内蒙古包钢一中高一上学期期中考试数学试题(解析版)

内蒙古包钢一中高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合()U A C B ⋂= ( ) A ．{}3,6 B ．{}2,5
C ．{}2,5,6
D ．{}2,3,5,6,8
【答案】B
【解析】由题意，求得{2,5,8}U C B =，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =， 则{2,5,8}U C B =，所以{}()2,5U A C B ⋂=. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
2．下列函数中，与函数(0)y x x =≥有相同图象的一个是（ ）
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．2
y =
【答案】D
【解析】根据同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于A 中，函数,0
,0x x y x x ≥⎧==⎨-<⎩
与函数(0)y x x =≥不是同一函数，所以图象不
同；
对于B 中，函数0)y x ==>与函数(0)y x x =≥不是同一函数，所以图象不同；
对于C 中，函数y x =
=与函数(0)y x x =≥定义域不同，不是同一函数，图象不
同；
对于D 中，函数2
(0)y x x ==≥与函数(0)y x x =≥是同一函数，所以图象相同.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3．若f (x ) , g (x ) 都是奇函数，且F (x ) = a f (x ) +b g (x ) + 2 在(0 , +∞)上有最大值8 ，则F (x )在(- ∞, 0 )上有（ ） A ．最小值- 8 B ．最大值- 8
C ．最小值- 6
D ．最小值- 4
【答案】D
【解析】由题意，得到()()()2F x af x bg x -=+是奇函数，再结合题设条件和函数的奇偶性，即可求解. 【详解】
由题意，()()()2F x af x bg x =++，可得()()()2F x af x bg x -=+ 函数()(),f x g x 都是奇函数，
所以()()()()()2[][()2]F x af x bg x af x bg x F x --=-+-=-+=--， 所以()()()2F x af x bg x -=+是奇函数，
又由()F x 在(0,)+∞上有最大值8，即()8F x ≤，所以()26F x -≤， 当(,0)x ∈-∞时，则(0,)x -∈+∞，
则()26F x --≤，即()[2]6F x --≤，所以()26F x -≥-，即()4F x ≥-， 所以当(,0)x ∈-∞时，()F x 有最小值4-. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值及其意义，其中解答中根据函数的奇偶性的性质，构造新函数()()()2F x af x bg x -=+为奇函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．设集合{|A x y ==，{|2,x B y y ==3}x ≤，则集合()A B =R
A ．{|3}x x <
B ．{|3}x x ≤
C ．{|03}x x <<
D ．{|03}x x <≤
【答案】C
【解析】对集合,A B 进行化简，然后求出(
)A B R
.
【详解】
因为{}{}{|33R A x y x x C A x x ==
=≥⇒=<,
{}{}|2,3|08x B y y x y y ==≤=<≤，所以
(){}03A B x x R ⋂=<<，故本题选
C. 【点睛】
本题考查了集合的交集运算、补集运算，正确求出函数y =2,3x y x =≤的值域是关键.
5．已知f (x )是R 上的增函数，若 a +b ＞0 , 则（ ） A ．f (a ) + f (b ) ＞f (- a ) +f (-b ) B ．f (a ) + f (b )＞f (- a ) - f (-b ) C ．f (a ) + f (-a )＞f (b ) +f (-b ) D ．f (a ) +f (-a )＞f (b ) - f (-b )
【答案】A
【解析】由函数()f x 是R 上的增函数，所以()()(),()f a f b f b f a >->-，两式相加，即可求解. 【详解】
由0a b +>，则a b >-，且b a >-，
因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()()(),()f a f b f b f a >->-， 两式相加，可得()()()()f a f b f a f b +>-+. 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．已知函数()f x 对任意实数x 都满足()()0f x f x --=，且当[0,)x ∈+∞时都有
()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦成立，
令()1a f =，12b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ()2c f =-，则（ ） A ．a b c << B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
【答案】D
【解析】根据题意，得到函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，且函数()f x 是R 上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解. 【详解】
由题意，当[0,)x ∈+∞时都有()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦成立， 所以函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，
又由函数()f x 对任意实数x 都满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -=， 所以函数()f x 是R 上的偶函数，所以()()22c f f =-=， 因为
1122<<，所以()()1()122f f f <<，即()()1
()122
f f f <<-， 所以b a c <<. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，以及函数的奇偶性的应用综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．函数()2
45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取
值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[]2,4
C ．[]0,4
D ．(]
2,4 【答案】B
【解析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】
∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．
且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．
8．设0.84a =,0.458b =, 1.2
1()2
c -=,则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
【答案】A
【解析】根据实数指数幂的运算性质，化简得 1.62a =, 1.352b =, 1.22c =，再结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】
由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得
0.8
1.6
4
2
a ==,0.45 1.3528
b ==, 1.12
.21)
2
2(c -==， 又由函数()2x
f x =是R 上的单调递增函数，
因为1.6 1.35 1.2>>，所以 1.6 1.35 1.2222>>，即a b c >>. 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了指数幂的运算性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质，结合指数函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 9．已知
是定义域为
的奇函数, 当
时,
，那么不等式
的解集是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由题意可知
利用f （x ）在
上单调递减，不等式
等价于
，解不等式组即可得出结论．
【详解】 当时,
，可得f （x ）在
上为减函数，
又是奇函数,所以f(x)在
上单调递减，
∴
等价于
∴解得．
∴故选B. 【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．已知实数a，b满足等式11 23
a b
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a＜b ＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】根据指数函数的图象和性质判断.
【详解】
作y＝
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
与y＝
1
3
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的图象．
当a＝b＝0时，
11
23
a b
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
当a<b<0时，可以使
11
23
a b
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
当a>b>0时，也可以
11
23
a b
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
故选B.
【点睛】
本题考查了指数函数的图象与性质，体现了数形结合的方法的直观性和简便性. 11．定义在()
0,∞
+上的函数()
f x满足：1122
12
()()
0,
x f x x f x
x x
-
<
-且
(2)4
f=，则不等式
8
()0
f x
x
->的解集为（）
A．()
4,+∞B．()
0,4C．()
0,2D．()
2,+∞
【答案】C
【解析】设()()g x xf x =，得到函数()g x 单调递减函数，把不等式8
()0f x x
->，转化为()8xf x > 结合(2)4f =，即可求解. 【详解】
由题意，设()()g x xf x =，
因为
112212()()0x f x x f x x x -<-，即1212
()()
0g x g x x x -<-，所以函数()g x 单调递减函数，
不等式8
()0f x x -
>，即()80xf x x
->， 因为()0,x ∈+∞，所以不等式等价于()80xf x ->，即()8xf x >
又由(2)4f =，则()()2228g f =⋅=，所以不等式()8xf x >的解集为()0,2. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及不等式的求解，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x =，若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式2()()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,]2
-∞- B ．1(,]2
-∞-
C ．31[,]22
-
- D ．13[,]22
【答案】A
【解析】根据函数为偶函数，求出函数()f x 的表达式，然后将不等式2()()f x a f x +≥化简，对a 进行讨论，利用分离参数，结合恒成立，即可求解. 【详解】
由题意，()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x =，可得
2,(0)(),1(),(0)2
x x x f x x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩
（1）当0a ≥时，不等式2()()f x a f x +≥，即为222x a x +≥，解得x a ≤，（舍去）；
（2）当20a +≤时，即2a ≤- ，不等式2()()f x a f x +≥，即为211()
()22
x a
x +≥，解得x a ≥，恒成立，所以2a ≤-符合题意；
（3）当20a -<<时，若0x a +>，此时0x >，则当2a a +≥-时，解得1a ≥-， 由（1）不合题意；
若0x <，则0x a +<，由（2）得成立，
若0x a +<，0x >时恒成立，则21()
22x a
x +≥，解得3
a x ≤-， 所以23a a +≤-，解得3
2a ≤-，所以322
a -<≤-， 综上可得，实数a 的取值范围是3
(,]2
-∞-.
故选：A . 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中求出函数在定义域上的解析式，结合恒成立求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题
13．已知函数2(0)
(),(3)(0)
x x f x f x x ⎧≤=⎨
->⎩则(5)f =_____ 【答案】
12
【解析】根据分段函数的解析式和分段条件，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，函数2(0)
(),(3)(0)x x f x f x x ⎧≤=⎨
->⎩
则1
1(5)(53)(2)(23)(1)22
f f f f f -=-==-=-==
. 故答案为：12
. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中解答中合理利用分段的函数的解析式和分段条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 14．已知()f x 是(,0)
(0,)-∞+∞上的奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，又
(2)0f -=，则不等式
()
0f x x
<的解集是_______________
【答案】(2,0)(0,2)-
【解析】根据题意，作出函数()f x 的图象，结合图象，分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案. 【详解】
由题意，不等式()
0f x x <，可转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0
x f x <⎧⎨>⎩， 因为()f x 是(,0)
(0,)-∞+∞上的奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f -=，
可得函数的图象，如图所示，
由图象可得，当()0,0x f x ><时，解得02x <<； 当()0,0x f x <>时，解得20x -<<， 所以不等式
()
0f x x
<的解集为(2,0)(0,2)-. 故答案为：(2,0)(0,2)-.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，以及不等式的求解，着重考查了数形结合思想，解答本题的关键是利用函数的性质作出函数的草图，属于中档试题. 15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且()()2f x f x +=对x ∈R 恒成立,当
[]0,1x ∈时, ()2x f x =,则92f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
=__________.
2【解析】利用函数的周期性，可得f （92-）12f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，再利用奇偶性即可得出． 【详解】
f （x +2）＝f （x ）对x ∈R 恒成立，∴f （92-）91422f f ⎛⎫⎛⎫
=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴1122f f ⎛⎫⎛⎫
-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ，则f （92-
）12f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了函数的周期性与奇偶性，考查了推理能力计算能力，属于中档题．
16．若二次函数()2
42f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，则
2
22444
a c
c a +++的最小值为
__________． 【答案】
12
. 【解析】由题意可知，0a >，0=，从而求出2ac =，将所求式子中的4代换成2ac ，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值． 【详解】
∵二次函数()2
42f x ax x c =-+（x R ∈）的值域为[
)0,+∞，
∴0a >，1680ac =-=，∴0a >，0c >，2ac =，
∴222222 444422a c a c c a c ac a ac +=+++++()()2222a c c c a a a c =+++
11111121
222222
c a c a a c a c a c =
-+-=+-≥=+++， 当且仅当22a c ==时取等号，故答案为1
2
． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
三、解答题 17．（1）计算：1
214
3
3
4
164181227816--
-
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
； （2
）化简：
)116
2
0,0a b a b >>⎫⎪⎭
.
【答案】（1）22；（2）
a
b
. 【解析】（1）利用指数运算公式化简；（2
m
n a =化简，再根据指数运算公式化简. 【详解】 （1）1
214
3
3
4
164181227816--
-
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
42
1642233
=+
++=； （2
）
11
62a b ⎫⎪⎭
()
112
2323
543342711133362ab a b a b a b a b b a b ⎛⎫
⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪
⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了指数运算公式和根式与分数指数幂的运算公式，意在考查公式转化和计算能力.
18．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 在13
[,]22
-
上的最大值； （3）若函数()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2()243f x x x =-+； （2）
112； （3）10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】（1）设2()(1)1f x a x =-+，根据(0)3f =，求得2a =，即可得到函数的解析式；
（2）由（1）得2()2(1)1f x x =-+，结合二次函数的性质，即可求得函数的最值. （3）由（1）得到函数()f x 的对称轴的方程为1x =，根据函数()f x 在区间[2,1]
a a +
上不单调．．．，列出不等式211a a <<+，即可求解. 【详解】
（1）由题意，设2()(1)1f x a x =-+，
因为(0)3f =，即2(01)13a -+=，解得2a =， 所以函数()f x 的解析式为2()243f x x x =-+. （2）由（1）可得22()2432(1)1f x x x x =-+=-+， 因为13
[,]22
x ∈-
， 所以当12x =-时，函数()f x 取得最大值，最大值为2
1111()2(1)1222
f -=--+=
. （3）由（1）可得函数2()243f x x x =-+的对称轴的方程为1x =， 要使函数()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．
，则211a a <<+，解得1
02
a <<， 所以实数a 的取值范围10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
19．已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y =++，且当0x >时，
()0f x <。

(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数. 【答案】（1）奇函数； （2）见解析.
【解析】(1)取0x y ==，求得(0)0f =，再取y x =-，得到()()f x f x -=-，即可得到结论；
(2) 利用函数的单调性的定义，即可判定函数为单调递减函数. 【详解】
(1)由题意，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，
取0x y ==，因为()()()f x y f x f y =++，则(00)(0)(0)f f f +=+，解得
(0)0f =，
取y x =-，则()()()f x x f x f x -=+-， 可得()()f x f x -=-对任意R 恒成立， 所以()f x 为奇函数．
(2) 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0， 所以2121()()()0f x f x f x x +-=-<，即21()()f x f x <--， 因为函数()f x 为奇函数，所以21()()f x f x <， 所以函数()f x 为R 的单调递减函数. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，以及合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 20．已知2()1x
f x x
=
+是定义在(1,1)-上的奇函数． （1）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数； （2）解不等式(1)()0f t f t -+<． 【答案】（1）详见解析；（2）1(0,)2
.
【解析】（1）用定义法证明函数的单调性即可；
（2）由函数的奇偶性结合（1）的结论得到关于实数t 的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】
（1）证明：对于任意的12,(1,1)x x ∈-，且12x x < ，则：
()()()()1212121222
221212()11()
111x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++
1211x x -<<<，
∴120x x -<，121x x <，∴1210x x ->. ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. ∴函数在(1,1)-上是增函数.
（2）由函数的解析式及（1）知，()f x 是奇函数且在(1,1)-上递增，
()()10t f t f -+< ，即：()()()1f f f t t t -<-=-，
结合函数的定义域和单调性可得关于实数t 的不等式：
111111t t t t
-<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩
，求解关于实数t 的不等式组可得：102t <<，
则不等式的解集1(0,)2
. 【点睛】
本题考查函数单调性的判断与证明，考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，考查逻辑思维能力，属于中档题.
21．已知函数2
—1
(0)(){21
(1)
x
c cx x c f x c x +<<=+≤<，且()
2
98
f c =
． （1）求实数c 的值； （2
）解不等式()18
f x >
+ 【答案】（1）12c =
；（2
）5
()48
【解析】（1）由题意知，0＜c ＜1，于是c 2＜c ，从而由f （c 2）9
8
=
即可求得实数c 的值；（2）利用f （x ）41
110221211
2x x x x -⎧+⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩
，＜＜，＜，解不等式f （x
）1即可求得答案．
【详解】
（1）当01c <<， 20c c <<， 故2
3
9()18
f c c =+=得：1
2c =
当1c ≥，不合题意，故 1
2
c =
（2）∵f （x ）41
110221211
2x x x x -⎧+⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩
，＜＜，＜，由f （x
）1得：
102{1112x x <<
+>+
得142x <<
或41
12{211
x x -≤<+>+得1528x ≤<
所以，不等式的解集为5()48
【点睛】
本题考查指数型不等式的解法，考查分类讨论思想与方程思想的综合运用，属于中档题． 22．已知函数x y a =（a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记
()2
x
x a f x a =+．
（1）求a 的值；
（2）证明()(1)1f x f x +-=； （3）求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值．
【答案】（1）4； （2）见解析； （3）1009.
【解析】（1）由指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的单调性和题设条件，得到220a a +=，即可求解；
（2）由（1）知4()42
x x f x =+，结合指数幂的运算性质，即可求解.
（3）由（2）的结论，得到12018
10091010
()()(
)()120192019
20192019
f f f f +==+=，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1，2]上的最大值与最小值之和为20， 因为指数函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1，2]上单调递增或单调递减， 可得220a a +=，得4a =或5a =-（舍去），所以4a =.
（2）由（1）知4()42
x
x f x =+，
则11442
(1)4242424x x x x
f x ---===
++⋅+，
所以4242
()(1)1422424
x x x x x
f x f x ++-=+==+++. （3）由（2）知，
1201822017
10091010
(
)()()()(
)()12019201920192019
20192019
f f f f f f +=+==+=， 所以
1220181201822017
(
)()....()[()()][()()]2019201920192019201920192019
f f f f f f f +++=+++ 10091010
[()()]100920192019f f +++=，
即123201810092019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及函数值的计算，其中解答中熟记指数函数的性质，以及指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。