计算机控制技术--甄红卫作业

计算机控制技术课作业
姓名：甄红卫（S0908*******）
专业：机电2班
指导教师：张立杰教授
日期：2010年1月11日
1．已知单位负反馈系统，被控对象的传递函数为G （s ）=
)
15.0(10
+s s ，试利用模拟法设
计一个数字控制器D （z ），使闭环系统满足下列性能指标：
a) 静态速度误差系统Kv ≥101-s b) 超调量%25%≤σ c) 调节时间s t s 1≤ 具体过程要求：(1)先用传统模拟法（校正环节）设计出D （s ）；（2）将D （s ）离散化为D （z ）；（3）分别检验是否满足要求性能指标（其中对超调量和调节时间要有仿真研究，要有仿真曲线）；（4）并写出数字控制器的具体实现——差分方程 （5） 如果采用数字PID 控制器，利用位置型控制算法，Matlab 仿真研究，试确定PID 控制器参数。

解：采用根轨迹超前校正的解析法进行计算
○
1求校正器增益Kc ： 根据控制论
110
lim ()()101(0.51)
z V c c p t s K sG s G s s
k t s s +==≥++ 可得：1c
k ≥，取c k =1
○
2校验原系统的阶跃响应超调量是否满足要求： 在MATLAB 命令窗口中输入 s1=tf(10,[0.5 1 0]); sys=feedback(s1,1);
step(sys)
图1
可以得到原系统的阶跃响应曲线图，如上图1所示。

由曲线可知，系统的阶跃响应超调量为49%，调节时间为3.82s，没有满足要求，所以需要进行校正。

○3确定期望极点位置：
根据超调量ζ，在MATLAB命令窗口中输入：
sigma=0.25;
zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2)
运行后有：
zeta =0.4037
取ζ=0.6，计算可得W n=5
在MATLAB命令窗口中输入以下语句求系统的主导极点：
zeta=0.6;wn=5;
p=[1 2*zeta*wn wn*wn];
roots(p)
执行后得到：
ans =
-3.0000 + 4.0000i
-3.0000 - 4.0000i
即系统的主导极点：S1
，2
=-3.0000 ± 4.0000i
○4求校正器的传递函数
根据根轨迹解析法校正理论，编制如下程序：
kc=1;
s_1= -3.0000 + 4.0000i;
nk1=10;
dk1=conv([1 0],[0.5 1]);
ngv=polyval(nk1,s_1);dgv=polyval(dk1,s_1);
g=ngv/dgv;zetag=angle(g);zetag_d=zetag*180/pi;
mg=abs(g);ms=abs(s_1);
zetas=angle(s_1);zetas_d=zetas*180/pi;
tz=(sin(zetas)-kc*mg*sin(zetag-zetas))/(kc*mg*ms*sin(zetag));
tp=-(kc*mg*sin(zetas)+sin(zetag+zetas))/(ms*sin(zetag));
nk=[tz,1];dk=[tp,1];
Gc=tf(nk,dk)
运行程序后，得到校正器传递函数：
Transfer function:
0.2025 s + 1
------------
0.05 s + 1
即校正传递函数：
0.2025 s + 1
0.05 s + 1
c
G=
○5校验校正器
编制如下程序
global y t nc dc
n1=10;d1=conv([1 0],[0.5 1]); s1=tf(n1,d1);
Gc=tf([0.2025 1],[0.05 1]); sys=feedback(s1*Gc,1);
step(sys)
[y,t]=step(sys);
[mp,tf]=max(y);
cs=length(t);
yss=y(cs);
sigma=(mp-yss)/yss
sigma =
0.1845
tp=t(tf)
tp =
0.5890
i=cs+1;n=0;
while n==0,
i=i-1;
if i==1,
n=1;
elseif y(i)>1.05*yss,
n=1;
end;
end;
t1=t(i);cs=length(t);j=cs+1;
n=0;
while n==0,
j=j-1;
if j==1,
n=1;
elseif y(j)<0.95*yss,
n=1;
end;
end;
t2=t(j);
if t2<tp
if t1>t2
ts=t1
end
elseif t2>tp,
if t2<t1, ts=t2 else ts=t1 end end
ts =0.9386
可获得系统校正后的响应曲线，如图2所示
图2
以及系统校正后的各项性能指标： 超调量：sigma=0.1845 峰值时间：tp=0.5890 调节时间：ts=0.9386
由以上参数可知，校正后系统满足要求。

（2）校正器传递函数的离散化：
采用零阶保持器法离散化D(s)系统中加入加零阶保持器s
e s H Ts
--=1)(0（程序见附
录1），其中采样周期取T=0.1s,可得)]()([)(0s D s H Z z D ==
-9
4.05 z - 3.05
z - 2.061e
由
)()()(z D z E z U =得=)
()
(z E z U 4.05 z - 3.05
z - 2.061e-009
即有
11)(05.3)(05.4)(009-2.061e )(---+=z z E z E z z U z U
转化到时域内，则得其差分方程为
)1(05.3)(05.4)1(009-2.061e )(--+-=k e k e k u k u
校正后离散系统阶跃响应曲线如图3所示
图3
由图3可知调节时间为ts=0.8s<1s ，超调量%27%=σ>%25,显然加零阶保持器离
散系统与校正后的连续系统相比，快速性和瞬态特性变化显著。

2．计算机控制系统如下图所示，对象的传递函数2
()(0.51)
G s s s =
+，保持器模型为
s
e s H Ts
--=1)(0，采样周期T=0.5s ，系统输入为分别单位速度函数和单位阶越函数时，
试设计最少拍调节器D(z)，并计算输出响应()y k 、控制信号()u k 和误差()e k ,并用仿真曲线分别表示系统的输出响应()y k 、控制信号()u k 和误差()e k 。

解：广义对象的Z 传递函数为： )
15.0(2
1)(+-=-s s s e s HG Ts
变换得
()()()()()121
12221121111112
()(0.51)21
11221111110.368(10.717)
,0.5(1)(10.368)
Ts T e HG z Z s s s z Z s s s Tz z z z e z z z T s
z z ------------⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤=--+
⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥---⎣⎦
+==-- 易知，HG （z ）的零点：0.717（单位圆内），0（单位圆内）；极点：1（单位圆上），0.368（单位圆内）。

根据稳定性要求G （z ）中z=1的极点应包含在)(z G e 的零点中。

(1) 系统输入为单位速度函数R(z)= 211
)1(---z Tz 时
选择： )2()(11---=z z z G c
()21)1()(1--=-=z z G z G c e
则
1
1
1
1
1112
()1
()()1()
(1)(10.368)(2)0.368(10.717)(1)c c G z D z HG z G z z z z z z z z -------=
----=
+-
111112
12
(10.368)(2)0.368(10.717)(1)5.44 4.72210.2820.718z z z z z z z z ----------=
+--+=
--
单位速度输入时，
误差 ()(
)
()
12
11
2
111)()(----=--==Tz z Tz z
z R z G z E e
输出响应 ....)432()
1()2()()()(4322
11
1
1
+++=--==-------z z z T z Tz z z z R z G z Y c 控制信号 ()()111
11
(10.368)(2)()0.368(10.717)(1)
z z U z D z E z Tz z z -------==+- 1.3960.169
4.20910.717T z z z ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭
转化为差分方程为：
,1
()0,0,2,3,4...T k e k k =⎧=⎨
=⎩
0,0,1
(),
2,3k y k kT k =⎧=⎨
=⎩
()()
1
1.394,0() 5.772,1
0.169 4.2090.717,2,3k T k u k T k T k -⎧
=⎪
⎪
==⎨⎪-+⨯-=⎪⎩
最少拍随动系统单位速度输入时，经过两个采样周期，即2≥k ，()()kT r kT y =。

1）系统输出响应()y k
编制如下程序：
dnum1=[5.44 -4.722 1];dden1=[1 -0.282 -0.718];Ts=0.5; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[2];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(sysd,1);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:.5:6;u=t;
y=dlsim(dnum,dden,u); stem(t,y,'r','filled') axis([0,6,0,6]) grid
输出响应仿真曲线如下：
T
y (k )
图2-1单位速度输入时输出响应曲线
2）控制信号()u k
编制如下程序：
dnum1=[5.44 -4.722 1];dden1=[1 -0.282 -0.718];Ts=0.5; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[2];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysbd=feedback(sysd1,sysd2); [dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:.5:10;u=t;
y=dlsim(dnum,dden,u); stem(t,y,'r','filled') axis([0,8,0,3]) grid
控制信号仿真曲线如下：
图2-2 单位速度输入时控制信号仿真曲线3）误差()
e k
编制如下程序：
dnum1=[5.44 -4.722 1];dden1=[1 -0.282 -0.718];Ts=0.5;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2];den2=[0.5 1 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(1,sysd);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:.5:6;u=t;
y=dlsim(dnum,dden,u);
stem(t,y,'r','filled')
axis([0,6,0,1])
grid
误差仿真曲线如下：
图2-3 单位速度输入时误差仿真曲线
图2-4 单位速度输入时Simulink 模块框图
(2) 系统输入为单位阶跃函数R(z)= 1
11
--z
时 同样由于HG(z)包含一个单位圆上的极点z=1, 选择：
1()c G z z -=,1()1()1e c G z G z z -=-=-
()()()1111
11
1
1
11(10.368)()1
()()1()10.36810.71710.368 2.71710.7170.36810.717c c z z G z z D z HG z G z z
z z z
z
z -----------==--+--=
=++
误差 ()
11
1
()()()111e E z G z R z z z
--==-=- 输出响应 11234
1
()()()....1c z Y z G z R z z z z z z ------===++++- 控制信号 ()()()
1
110.368()0.36810.717z U z D z E z z ---==+
2.7171
0.7170.717
z z z =
-++
转化为差分方程：
⎩⎨
⎧===...3,2,1........00.......
1)(k k k e ()0,
01,1,2,3...
k y k k =⎧=⎨
=⎩
()1
2.717,0() 2.9480.717,1,2,3k k u k k -=⎧⎪
=⎨-⨯-=⎪⎩
1）系统输出响应()y k
编制如下程序：
dnum1=[2.72 -1];dden1=[1 0.718];Ts=0.5;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[2];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(sysd,1);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:0.5:5
y=dstep(dnum,dden,t) stem(t,y,'r','filled') grid
输出响应仿真曲线如下：
图2-5 单位阶跃输入时输出响应曲线
2）控制信号()u k
编制如下程序：
dnum1=[2.72 -1];dden1=[1 0.718];Ts=0.5; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts); num2=[2];den2=[0.5 1 0]; sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysbd=feedback(sysd1,sysd2); [dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:0.5:10
y=dstep(dnum,dden,t) stem(t,y,'r','filled')
grid
控制信号仿真曲线如下：
图2-6 单位阶跃输入时控制信号仿真曲线3）误差()
e k
编制如下程序：
dnum1=[2.717 -1];dden1=[1 0.717];Ts=0.5;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2];den2=[0.5 1 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(1,sysd);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:0.5:5
y=dstep(dnum,dden,t)
stem(t,y,'r','filled')
grid
输出响应仿真曲线如下：
图2-7 单位阶跃输入时误差仿真曲线
图2-8 单位阶跃输入时Simulink 模块框图
3．在上图所示的计算机控制系统中，被控对象的传递函数2
2.1
()( 1.252)
G s s s =
+，经采样（T=1s ）和零阶保持器，试求其对于单位阶越输入的最少拍调节器D(z)，并计算输出响应()y k 、控制信号()u k 和误差()e k ,并用仿真曲线分别表示系统的输出响应()y k 、控制信号()u k 和误差()e k 。

解：广义对象的Z 传递函数为： 2
1 2.1
()( 1.252)
Ts e HG s s s s --=+ 变换得
()()()()()()()2
13221
1322 1.252111111112
1 2.1
()( 1.252)1.677 1.34 1.07 1.071 1.2521.677 1.34 1.07 1.07111110.265(1 2.78)10.2(1)(10.2Ts T e HG z Z s s s Z z s s s s Tz Tz z e z z z z z z z z --------------⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪
⎢⎥+⎝⎭⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=--+-⎢⎥----⎣⎦++=
--1
,186)
T s
z -= 易知，()HG z 存在1z -因子，
并有单位圆外零点： 2.78z =-。

因此闭环z 传递函数()c G z 应包含()1
1
1 2.78z
z --+，即把()HG z 的单位圆外零点和1
z
-因子作为()c G z 的零点和因子，可选
择：
()()
11
1 2.78c G z az z --=+ （1） 根据单位阶跃输入，误差z 传递函数()e G z 应选为()
1
1z --，又因为()()1c e G z G z =-，
()e G z 和()c G z 应该是阶次相同的多项式。

因此()e G z 中应包含()101b b z -+，即
()()()1
10
11e G z z
b
b z -=-+ （2）
解式（1）和（2），可得：010.265,1,0.735a b b ===
则 ()()
110.2651 2.78c G z z z --=+
()()()11110.735e G z z z --=-+
有限拍调节器
()()()()1
1
1
1
1212
()1
()()1()
110.28610.73510.21 1.2860.28610.9350.147c c G z D z HG z G z z z z z z z z z --------=
---=++-+=
++ 系统输入为单位阶跃函数R(z)=
1
11
--z 时， 输出响应 ()()()c Y z G z R z =
()
111123410.26510.27810.265....z z z z z z z ------=+-=++++
即 ()()(
)()00,0.265,23
1
y y T y T y T ===== 由于闭环z 传递函数包含了单位圆外零点，所以系统的调节时间延长到两拍，即22s T T s ==。

误差()()1111
1
()()()110.73510.7351e E z G z R z z z z z
----==-+=+- 即 ()()()()01,0.735,230e e T e T e T ===== 控制信号 ()()()U z D z E z =
()()()()()()()()()()
()()1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1234110.2861110.73510.73510.21110.28610.21 1.4830.54720.5470.20.5470.2z z z z z z z z z z z z z z ----------------=-+++---=
+=-+-⨯-+⨯-+
即
()()21,01.486,10.5470.2,2,3,k k u kT k k -⎧=⎪⎪
=-=⎨⎪⨯=⎪⎩
（1）系统输出响应()y k
编制如下程序：
dnum1=[1 -1.286 0.286];dden1=[1 0.935 0.147];Ts=1; sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2.1];den2=[1 1.252 0 0]; sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh'); sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(sysd,1);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v'); t=0:5
y=dstep(dnum,dden,t) stem(t,y,'r','filled') grid
输出响应仿真曲线如下：
图3-1 单位阶跃输入时输出响应仿真曲线
（2）控制信号()
u k
编制如下程序：
dnum1=[1 -1.286 0.286];dden1=[1 0.935 0.147];Ts=1;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2.1];den2=[1 1.252 0 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysbd=feedback(sysd1,sysd2);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:5
y=dstep(dnum,dden,t)
stem(t,y,'r','filled')
grid
控制信号仿真曲线如下：
图3-2 单位阶跃输入时控制信号仿真曲线（3）误差()
e k
编制如下程序：
dnum1=[1 -1.286 0.286];dden1=[1 0.935 0.147];Ts=1;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2.1];den2=[1 1.252 0 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysd3=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(1,sysd3);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:5
y=dstep(dnum,dden,t)
stem(t,y,'r','filled')
grid
输出响应仿真曲线如下：
图3-3 单位阶跃输入时误差仿真曲线
图3-4 单位阶跃输入时Simulink模块框图。