上海浦东区2012-2013学年度高一第二学期期中联考数学试题

2012学年度第二学期高一数学期中联考试题
（满分100分 考试时间90分钟）
1．求值：52log 35________.+=
2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)_________.f
-= 3. 与83
π-终边相同的最小正角是_______________. 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第__________象限角.
5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 .
6. 若1log 14
a
<，则a 的取值范围是____________________. 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为 .
8. 若53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭_______________.= 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x >的x 的取值范围是 .
10、若342sin ,cos ,,552
a a a a παααπ--==<<++则____________.a = 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 。

12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5
t α=，则tan ____________.α= 二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13. “1sin 2α=-”是“56
πα=-”的（ ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件
14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ ）
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y 15. 将2(0,1)b a N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ ）
.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a N b = 16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：
(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，
那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个
三、解答题（本大题共5小题，满分52分）
17.（本小题满分8分）
解方程：22log (95)log (32)2x x -=-+
18.（每小题各4分，满分8分）
已知tan 2α=-，求下列各式的值.
（1）
4sin 3cos 2sin cos αααα
+- （2）224sin 3cos αα+
19. （本小题满分10分）
已知()()1sin cos 5
παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-
20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分）
已知扇形AOB 的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）..
21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a
mx f x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；
（2）求()f x 的反函数1()f x -；
（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；
（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.
2012学年度第二学期高一数学期中联考试题参考答案
（满分100分 考试时间90分钟）
一、填空题（本大题12小题，每小题3分，共36分）
1．求值：52log 3
5+= 75
2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)f -
=3. 与83π-终边相同的最小正角是43
π 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第_二或四__象限角.
5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为25a a
+. 6. 若1log 14a <，则a 的取值范围是()10,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为()2,1- 8. 若53,42ππα⎛⎫∈
⎪⎝
⎭
=cos sin αα- 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x ≥的x 的取值范围是[][)1,01,-+∞U 10、若342sin ,cos ,,552
a a a a παααπ--==<<++则a = 8 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为()1,3
12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5t α=，则tan α=4330433
t t t ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩不存在 二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13. “1sin 2α=-”是“56
πα=-”的（ B ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件
14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ C ） A ．⎪⎭⎫
⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y 15. 将2(0,1)b a N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ D ）
.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a N b =
16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：
(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，
那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ B ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个
三、解答题（本大题共5小题，满分52分）
17.（本小题满分8分）
解方程：22log (95)log (32)2x x -=-+
解：954(32)x x -=-————————2分
()23
4330x x -⋅+=———————2分 313x x ==或3
01x x ∴==或——————————2分
经检验0x =是增根，舍去—————1分
∴原方程的解是1x =————————1分
18.（每小题各4分，满分8分）
已知tan 2α=-，求下列各式的值.
（1）
4sin 3cos 2sin cos αααα
+- （2）224sin 3cos αα+ 解：（1）原式=4tan 322tan 1αα+------分 （2）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分
=12---------分 =224tan 31tan 1
αα+--------+分 =1915
---------分 （不同解法相应给分）
19. （本小题满分10分）
已知()()1sin cos 5
παπα++-=
，且2παπ<<，求tan(2).πα- 解：由已知得1sin cos 5
αα+=--------------------------------2分 两边平方得：242sin cos 25
αα=-----------------------------2分 3222
ππαπαπ<<∴<<Q cos 0sin αα∴>>----------------------------------------------2分
14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩
⎩---------------------2分 4tan(2)tan 3
παα-=-=------------------------------------------2分 （不同解法相应给分）
20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分）
已知扇形AOB 的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）. 解：（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ---------------------------1分
281313232
r l r r l l lr +=⎧==⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或-------------------------2分 233
αα∴==圆心角或----------------------------------1分 （2）21112242442r l S lr r l +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭
-------------------2分 当且仅当2r l =时，等号成立-------------------------------1分
max 2,4,4,r l S α∴===当时此时=2-------------------1分
4sin1AB ∴=----------------------------------------------------2分
（其他方法相应给分）
21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a
mx f x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；
（2）求()f x 的反函数1()f x -；
（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；
（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.
解：（1）22
2
111()()log log log 0111a a a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==----Q ----------2分 对定义域内的任意x 恒成立 ()22
22211,101m x m x x
-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------2分
（2）111log 111
y y a y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1
x x a f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------1分 （3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞U --------------------1分
设12121(),111
x g x x x x x x +=
<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)
x x g x g x x x --=>--Q 12()()g x g x ∴>
所以，函数()()1(),11,1
x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------3分 所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减 当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分
（4）123x a a <<-∴>Q
()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分
21(2)1,log 1,410,22
a
a f a a a a a -∴-==-+=∴=+-即化简得分。