江西省宜春市2012届高三数学上学期期末统考试卷 理 新人教A版.pdf

Sn +1
S 2 − 1 = 2 − 1 2 ……12 分 S1 + 1 Sn + 1 3 Sn + 1 3
20．解：（1）由 F1F2 = 2NF1 ， MN MF1 = 3 ，M（0，b）,F1(-c,0),F2(c,0)
2c = 2(2 − c) c = 1 2c + b2 = 3 b = 1
P（ =3）=4/256=1/64，P（ =0）=252/256=63/64，…10 分
0
P
63/64
3 1/64
…11 分
E =3/64.…12 分
18．(1)证明：由题意知平面 PAD⊥平面 ABCD，又 BD=2AD=4，AB= 2 5 可得 AB2=AD2+BD2，
则 BD⊥AD，又 AD 为平面 PAD 与平面 ABCD 的交线，则 BD⊥平面 PAD；……6 分 （2）如图建立空间直角坐标，易知 A（1，0，0），
y = k(x + 2),
由
x
2
2
+ y2
=1
消去 x 得 ( 1 y − 2)2 + 2 y 2 k
=
2
，即
2k 2 + 1 k2
y2
−
4 k
y
+
2
=
0.
学海无涯
C．4022
D． 2011 3
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请把正确答案填在题中横线上） 11．3 位教师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村
最多去 2 人，则不同的分配方法种数是
.（用数字作答）
12．已知双曲线的两条渐近线均和圆 C：x2+y2-6x+5=0 相切，
= 2sin(2 + ) +1 …9 分 6
因 0＜ ，所以 ＜ 2 + 5 ， 1 sin(2 + ) 1…11 分
3
6
66 2
6
∴ 2 + = 5 66
，当
=
3
，
f
( )min
=
2
1 2
+1=
2 …12
分
17．解：（1）这四人在一次抽取中的基本事件有： 4 4 4 4 = 44 种，
P
P
D
C
D
C
A
B
A
B
19．（本小题 12 分）已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足：a(Sn − an ) = Sn − a （ a 为常数）.
（1）求{an} 的通项公式；
（2）若 a
=
2 时，证明：
1+ S1 +1
1+ S2 +1
1 + S3 +1
+
1 Sn +1
2 3
.
20．（本小题 13 分）已知 F1、F2 分别是椭圆 x 2 + y 2 = 1(a 0, b 0) 的左、右焦点，M 为 a2 b2
求出该切线方程；若不能，请说明理由.
数学（理科）答题卡
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
答案
座位号
8
9
10
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．
；12．
；13．
；
14．
；15．
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
①
②
③
④
学海无涯
A.①②③
B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
10 ． 等 差 数 列 an 的 前
n
项
和为
Sn
，
已 知（a3
− 1) 3
+
2011(a3
− 1)
=
sin
2011 3
，
（a2009
− 1) 3
+ 2011(a2009
− 1)
=
cos
2011 6
，则 S 2011
=（
）
A．0
B．2011
得 a(Sn−1 − an−1 ) = Sn−1 − a 相减得 an = aan−1 …3 分
当 a = 0 时 an = 0 ，…4 分
当a
0
时
an an−1
=
a
，即{an} 是等比数列．
∴ an = a an−1 = an ；…5 分
综上： an = an …6 分
（2）若 a = 2 时， Sn = 2n+1 − 2 ，
5
5
（2）若 AB AC = 8 ， BAC = ，求函数 f ( ) = 2 cos2 −
3 cos( + 2 ) 最小值. 2
17．（本小题 12 分）一个袋中装有 4 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1、2、3、
4，甲、乙、丙、丁依次有放回地随机抽取 1 个球 ，摸到球的编号分别为 a,b, c, d .
椭圆的上顶点，O 为坐标原点，N（ − 2,0 ），并且满足 F1F2 = 2NF1 ， MN MF1 = 3 .
（1）求此椭圆的方程；
（2）设
A、B
是上半椭圆上满足
NA
=
NB
的两点，其中
(1 3
,1]
，求直线
AB
的
斜率的取值范围.
学海无涯
21．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) = ln x + x2 . （1）若函数 g(x) = f (x) − ax 在定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； （2）设 F (x) = 2 f (x) − 3x2 − kx(k R) ，若函数 F (x) 存在两个零点 m, n(0 m n) ， 且满足 2x0 = m + n ，问：函数 F (x) 在 (x0 , F (x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴？若能，
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，+∞）
4． ( x − 2 )6 的展开式中常数项是（ ） x
A． − C63
B．160
C．-160
D．-8
5．由直线 x = − ， x = 7 ，y＝0 与曲线 y＝sinx 所围成的封闭图形的面积为（ ）
6
6
A． 2－ 3
B．4－ 3
C． 2 + 3
D． 4 + 3
54
3
3
16．解：（Ⅰ）由 cos B = 4 得 sin B = 3 ，
5
5
又由正弦定理 a = b ，可得 sin A = 1 ，………2 分
sin A sin B
2
0 A 180 A = 30或150，
又 cos B 3 ，30 B 90 A = 30 ………5 分 2
（2） bc cos = 8 ， b2 + c2 − 2bc cos = 42 即 b2 + c2 = 32
1 Sn +1
=
1 2n+1 − 1
1 2n+1 −
2
=
1 2
1
………8
S n−1 + 1
分
设S = 1 + 1 + + 1 ，
S1 +1 S2 +1
Sn +1
则 S 1 + ( 1 + 1 + + 1 ) = 1 + 1 (S − 1 ) …10 分
S1 + 1 S1 + 1 S2 + 1
Sn−1 + 1 S1 + 1 2
又 b2 + c2 2bc 所以 bc 16 ，即 bc 的最大值为 16 …………7 分
学海无涯
即 8 16 所以 cos 1 ， 又 0＜ ＜ 所以 0＜ ……8 分
cos
2
3
f ( ) = 3 [1− cos( + 2 )] +1+ cos 2 − 3 = 3 sin 2 + cos 2 +1 2
16、（本小题 12 分）
17、（本小题 12 分）
学海无涯
18、（本小题 12 分）
P
D
A
C B
P D
A
C B
19、（本小题 12 分）
学海无涯
20、（本小题 13 分）
学海无涯
21、（本小题 14 分）
一、CDBCB，DAACB
参考答案与评分标准
二、11．60；12．x2 − y2 = 1；13．i ＞10（或 i 11或 i = 11）；14．t 1 ；15．a 1006
S=A∪B，则 S 的真子集有 （ ）.
A．7 个
B．8 个
C．15 个
D．16 个
2.设 m R ，且 (m + i)2 i 3 ( i 为虚数单位)为负实数，则 m =（ ）
A． 2
B． 1
C． 0
D． -1
3．函数 f (x) = x − ln 1 − 2 的零点所在区间为（ ） x
A．（0，1）
抽取的编号都不相同的基本事件有： A44
=
24 种，故所求的概率 P
=
24 44
=
3 32
…6
分
（2） 可能取值为 0，3，即摸到 1 且 4 人的和是 5 的有（1，1，1，2），（1，1，2，1），
（1，2，1，1），（2，1，1，1），此时人数均为 3； 而摸到 2 的且另 3 人的和是 2 不可能有，摸到 3 的且另 3 人的和是 1 不可能有， 摸到 4 的且另 3 人的和是-2 不可能有，此时人数为 0.…8 分
（1）若四人抽取的编号数都不相同，则称这四人为“完美组” ，求这四人在一次
学海无涯
抽取中荣获“完美组”的概率；
（2）若某人抽取的编号 x 能使方程 x + a + b + c + d = 6 成立，就称该人为“幸运人”，
设这 4 人在一．次．抽．取．中．获得“幸运人”的人数为 ，求 的分布列及期望 E .
6.已知 ABC，D 是 BC 边上的一点， AD =
若记 AB = a,
AC
=
b
，则用
a,
b 表示
|
AD
AB + AB |
|
AC AC
| ,
|
所得的结果为（
AB
|= 1,
）
| AC |= 2 ，
A．
1
a
−
1
b
22
B． 1 a− 1b 33
C．
−
1
a
+
1
b
33
D． 2 a+ 1b 33
7．函数 y = 2 x + 1− x 取得最大值时的 x 为（ ）
z
B（-1，4，0），P（0，0， 3 ），
P
PB = (−1,4,− 3) ， BA = (2,−4,0) ，
平面 PDA 的法向量为 m =（0，1，0），
D
C
设平面
PAB
的法向量为
n
=
(x,
y,
z)
，由
n
PB
=
0
，
n BA = 0
得
−
x
+
4
y
−
3z = 0 ，
2x − 4 y = 0
O A
x
B y
学海无涯
故可取 n = (2,1, 2 3 ) ，则 cosm, n = m n = 57 ，
3
| m | | n | 19
所以平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值为 57 .……12 分 19
19．解：（1）当 n = 1时∴ a1 = a, ，当 n 2 时，由 a(Sn − an ) = Sn − a ，
A． 4 5
B． 2 5
C． 2 5
D．1
5
x − y −1
8．
x、y
满足
x + y 1 2x − y
2
，若
z
=
ax
+
by
(a
0,
b
0)
\的最大值为
7，则
3 2a
+
2 b
的最小
值为（ ）
A． 7 2
B．7
C． 13
D．9
2
9．某几何体的主视图与左视图如图所示，则该几何体的俯视图可以是（ ）
主视图 左视图
且双曲线的右焦点为抛物线 y 2 = 12x 的焦点，
则该双曲线的标准方程为
.
13．右图给出的是计算 1 + 1 + 1 + &#
20
其中判断框内应填入关于 i 的条件是
.
14．若存在 x ( 1 ,3) 使不等式 t ＋ 2
1 x
−
x
e|ln x| 成立，
第 13 题
18．（本小题12分）如图所示，平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成，已知AB//DC ，
BD=2AD=4，AB=2DC= 2 5 ，现将△PAD沿AD折起，使点P的射影 O 恰好落在直线AD上.
（1）求证：BD⊥平面PAD； （2）求平面 PAD 与平面 PAB 所成的二面角的余弦值.
则实数 t 的取值范围为
.
15.设函数 f (x) 的定义域为 D，如果存在正实数 k ，使对任意 x D ，都有 x + k D ，
且 f (x + k) f (x) 恒成立，则称函数 f (x) 为 D 上的“ k 型增函数”．已知 f (x) 是
定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) =| x − a | −2a ，若 f (x) 为 R 上的
“2012 型增函数”，则实数 a 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
16．（本小题 12 分）在⊿ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c, a = 4
（1）若 b = 24 ， cos B = 4 ，求 A 的值；
学海无涯
江西省宜春市 2012 届高三上学期期末统考试卷数学(理)试题
（注意：请将答案填在答题卡上）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1． 已知集合 A=﹛a, 3﹜，集合 B = x | −1 x 2, x Z,且 A∩B=｛0｝,若集合
, a2 = b2 + c2 = 2
从而所求椭圆的方程为 x 2 + y 2 = 1.………………6 分 2
（2） NA = NB, A, B, N 三点共线，而点 N 的坐标为（－2，0）.
设直线 AB 的方程为 y = k(x + 2) ，其中 k 为直线 AB 的斜率，依条件知 k≠0.