（二）程序算法，但本质上是相同的，见附录。

6.模型检验
本模型的检验主要采取一致性检验。

判断矩阵通常是不一致的，但为了能使判断矩阵对应特征根µ的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在允许的范围内。

（1）构造一致性指标/1CI n n =λ--（）（），当CI=0时，A 是一致的；当CI 越大，
A 的不一致程度越严重。

（2）运用随机一致性指标RI，如下表所示：
（3）一致性比率CR
CR=CI/RI，用于确定A不一致性的允许范围。

当CR<0.1时，A的不一致性程度在允许的范围内，此时可以用A的特征向量作为权向量。

根据前面的计算，n=3时，RI=0.58，由此可知B及
B均通过一致
k
性检验。

7.模型推广
层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具具有系统性的优点。

此外该方法简洁实用便于决策，且所需数据量不多，是解决方案选择的好方法
层析分析法不仅可以用来筛选商品选购最优化方案，也可以运用到经济管理和计划方面，能源政策和分配上，还可以用于行为科学，军事指挥，运输方案的选择，农业，教育，人才医疗等诸领域。

8.模型优缺点
优点：
1分析方法比较系统
2决策时简洁实用
3所需定量数据少
缺点：
1不能为决策提供新方案
2定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
3指标过多时数据统计量大，且权重难以确定
4特征值和特征向量的精确求法比较复杂
9.参考文献
【1】王沫然，MATLAB6.0与科学计算，北京，电子工业出版社，2001
【2】徐金明，MATLAB实用教程,清华大学出版社，2012
【3】赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2011
【4】马东升，雷勇军,，数值计算方法，机械工业出版社，2012
10.附录
我们提供两种求解方法：（一）输入式算法
（二）程序算法
方法（一）：
矩阵B1矩阵向量w1及特征值µ1的求解
B1=[1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1]
B1 =
1.0000
2.0000
3.0000
0.5000 1.0000 2.0000
0.3333 0.5000 1.0000
>> C1＝sum(B1)
C1＝
1.8333 3.5000 6.0000
>> D1=repmat(C1,3,1)
D1=
1.8333 3.5000 6.0000
1.8333 3.5000 6.0000
1.8333 3.5000 6.0000
>> E1=B1./D1
E1=
0.5455 0.5714 0.5000
0.2727 0.2857 0.3333
0.1818 0.1429 0.1667
>>F1=sum(E1,2)
F1 =
1.6169
0.8918
0.4913
>>
>>G1＝sum(F1)
G1=
3.0000
>> H1=repmat(G1,3,1)
H1 =
3.0000
3.0000
3.0000
>> w1=F1./H1
w1=
0.5390
0.2973
0.1638
>>
>> B1w1 = B1*w1
1.6248
0.8943
0.4921
>>
λ1=1/3*(1.6248/0.5390+0.8943/0.2973+0.4921/0.1638) λ1=3.0089
矩阵B2矩阵向量w2及特征值µ2的求解
矩阵2
>> B2=[1 1/5 1/2;5 1 7;2 1/7 1]
B2 =
1.0000 0.2000 0.5000 5.0000 1.0000 7.0000
2.0000 0.1429 1.0000
>> C2=sum(B2)
C2 =
8.0000 1.3429 8.5000
>> D2=repmat(C2,3,1)
D2 =
8.0000 1.3429 8.5000 8.0000 1.3429 8.5000 8.0000 1.3429 8.5000
>> E2=B2./D2
E2 =
0.1250 0.1489 0.0588 0.6250 0.7447 0.8235 0.2500 0.1064 0.1176
>> F2=sum(E2,2)
F2 =
0.3328
2.1932
0.4740
>> G2=sum(F2)
G2 =
3.0000
>> H2=repmat(G2,3,1)
H2 =
3.0000
3.0000
3.0000
>> w2=F2./H2
w2 =
0.1109
0.7311
0.1580
>> B2w2=B2*I2
B2w2 =
0.3361
2.3917
0.4843
λ2=1/3*（0.3361/0.1109+2.3917/0.7311+0.4843/0.1580）
λ2=0.0612
矩阵3
>> B3=[1 3 5;1/3 1 4;1/5 1/4 1]
B3 =
1.0000 3.0000 5.0000
0.3333 1.0000 4.0000
0.2000 0.2500 1.0000
>> C3=sum(B3)
C3 =
1.5333 4.2500 10.0000
>> D3=repmat(C3,3,1)
D3 =
1.5333 4.2500 10.0000
1.5333 4.2500 10.0000
1.5333 4.2500 10.0000
>> E3=B3./D3
E3 =
0.6522 0.7059 0.5000 0.2174 0.2353 0.4000 0.1304 0.0588 0.1000
>> F3=sum(E3,2)
F3 =
1.8581
0.8527
0.2893
>> G3=sum(F3)
G3 =
3
>> H3=repmat(G3,3,1)
H3 =
3
3
3
>> w3=F3./H3
w3 =
0.6194
0.2842
0.0964
>> B3w3=B3*w3
B3w3 =
1.9541
0.8764
0.2913
>>λ3=1/3*(1.9541/0.6194+0.8764/0.2842+0.2913/0.0964) λ3=3.0868
矩阵4
>> B4=[1 1/5 3;5 1 7;1/3 1/7 1]
B4 =
1.0000 0.2000 3.0000
5.0000 1.0000 7.0000
0.3333 0.1429 1.0000
>> C4=sum(B4)
C4 =
6.3333 1.3429 11.0000
>> D4=repmat(C4,3,1)
D4 =
6.3333 1.3429 11.0000
6.3333 1.3429 11.0000
6.3333 1.3429 11.0000
>> E4=B4./D4
E4 =
0.1579 0.1489 0.2727
0.7895 0.7447 0.6364
0.0526 0.1064 0.0909
>> G4=sum(F4)
G4 =
3
>> H4=repmat(G4,3,1)
H4 =
3
3
3
>> w4=F4./H4
w4 =
0.1932
0.7235
0.0833
>> Aw4=A*w4
Aw4 =
1.8901
0.9867
0.5095
>>
λ4=1/3*（1.8901/0.1932+0.9867/0.7235+0.5095/0.0833）
λ4=3.0660
方法二：
function[w,nbt]=ccfxf(B)
%层次分析法计算成对比较矩阵特征向量、特征根% format long
n=length(B); %输入n阶矩阵B%
w=zeros(n,1);C=zeros(n,n);D=zeros(1,n);F=zeros(n,1);
E=zeros(n,1);C=B;nbt=zeros(1,1);
for i=1:n
for j=1:n
C(i,j)=B(i,j)./sum(B(:,j));
end
end %对矩阵B列归一化%
for i=1:n
E(i,1)=sum(C(i,:));
end %对矩阵C按行求和% for i=1:n
w(i,1)= E(i,1)./sum( E(:,1));
end %对矩阵E归一化% nbt=(1/n)*sum((B*w)./w);
end %求特征根近似值%。