2021年河北中考数学复习 第9讲 平面直角坐标系与函数的认识

第三章 函 数
第9讲 平面直角坐标系与函数的认识
1. (2021，河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km /h .轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h )，航行的路程为s(km )，那么s 关于t 的函数图象大致是(C)
A B C D
【解析】 航行过程分三段，且第二段停留，此时s 值不变，即图象与x 轴平行，应选项D 错误．无论速度快慢，路程都随时间的增大而增大，所以第一、三段图象都应是向上的趋势，应选项A 错误．从甲地到乙地顺水航行，从乙地返回到甲地逆水航行，所以第一段图象比第三段倾斜程度更陡一些，应选项B 错误，选项C 正确．
2. (2021，河北)如图，在矩形中截取两个一样的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，那么y 关于x 的函数图象大致是(A)
第2题图
A B C D
【解析】 由题意，得y －x 2＝π2x ，即y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋12x. 3. (2021，河北，导学号5892921)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE ＝EF ＝FB ＝5，DE ＝12，动点P 从点A 出发，沿折线AD →DC →CB 以每秒1个单位长度的速度运动到点B 停顿．设运动时间为t s ，y ＝S △EPF ，那么y 关于t 的函数图象大致是
(A)
第3题图
A B C D
【解析】 在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2Rt △CFB 中，BC ＝BF 2＋CF 2＝13.①当点
P 在AD 上运动时，如答图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，那么PM ＝ AP·sin A ＝1213
t ，此时y ＝12EF ·PM ＝3013t ，为一次函数．②当点P 在DC 上运动时，y ＝ 12
EF ·DE ＝30.③当点P 在BC 上运动时，如答图②，过点P 作PN ⊥AB 于点N ，那么PN ＝BP·sin B ＝1213
(AD ＋CD ＋BC －t)＝12〔31－t 〕13，那么y ＝12EF ·PN ＝30〔31－t 〕13
，为一次函数．综上可得选项A 的图象符合．
第3题答图
平面直角坐标系与点的坐标特征
例1 (2021，枣庄)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到
点B，那么点B关于x轴的对称点B′的坐标为(B)
A. (－3，－2)
B. (2，2)
C. (－2，2)
D. (2，－2)
【解析】点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B(2，－2)，点B关于x轴的对称点B′的坐标为(2，2).
针对训练1(2021，沈阳)在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关
于x轴对称，那么点A的坐标是(A)
A. (4，1)
B. (－1，4)
C. (－4，－1)
D. (－1，－4)
【解析】关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数.
函数图象的判断与分析
例2 (2021，达州)如图，在物理课上，教师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，
然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，那么以下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的图象大致是(D)
例2题图
A B C D
【解析】铁块完全浸没在水中时，y应是重力与浮力的差，且保持不变；铁块从露出水面到完全分开水面的过程中，所受浮力减小，故y值增大；铁块完全分开水面后，y值等于重力，保持不变.
针对训练2(2021，衢州)星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，
再骑车回到家．他离家的间隔y(km)与时间t(min)之间的关系如下图，那么上午8：45小明离家的间隔是km.
训练2题图
【解析】分析图象，可知图书馆距小明家2 km，他回程的速度是2÷20＝(km/min×5＝1.5(km).
函数自变量的取值范围
例3 (2021，恩施州)函数y＝2x＋1
x－3
的自变量x的取值范围是( x≥－
1
2且x≠3 ).
【解析】 使式子有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，x －3≠0.
解得x ≥－12且x ≠3. 针对训练3 (2021，岳阳)函数y ＝x －3中，自变量x 的取值范围是(C)
A. x ＞3
B. x ≠3
C. x ≥3
D. x ≥0
【解析】 根据二次根式有意义的条件，得x －3≥≥3.
一、 选择题
1. (2021，十堰模拟)以下说法中，正确的选项是(D)
A. 点P (3，2)到x 轴的间隔 是3
B. 在平面直角坐标系中，点(2，－3)和点(－2，3)表示同一个点
C. 假设y ＝0，那么点M (x ，y )在y 轴上
D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号
【解析】 A . 点P(3，2)到x 轴的间隔 是2，故此选项错误．B . 在平面直角坐标系中，点(2，－3)和点(－2，3)表示不同的点，故此选项错误．C . 假设y ＝0，那么点M(x ，y)在x 轴上，故此选项错误．D . 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同为负号，故此选项正确．
2. 假如点P (x －4，2x ＋6)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x 的取值范围在数轴上可表示为(C)
A B C D
【解析】 ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，
2x ＋6>0.
解得－3<x<4. 3. (2021，成都)在平面直角坐标系中，点 P (－3，－5)关于原点对称的点的坐标是(C)
A. (3，－5)
B. (－3，5)
C. (3，5)
D. (－3，－5)
【解析】 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标分别互为相反数．
4. (2021，石家庄27中模拟)将点A (－1，2)向左平移3个单位长度得到点B ，那么点B 关于y 轴的对称点C 的坐标是(B)
A. (－4，－2)
B. (4，2)
C. (－2，2)
D. (2，－2)
【解析】 点A 向左平移3个单位长度，那么横坐标减3，纵坐标不变，即B(－4，2)．关于y 轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即C(4，2)．
5. (2021，扬州改编)在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，点M 到x 轴的间隔 为3，到y 轴的间隔 为4，那么点M 的坐标是(B)
A. (3，－4)
B. (4，－3)
C. (－4，3)
D. (－3，4)
【解析】 点到x 轴的间隔 等于纵坐标的绝对值，点到y 轴的间隔 等于横坐标的绝对值．点在第四象限，横坐标是正数，纵坐标是负数．
6. (2021，昆山一模)在平面直角坐标系中，点P (x ，－x 2－4x －3)所在的象限不可能是(A)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【解析】 ∵－x 2－4x －3＝－(x ＋2)2＋1，∴当x>0时，－(x ＋2)2＋1<－3<0.∴点P 所在的象限不可能是第一象限．
7. (2021，内江)函数y ＝
x ＋1x －1，那么自变量x 的取值范围是(B) A. －1＜x ＜1
B. x ≥－1且x ≠1
C. x ≥－1
D. x ≠1
【解析】 根据二次根式、分式有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，
x －1≠0.
解得x ≥－1且x ≠1. 8. 如图，一个函数的图象由射线BA 、线段BC 、射线CD 组成，其中点A (－1，2)，B (1，
3)，C (2，1)，D (6，5)，那么此函数(A)
第8题图
A. 当－1<x ＜1时，y 随x 的增大而增大
B. 当－1<x ＜1时，y 随x 的增大而减小
C. 当1<x <2时，y 随x 的增大而增大
D. 当2<x <6时，y 随x 的增大而减小
【解析】 观察图象的变化趋势可得结论．
9. (2021，潍坊)如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B ＝60°，动点P 以1 cm/s 的速度自点A 出发沿AB 方向运动至点B 停顿，动点Q 以2 cm/s 的速度自点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停顿．假设点P ，Q 同时出发运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是(D)
第9题图
A B C D
【解析】 当0≤t<2时，S ＝12×2t ·32×(4－t)＝－32t 2＋23t.当2≤t ≤4时，S ＝12×4×32
·(4－t)＝－3t ＋4 3 .只有选项D 的图象符合．
10. 定义新运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1〔a ≤b 〕，－a b
〔a ＞b 且b ≠0〕，那么函数y ＝3*x 的图象大致是(B) A B C D
【解析】 根据新运算，可知y ＝3*x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－1〔3≤x 〕，
－3x 〔3＞x 且x ≠0〕.
①当x ≥3时，此函数解析式为y ＝2，函数图象在第一象限，是以(3，2)为端点平行于x 轴的射线，故可排除选项C ，
D .②当x<3且x ≠0时，此函数是反比例函数，图象位于第二、四象限，可排除选项A .
11. (2021，石家庄新华区二模)定义新运算：a ⊕b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧|a |＋b 〔a ≤b 〕，b －a 2〔a ＞b 〕，那么函数y ＝x ⊕1的图象大致是(A)
A B C D
【解析】 根据新运算，可知y ＝x ⊕1＝⎩
⎪⎨⎪⎧||x ＋1〔x ≤1〕，
1－x 2〔x ＞1〕.①当x>1时，此函数解析式为y ＝1－x 2，函数图象在第四象限．②当x ≤1时，此函数解析式为y ＝1＋||x ，图象在第一、二象限．
二、 填空题
12. (2021，新疆)点(－1，2)所在的象限是第 二 象限．
【解析】 横坐标是负数、纵坐标是正数的点在第二象限．
13. (2021，临安)点P (3，－4)到x 轴的间隔 是 4 .
【解析】 点到x 轴的间隔 等于纵坐标的绝对值．
14. (2021，宿迁)在平面直角坐标系中，将点(3，－2)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么所得的点的坐标是 (5，1) ．
【解析】 由题意，得所得点的坐标为(3＋2，－2＋3)，即(5，1)．
15. (2021，枣庄，导学号5892921)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线局部的最低点，那么△ABC 的面积是 12 .
第15题图
【解析】 根据图象可知点P 在BC 上运动时，BP 的长度不断增大，且BP 的最大值为
5，即BC ＝5.∵M 是曲线局部的最低点，∴此时BP 最短，即当BP ⊥AC 时，BP ＝4.∴由勾股定理，可知此时PC ＝3.∵图象的曲线局部是轴对称图形，∴此时PA ＝3.∴AC ＝6.∴S △ABC ＝12
×4×6＝12. 三、 解答题
16. (2021，嘉兴)小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h (m)与摆动时间t (s)之间的关系如图②所示．
(1)根据函数的定义，请判断变量h 是否为关于t 的函数？
(2)结合图象答复：①求当t ＝0.7时，h 的值，并说明它的实际意义；
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
第16题图
【思路分析】 (1)根据图象和函数的定义可以解答．(2)①根据函数图象可以解答此题．②根据函数图象中的数据可以解答此题．
解：(1)由图象，可知对于每一个摆动时间t ，h 都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h 是关于t 的函数．
(2)①由函数图象，可知当t ＝0.7时，h ＝0.5.
它的实际意义是当摆动时间为0.7 s 时，秋千离地面的高度是0.5 m.
②由图象，可知秋千摆动第一个来回需2.8 s.
1. (2021，潍坊)在平面内，由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径，点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P (3，60°)或P (3，－300°)或P (3，420°)等，那么点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的选项是(D)
第1题图
A. Q (3，240°)
B. Q (3，－120°)
C. Q (3，600°)
D. Q (3，－500°)
【解析】 ∵P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)，点P 与点Q 关于点O 成中心对称，∴点Q 的极坐标为(3，240°)或(3，－120°)或(3，600°)等．
2. (2021，石家庄43中三模，导学号5892921)在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1，0)，P 是第一象限内任意一点，连接PO ，P A .假设∠POA ＝m °，∠P AO ＝n °，那么我们把(m °，n °)叫做点P 的“双角坐标〞．例如，点(1，1)的“双角坐标〞为(45°，90°)．
(1)点⎝⎛⎭
⎫12，32的“双角坐标〞为 (60°，60°) ； (2)假设m ≤n ，那么点P 到y 轴的间隔 d 的取值范围为〔 d ≥12
〕.
【解析】 (1) ∵P ⎝⎛⎭⎫12，32 ，OA ＝1，∴tan ∠POA ＝3212＝3， tan ∠PAO ＝3
21－12
＝ 3.∴∠POA ＝60°，∠PAO ＝60°，即点⎝⎛⎭
⎫12，32的“双角坐标〞为(60°，60°)．(2)当m ＝n 时，点P 在线段OA 的垂直平分线上，此时点P 到y 轴的间隔 d ＝12
.当m<n ，即∠POA<∠PAO 时，点P 在直线x ＝12的右侧，此时点P 到y 轴的间隔 d>12.综上所述，d ≥12
.。