微积分课件(导数的应用-南京大学

5-2 一阶导数的应用
例5 确定 y 3 x2 的单调区间。
解 函数的定义域为 (,)
y
2
1
x3
2
3
33 x
由于 y 0 则无驻点；
当x=0时 y 不存在，则x=0为奇点
（也可以是单调区间分界点）
讨论 得函数在 (,0) 递减，(0,) 递增。
10
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-3 二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定（如图）
y y
y=f(x)
y=f(x)
1
0a
2
bx
2
1
x
0a
b
a图
b图
直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方； 曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。
17
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
《微积分》
教学课件
南京 **大学 高数教研室
1
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
第五章 导数的应用
内容导航
➢ 前言 ➢ 理论基础：中值定理 ➢ 一阶导数的应用
3
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-1 理论基础:中值定理
拉格朗日中值定理 设函数由于y=f(x)在闭区间[a， b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则必定在 （a，b）内至少存在一点x0使得
以及定义域外不讨论单调性；关于讨论一个区间上 y 符号，
技巧是只须取一好计算的点x0，这有“投石问路”的方法技巧。
9
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
所以
x ln(1 x) x 1 x
5
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-1 理论基础:中值定理
例2 试证当 x [a,b] 有 y 0
则y＝f(x)在[a，b]是增函数。 证 任 [x1, x2 ] [a,b] ，由于 y 在[a，b]存在；
解 函数的定义域为 (,)
f (x) (x 1)3 (x 1)( x 1)2 3 2(x 1)2 (2x 1)
令 f (x) 0 得
x1 1
x2
1 2
讨论如图
y’
+
_
+
x
y
-1
1
2
得 函数的极小值为 f (1) 27，驻点 x 1 不是极值点。
2
16
15
精品课程
❖ 序言
5-3 二阶导数的应用
进一步观察曲线凹凸性与切线的关系
a图曲线是凹的,切线的倾斜角 为锐角，且由小变大，
tan 是递增的， 回忆 f (x) 0 有f(x)递增，则表明 f (x) 0 有 f (x) tan递增，反之亦然，这就得到 f (x) 0
有f(x)凹；(b）图同理有 f (x) 0，f(x)凸。
5-2 一阶导数的应用
例4 求函数y x3 3x 2 9x 1 的单调区间。
解 函数的定义域为 (,)
y 3x2 6x 9
令 y 3x2 6x 9 0
得 x1 1， x2 3
y’
+
_
+
数轴上讨论，如图 y
-1
3
x
在 (,1) 区间取 x 2 代入 y 得 y 0
在 (1,3) 区间取x=0 代入 y 得 y 0
❖ 第6章 求积分方法
❖ 第7章 定积分应用
❖ 第8章 微分方程
y
y=f(x)
0
x1
x2
x3
x4
x
可见，极值与函数的单调性密切联系，极值就是函数单调 区间的分界点。因而可以通过求单调区间来求极值。
12
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
（1）求 f (x) 、 f (x) ；
（2）求二阶驻点和奇点xi； （3）由xi分区间讨论 f (x) 符号确定凹凸区间； 其分界点xi代回函数f(x)，并算出f(xi)，则有拐点。
21
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-2 一阶导数的应用
重要说明: ①确定函数单调区间的依据为：y 0, y ，y 0, y
②解题步骤：1.求导 y ；2.令 y 0 ，求驻点xi
（ y 0 的点）和奇点xi（y不可导的点，见下例）；
③.数轴上以xi（驻点、奇点可统称为分界点）分区间讨论 y 正负号，得结论。
首先求出函数的定义域，因为要把函数的定义域讨论完，
1 x
证 令f(t)=ln(1+t)，则f(t)在[0，x]上满足拉格 朗日中值定理，则 f (x) f (0) f (x0 )( x 0)
其中 0 x0 x
1
ln(1 x) ln(1 0)
(x 0)
1 x0
即 ln(1 x) x 1 x0
因为 x x x x 1 x 1 x0 1 0
f (x0 )
f (b) f (a) ba
如图所示
y
y=f(x)
x
0
a
x0
b
4
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-1 理论基础:中值定理
例1 试证当x>0时，有 x ln(1 x) x
5-3 二阶导数的应用
例9 求 y x3 9x2 48x 52 的凹凸区间和拐点。
5-2 二阶导数的应用
解 函数的定义域为 (,)
f (x) 3x2 18x 48 ，令 f (x) 6x 18 0
y
x1 3 （为二阶驻点）
104
52
讨论如图
-2
草图
０
3
6
y -+来自-146y3
x
-464
在 (3,) 区间取 x 4 代入 y 得 y 0 得 函数在 (,1) 和 (3,) 上递增；在 (1,3)上递减。
8
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-2 一阶导数的应用
函数的极大值和极小值
定义 设函数y＝f(x)在（a，b）有意义， x0 (a,b) ，若x0附近的函数值都大于（或都小于）f(x0)，则 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值），点x0 叫函数f(x)的极大值点（或极小值点）。
函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和 极小值点统称为极值点。
得 曲线在 (,3) 凸，在 (3,) 凹，拐点为（3，-146）。
20
5-3 二阶导数的应用
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
求曲线凹凸区间、拐点与 单调区间、极值的步骤与要点类似：
y 0，f (x)在(a,b)内单调递增； y 0，f (x)在(a,b)内单调递减。
例3 判别函数 y 的 单e调x 性
解 因为y ex 0, x (,)
所以y ex在（ ， ）内单调递减。
7
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
13
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-2 一阶导数的应用
说明 求函数极值的方法与步骤：
①求 f (x) 。
②令 f (x) 0 ，求一阶驻点和奇点xi。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
f (x) 0的地方，f (x)凹； f (x) 0的地方，f (x)凸。
曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。
18
么么么么方面
❖ Sds绝对是假的
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
14
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-2 一阶导数的应用
例7 求函数 f (x) (x 1)( x 1)3 的极值。
说明可用中值定理有 f (x2 ) f (x1 ) f (x0 )( x2 x1 )
其中
x1 x0 x2
由已知 f (x0 ) 0 ， x2 x1 0
故 f (x2 ) f (x1 ) 0 ，f ( x2 ) f ( x1 )
证得f(x)在[a，b]递增。 拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁。
奇点 x1 0 ，驻点
x2
2 5
讨论如图
y’
+
_
+
x
y
0
2
5
得，函数的极大值为
f (0) 0
，极小值为
2
3
f( ) 3
4
5
5 25
16
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-2 一阶导数的应用
例8 求函数 f (x) (x 1)3 x2 的极值。
解 函数的定义域为 (,)
f (x) 5x 2 33 x
应用此中值定理注意（构造）什么函数在什么区间上运用。
6
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-2 一阶导数的应用
函数单调性的判定 设函数y=f(x)在[a,b]连续，（a,b）可导，那么
注意: 极值是局部概念---局部最大或最小；一个 函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小 值，但可能有多个极大值和极小值。
11
5-2 一阶导数的应用
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数
如何求函数的极值？
❖ 第3章 定积分
❖ 第4章 求导方法
如下图所示： ❖ 第5章 导数应用
➢ 二阶导数的应用
➢ 数学建模：最优化模型
2
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
第五章 导数的应用
前言
➢本章我们进一步用导数来研究函数的特性， 并由此解决一些实际问题。 ➢导数可应用于求各种变化率，如求变速直 线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济 的边际等问题。 ➢用数学解决实际问题，可统称为数学建模。 ➢最后介绍微分的概念及应用
5-2 一阶导数的应用
例6 求函数 y 2x3 9x 2 12 x 3 的极值。
解 f(x)的定义域为 (,)
令 y 6x2 18 x 12 6(x 1)( x 2) 0
得驻点 x1 1 x2 2
讨论如图 y’ +
_
+
x
y
1
2
极大
极小
得，当x=1时，函数有极大值f(1)=2； 当x=2时，函数有极小值f(2)=1。