就是激光谐振腔的自再现模。

作业1：试利用往返矩阵证明共焦腔(腔的中心为两个镜 面的公共焦点, R1 R2 L )为稳定腔，即任意傍轴光线 在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
作业2：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜 曲率半径为2m，凹面镜曲率半径为3m，腔长L为1m， 腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔， 临界腔，非稳腔）？
腔的两个相邻纵模频率之差 间隔，简称纵模间隔。
q
称为纵模的频率
c q vq 1 vq 2 L
腔的两个相邻纵模频率之差 q 与 q 无关，只 与腔长和腔内介质的折射率有关，腔长和折射率越小， 纵模间隔越大。
横模
理论分析表明，经过足够多次的往返传播之后，腔内 形成一种稳定场，其分布不再受衍射影响，在腔内往返一 次后能够“自再现”出发时的场分布。
dn(t )
n(t ) n0 exp(
t
R
)
R

n0exp(Βιβλιοθήκη tR)dt
1 t dn(t ) t n0
1 n0 t t exp( )tdt n0 0 R R
t R
2.2.3 无源腔的品质因数Q
nh V
Q 2 R
腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。损 耗愈小，Q值愈大，光腔的储能性愈好，腔内光子寿命 愈长。
a2 1 L
时，可近似认为均匀平面波是它的一种本征模。式中， a 代表腔的横向尺寸，如圆形反射镜的半径； L 为谐振 腔的腔长； 为激光波长。
利用均匀平面波讨论开腔中傍轴传播模式的谐振 条件 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传播的情 形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会 发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。 为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而 得到加强。
若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外，
2.3.1 光线传播的矩阵表示
一、光线矩阵
列阵 称为光线在某一截面处
的光线矩阵。
二、光线变换矩阵
称为该光学系统的光线变换矩阵，它描述了光学系
统对傍轴光线的变换作用。
符号规则： ＋，出射点位于轴线上方 ＋，向轴线上方出射 r θ －，出射点位于轴线下方 －，向轴线下方出射 ＋，光线遇到凹面 球面半径R －，光线遇到凸面
平均单程损耗因子
不论损耗的起源如何，均可用“平均单程损耗因 子”（简称单程损耗因子） 来定量描述。 的定义：光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数。
初始光强为 I 0 ，在无源腔内往返一次后， 光强衰减为 I1 ，光强的平均衰减百分 数为 平均单程损耗因子为
I 0 I1 2 I0
I 0 I1 2I0
另一种指数定义形式：
如果初始光强为I0，在无源腔内往返一周后光 强衰减到I1，则
I1 I 0e
2
1 I0 ln 2 I1
当损耗很小时， <<1
I 0 I1 I 0 I 0e 2 1 (1 2 ) 2 I0 I0 ------两种定义形式是一致的。
式中， 为衍射角，根据夫琅和费衍射公式，
式中
N为菲涅耳数，它是从一个镜面中心看到 另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数， 也是衍射光在腔内的最大往返次数。
三、透射损耗
以r1和r2分别表示腔的两个镜面的反射率，则初 始光强为I0的光在腔内往返一周经两个镜面反射后， 其强度I1应为
I1 I 0r1r2
稳定场经一次往返后，镜面上各点场的振幅按同样 的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这种在 腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳 定场分布称为自再现模或横模。
孔阑传输线
为了更形象的理解开腔中自再现模的形成过程，用 光波在孔阑传输线中的传播来模拟光波在平行平面腔中 的往返传播过程。 激光的横模，实际上就是谐振腔所允许的（在腔内往 返传播，能保持相对稳定不变的）光场的各种横向稳定分 布。
第二章 光学谐振腔理论
2.4 谐振腔的衍射积分理论 2.5 平行平面腔的自再现模 2.6 对称共焦腔的自再现模
52
2.4 谐振腔的衍射积分理论
谐振腔的几何光学理论利用“光线”概念描述腔内 光的传播，推导出了谐振腔的稳定性条件。 但要定量描述腔内辐射场的振幅和相位分布以及无源 开腔的其他一些主要特征，必须用更为严格的衍射理论 进行讨论。 本节从菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式出发，建立 谐振腔自再现模满足的积分方程，并讨论该方程解的 物理意义。
按的定义，
I1 I 0e
2 r
1 I0 r ln 2 I1
1 r ln r1r2 2
四、吸收损耗
描述谐振腔损耗的参数：
平均单程损耗因子
腔内光子的平均寿命
谐振腔的品质因数
2.2.2 光子在腔内的平均寿命
光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数为
将
代入上式，得
解得
式中
-------腔的时间常数（也称为腔的寿命）
R 的物理意义：经过 R时间后，腔内的光强衰减为
初始值的1/e。

R 愈小 愈大，
腔的损耗愈大，腔内光强 衰减愈快。
求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均 寿命
设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时刻光 子数密度
I (t ) n(t )h
不同的横模用横模序数m，n描述。对于方形镜谐振 腔， m，n分别表示腔镜面直角坐标系的水平和垂直坐标 轴的光场节点数。对于圆形镜谐振腔， m，n分别表示腔 镜面极坐标的角向和径向的光场节线数。
一个激光模对应三个独立的模序数，用符号 TEM mnq表示。
§2.2 光学谐振腔的损耗
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面也 存在各种损耗。 损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标，决定 了激光振荡的阈值和激光的输出能量。
L q
q
2
腔内形成稳定的驻波场，腔的光学长度为半波长的整数倍。
特点：腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相 间地分布着。光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑 暗区，称为波节。 通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的 纵模，不同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波 腹的个数。
模式的基本特征包括： 每一种模式的电磁场分布，特别是在腔的横截面内 的场分布； 谐振频率； 在腔内往返一次经受的相对功率损耗； 相对应的激光束的发散角。
只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模式的基本特征。
纵模
以平行平面腔为例说明光学谐振腔的纵模。对 于平行平面腔（简称平平腔）来说，当满足条件
发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。

2
0
2 L q 2
2 L q q
（1）
q
c q 2 L （2）
结论：L 一定的谐振腔只对一定波长和一定频率的光 波才能提供正反馈，使之谐振。（1）式和（2）式就 q 称为 是平平腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。 vq 称为腔的谐振频率，谐振频率是分 腔的谐振波长， 立的。
53
2.4.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分
惠更斯－菲涅耳原理（光的衍射理论基础）
波前上每一点可看作次球面子波的波源，下一时 刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光 场是各子波干涉叠加的结果。
利用基尔霍夫积分定理，并作菲涅尔近似处理，可 得到该原理的严格数学表达式，即菲涅尔-基尔霍夫衍射 积分公式。 该积分公式表明，如果知道光波场在任意空间曲面 上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在其他任意 位置处的振幅和相位分布。
54
一 . 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
推导一些光学系统的光线变换矩阵：
1. 一段自由空间的光线变换矩阵
三、光线在腔内往返传播的矩阵
1. 往返传播一次的光线变换矩阵
3. 往返传播n次的光线变换矩阵
2.3.2 共轴球面腔的稳定性条件
谐振腔的稳定性条件为：
满足条件：
的谐振腔为非稳腔。
临界腔的判定条件为：
2.3.3 稳区图
g2 0 和 双曲线 g1 g2 1 的两支 由坐标轴 g1 0 ， 围城的区域属于腔的稳定工作区域。
小结：
平均单程损耗因子 光子在腔内的平均寿命R 无源谐振腔的品质因数Q
三者之间的关系： L R c
L Q 2 R 2 c
§2.3 光学谐振腔的稳定条件
将这种谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。 利用矩阵光学分析方法，讨论共轴球面腔中光线往 返传播的规律。 谐振腔的稳定性条件
2、衍射损耗
腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上发生衍 射时形成的损耗 a 与腔的菲涅尔数（ N L ）有关，N愈大，损耗 愈小（a:腔镜半径） 与腔的几何参数有关 与横模阶次有关
2
3、输出腔镜的透射损耗
通常稳定腔至少有一个反射镜是部分透射，以获得 必要的输出耦合。这部分有用损耗称为光腔的透射 损耗，它与输出镜的透射率有关。
根据结构，性能和机理等方面的不同，谐振腔 有不同的分类方式：
开腔和闭腔 稳定腔和非稳腔 球面腔和非球面腔 简单腔和复合腔 驻波腔和行波腔 端面反馈腔和分布反馈腔 两镜腔和多镜腔
本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
---------最简单，最常用
2.1.2 光学谐振腔的作用
4、非激活吸收，散射等其他损耗
这类损耗是因为激光通过谐振腔的反射镜以及其中 所有光学元件时，发生非激活吸收，散射等而引起 的，也称为内损耗。
几何损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的 几何损耗和衍射损耗各不相同。 后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对 各个模式大体一样。
损耗参数：
2.1.3 腔模
腔的模式
在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在 的电磁波的本征态称为腔的模式。 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模 式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振 等）。
模式：在腔内可能存在的稳定光场的本征态，包括纵模和横模。
纵模：沿腔轴线方向电磁场的本征态。 纵模数表示激光振荡频率数，纵模数多，单色性差。 单一纵模单色性最好。
2
每种因素引起的单程损耗因子用i来表示，则总的单 程损耗是=∑i 。
一、谐振腔失调时的几何损耗
设光线在腔内往返m次后逸出腔外，则有
式中，D为平平腔镜面的横向尺寸（反射镜 的直径）。
由于光在腔内经过m次往返后逸出腔外，因此往返一次的损耗 为1/m，可得相应的单程损耗为
二、衍射损耗
按照单程损耗因子的定义，相应 的单程衍射损耗应为射到圆孔之外的 光能与到达第二个孔的总能量之比。
第2章 光学谐振腔理论
§2.1 光学谐振腔的基本知识 §2.2 光学谐振腔的损耗 §2.3 光学谐振腔的稳定条件
§2.1 光学谐振腔的基本知识
2.1.1 光学谐振腔的构成和分类
在激活介质两端适当的放置两个反射镜，可构成最简 单的光学谐振腔。由两个或多个反射镜按一定方式组合， 可以构成不同种类的光学谐振腔。
横模：在腔中垂直腔轴方向的电磁场的本征态。不同的横模，光 场分布不同，光束的发散角不同。 基横模光强是高斯形，光场分布均匀，发散角最小。 为了改善激光的方向性，必须选出基横模。
改善激光的方向性，提高单色性是实际应用的要求。
光学谐振腔理论研究目的：弄清楚激光模式的 基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。
2.2.1 光腔的损耗及其描述
损耗类型： 1、几何损耗 2、衍射损耗 3、输出腔镜的透射损耗 4、非激活吸收，散射等其他损耗
1、几何损耗
光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的 损耗。 取决于腔的类型和几何尺寸 几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶横模损 耗大于低阶横模损耗 是非稳腔的主要损耗
（1）提供轴向光波模的光学正反馈；
（2）控制振荡模式的特性。
光学正反馈作用主要取决于腔镜的反射率，几何形状 以及之间的组合方式。 激光模式的特性由光腔结构决定，可通过改变腔 参数实现对光波模特性的控制。 有效控制腔内实际振荡的模式数目 使大量光子集中在少数几个状态中，从而提高光子 简并度 获得单色性和方向性好的相干光