(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则
1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫
-+++- ⎪⎝⎭
的最小值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．3
2．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5
cos 6
A =
，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．
199
B ．4122
-
C ．111
-
D ．
1711
3．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4
B ．37+
C ．25
D ．5
4．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A ．2
B ．1
C ．2
D ．22
5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，
1
4
DF DA =
，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）
A ．1
B ．6
C ．5
D ．2
6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）
A ．
97
B ．
74
C ．
72
D ．
92
7．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）
A ．18
-
B ．116
-
C ．316
-
D ．0
8．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）
A ．
52
B ．52
-
C ．4
D ．4-
9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0 B ．4，42
C ．16，0
D ．4，0
10．直线0ax by c
与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为
圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-
B ．[]2,4-
C ．[]1,4
D ．[1,4]-
11．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
12．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅
B ．a c ⋅
C ．b c ⋅
D ．不能确定
二、填空题
13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若
3AB AC AD EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值为___________.
14．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若
AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．
15．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．已知3a =，2b =，()()
2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点
5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.
19．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→
=-，且,3a b π
→→
<>=，则,a c →→
〈〉=________．
20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2
b =-，若单位向量
c 与2a b -平行，则c =___________.
三、解答题
21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；
（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；
（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？
23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；
(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；
（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．
25．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()
3a b c -⊥，求实数m 的值；
（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 26．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，
//,,2
AD BC BAD π
∠=
,3
BDA BC BD π
∠=
=．
（1）求AE BD ⋅；
（2）求AC 与BD 夹角的余弦值．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】
设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b
，
则1
cos 2
θ=，因为0θπ≤≤ 所以3
π
θ=
，
记a OA =，b OB =,
以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，
则()2,0A ，(B ，
所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，
()
(1)2x a xb x -+=-，
所以((1)2x a xb x -+=
-=
，
表示点()
P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=
113
222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫
+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，
表示点()
P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭
两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫
-+++- ⎪⎝⎭
的最小值转化为
P 到,A Q 两点的距离和最小，
()
P x 在直线y =上，
()
2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，
PQ PA ∴+
的最小值为QR == 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题
的关键是将向量的模转化为点()
P x 到()2,0A 、3
2Q ⎛
⎝⎭两点间的距离，考查了
运算求解能力.
2．D
解析：D 【分析】
设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到
·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】
设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，
即11222
m OD AB mAB nAC AB nAC -=
--=-， 同理122
n
OE AE AO AC mAB -=-=
-， 因为212·
||?02
m
OD AB AB nAB AC -=-=， 所以
124502m n -⨯-=，又212·||?02
n
OE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n
m -⨯-=，联立方程组124502129502m
n n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，
解得922
811m n ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以17211n m -=
. 故选D 【点睛】
本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．C
解析：C 【分析】
利用基本不等式得到
22
2
a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】
因为1a =，2b =，
所以
22
22
2225
2
a
b a b
a b a b a b
++-
++-≤=+=，
当且仅当a b a b
+=-，即a b
⊥时取等号，
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.
4．B
解析：B
【分析】
作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出
2
1
P OP
E PF=
⋅-，
求得OP的最大值，由此可求得PE PF
⋅的最大值.
【详解】
如下图所示：
由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，
()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，
由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，
2
OP取得最大值2，所以PE PF
⋅的最大值为1.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
5．C
解析：C
【分析】
以,
AD AB为一组基底，表示向量,
AE BF，然后利用12
AE BF
⋅=-，求得
2
cos 3
BAD ∠=
，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】
因为1
4AE AD DE AD AB =
+=+，34
BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133
113444
416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛
⎫⎛⎫⋅=+
⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113
cos 4416AD AB AD AB BAD =
--⋅∠， 31117936cos 12448
BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2
cos 3BAD ∠=，
∴25sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=
， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出
,CG CO 的比例，由此得出λ的值.
【详解】
设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则
//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重
心，结合
23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故22
4.529
CG AC ==⨯.所以
72AG
CG
=
，由此可知7
2
λ=，故选C.
【点睛】
本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.
7．C
解析：C 【分析】
建立平面直角坐标系，()0,P t ，3
t ≤，则 22333()16⋅=-=--AP CP t t t ，进而
可求最小值. 【详解】
以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，
1(,0)2A ，1(,0)2B -，3(0,)2C ，设()0,P t ，其中3
2
t ≤
1(,)2AP t =-，3
(0,)2
CP t ==，22333()2416⋅=-
=--AP CP t t t ，当34t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为3
16
-．
故选：C 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.
8．C
解析：C 【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】
以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系
(0,0),(2,1),(1,2)A E F
(2,1),(1,2)AE AF ∴==
21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C
【点睛】
本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】
解：向量()a cos sin θθ=，，向量(
)
31b =
-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），
所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3
π
θ-
），
所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．
10．A
解析：A 【分析】
取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出
1cos 2AON ∠=，1
cos 2
MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，
(
)()
PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()2
24cos OM ON OP
OP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从
而得解. 【详解】
解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，
∵222c a b =+，
∴点O 到直线MN 的距离2
2
1OA a b
==+，
在Rt AON 中，1
cos 2
OA AON ON ∠=
=， ∴2
211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭
， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫
⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-
2
()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+
24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠
24cos AOP =-∠，
当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】
本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.
11．D
解析：D 【分析】
设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据
3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x
的取值范围. 【详解】
设CO yBC =，
则()
()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.
12．C
解析：C 【分析】
由0a b c ++=，可得2
222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】
解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，
||||||a b c <<，
∴222a b c <<
则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为：
【分析】
将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出
AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.
【详解】
因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=
+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭
22111
263
AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211
026
AC AB -=，即||3AB AC =， 所以
=3AB
AC
. 故答案为：3
14．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B
解析：1 【分析】
如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案. 【详解】
取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示
由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -， 如图以BC 为直径的半圆方程为：2
2
1(0)x y y +=≤， 设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈，
则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-，
因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμ
θλμ
=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，
整理可得113
cos sin 22131sin cos 22μθθλθθ⎧=+-
⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，
所以1
31113322(sin cos )cos sin sin()222226
πλμθθθθθ+=-
-++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[
,]6
66
π
ππ
θ+∈， 当136
6π
πθ+
=
时，sin()6
πθ+取最大值1
2，
所以2λμ+的最小值为31
122
-=， 故答案为：1 【点睛】
解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
15．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积
解析：6 【分析】
建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】
如图所示建立平面直角坐标系：
则()()()()04,00,40,44A B C D ，
，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，
因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪
⎨
=⨯-⎪⎩
，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，
所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-
【分析】
由已知得()
c a b =-+，再两边平方2
2
+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答
案. 【详解】
因为0a b c ++=，所以()
c a b =-+，又因为5c =， 所以()
2
25a b
+=，即2
2
+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，
所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，
所以()()
2
0+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.
17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3
π
【分析】
本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()
2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2
a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.
【详解】
解：∵ 3a =，2b =，
∴ 2
2
9a a ==，2
2
4b b
==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，
∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，
∴ ()()2
223696cos ,6418a b a b a
a b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-
整理得：1cos ,2
a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3
π. 故答案为：3
π 【点睛】
本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.
18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基
解析：5
8
【分析】
将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2
223
,82
7FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】
因为2222
11436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2
2
11114223234FD BC
BF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，
因此2223
,827FD BC ==，
2
2
2
2
11416.22445
8
ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===
故答案为：58
. 【点睛】
研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
19．【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为
又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向量的夹角公式属于中档题
解析：
6
π
【分析】
根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.
【详解】
因为
22cos
(
cos,
2
|||||
2)
2|
a
a c a
a c
a
b
a b
c
π
→→
→→
→→→→→→
→→
→
→
-
⋅
〈〉==
-
-
===
⋅
，
又,
0a cπ
→→
〈
≤〉≤，
所以,
6
a c
π
→→
〈〉=，
故答案为：
6
π
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量
解析：
34
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或
34
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
【分析】
由向量的坐标运算求出2
a b
-，并求出它的模，用2
a b
-除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．
【详解】
由题意2(1,3)(4,1)(3,4)
a b
-=--=-，∴2
2(3)5
a b
-=-=，
又
234
,
55
2
a b
a b
-⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
-
，
∴c=
34
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或
34
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
故答案为：
34
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或
34
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a平行的单位向量有两个，它们是相反向量：
a a
±
．只写出一个向量
a a
是错误的．
三、解答题
21．（1）6；（2）58,99
m n ==；（3）1118k =-.
【分析】
（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；
（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；
（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】
解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=
∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；
（2）
()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，
a m
b n
c =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，
故4322
n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58
,99m n ==；
（3）
(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，
(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，
()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，
解得11
18
k =-. 【点睛】 结论点睛：
若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于
12120x x y y +=.
22．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】
（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】
（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；
21(2b =+=．
（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，
所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】
本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．
23．（1）()4,1=-AB
,17;=AB （2）25,55⎛=
⎝⎭e ，或25.55⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
e
【详解】
试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ； （II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题
（I ）()()AB 13,214,1=
---=-,(AB =-=
(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即2
2
1x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB , 所以20x y -+=
即2x y =
由22
21x y x y =⎧⎨+=⎩
，解得
55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者5
5
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以25,
⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=-
⎝
⎭
e 24．（1）23
π
；（23） 【分析】
（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得
1
cos 2
θ=-，结合角的范围，求得结果；
（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】
（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，
所以2
2
44361a
a b b
-⋅-=.
又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61
cos 432
a b
a b θ⋅-=
=
=-⨯. 又0≤θ≤π，所以23
πθ=
. （2）2
2
2
2
()2a b a b a a b b +=+=+⋅+
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23
πθ=， 所以∠ABC ＝233
πππ-
=. 又4,3AB a BC b ====，
所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】
该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 25．（1）1m =-；（2）1λ=±. 【分析】
（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-； （2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±. 【详解】
解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，
∵ ()
3a b c -⊥，
∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-，
所以实数m 的值为：1m =-.
（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，
()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，
∵ a b λ+与a b λ+平行，
∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题.
26．（1）0；（2） 【分析】
（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22
AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；
（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC =
===，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．
【详解】
解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=
∠==
所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD =
= 又E 为DC 的中点
所以1113()(),2222
AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭
（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ==== 222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-
设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BD
AC BD θ⋅=== 【点睛】
本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.。