粘性不可压缩流体运动

P
一元二阶常微分方程
9.2.2 粘性不可压缩流体层流运动的近似解
普朗特边界层方程－大Re数下层流运动近似解
Re LV104
粘 惯性 性力 力＞104
惯性力远远大于粘性力
能否忽略粘性力的作用？
普朗特边界层方程－大Re数下层流运动近似解
Re LV104
粘 惯性 性力 力＞104
惯性力远远大于粘性力
Uxf()
2 边界层内流体的运动方程
y x2 yx 22y3y3 Uxf() y U
x
2fff0 一元三阶非线性常微分方程
边界条件
0,ff0
, f1
Blasiuse的解决方案：
普朗特边界层方程 二元二阶非线性偏微分方程组
223 一元三阶非线性偏微分方程组
yxy x 2y y3
2fff0 一元三阶非线性常微分方程
d()v
dt
d t
U
V2 2
Fv
vdi vP :P S
div(kgrad)Tq 微分形式的能量方程
dV22 FvvdivP
dt
微分形式的动能定理
dU dt
内能的变化率
P:S div(kgrad)Tq
变形面力作的 热传导传入
功
的热量
辐射或其他原因 传入的热量
粘性流体运动的一般性质
(3) 机械能的损耗性：由于粘性的存在，面力所做的功只有一 部分转化为动能，另一部分被粘性应力耗损变成了热能，单位 体积内耗损的动能由耗损函数确定：
u 1 dph2y2
2dx
二维泊素叶流动
u 1 dph2y2
2dx
纯剪切流动：上、下游没有压差，只有平板的拖动
U
d 2u dy2
1
dp dx
0
图 1-1 流 体 的 黏 性 实 验
在上截面处，即y=h，满足： uU
纯剪切流动
在下截面处，即y=0，满足： u 0
u yU h
U
d 2u 1 dp
2u y2
2u z2
P
结构轴对称
r2u21rur1r2u2 P
流动分布轴对称 0 uu(r)
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
r2u21rur1r2u2 P
2u 1u P r2 r r
1 d r duP r dr dr
d r durP dr dr
r
dur2 dr 2
PC1
dur PC1 dr 2 r
混合长度理论
体 运 动
湍流
模式理论
K-ε方程 RSM模型
9.2.1 粘性不可压缩流体层流运动的准确解
粘性不可压缩流体在无限长柱形管道内的定常运动 已知：管截面上的形状及两个截面上的压力 求：管截面上速度分布、流量及管道中的阻力系数
v0 u v w0 x y z u 0 x
连续性方程
一维流动 vw0
比
p x
更高阶的无
穷小，故可忽略此方向的压力变化，即： p 0
y
即压力数值穿过边界层并不改变，同时忽略y方向 的动量方程
(2) 通过量纲分析，发现： 2u 及 2v x2 x2
是更高阶的无穷小，可忽略
边界层内粘性不可压缩流体基本方程（二维） u v 0 x y
u tu u xv u y 1 p x x 2u 2 y 2u 2
v tu x vv y v 1 p y x 2v 2 y 2v 2
边界条件
静止固壁上：满足粘附条件 uv0 在边界层边界y=δ处，满足：uU(x)
U(x)是边界层外部边界上外流的速度分布
初始条件：
t=t0时刻，已知全部区域内的速度及压力分布
uu(x,y) pp(x,y)
绕流区域内粘性不可压缩流体基本方程（二维） －普朗特边界层方程
2S22S:S
dU
dt
P: S div(kgradT)
q
Pp I2S
S wuxxvx wuyyyv wuvzzz1212uzu0ywxxv
12uyxv 0
12vzwy
12uzwx
u x
12vzwy12uyxv
0
12uzwx
12uyxv v y
12vzwy
12uzwx
12vzwy
w
y
x
连续性方程自动满足
2 边界层内流体的运动方程
y x2 yx 22y3y3
边界条件
一元三阶非线性偏微分方程
静止固壁上：y=0 u 0
y
在边界层边界y=δ处，满足：
u
y
U
2 边界层内流体的运动方程
根据量纲分析，构造组合变量 y U
x
Uxf()
使得：
u
y
Ux U xf()Uf()
2 边界层内流体的运动方程
边界层内粘性不可压缩流体基本方程（二维） u v 0 x y
u tu u xv u y 1 p x x 2u 2 y 2u 2
v tu x vv y v 1 p y x 2v 2 y 2v 2
边界层内粘性不可压缩流体基本方程（二维）
(1) 通过量纲分析，发现
p y
ddvtF1gradpv
N－S方程
u tu u xv u yw u z 1 p xu
v tu x vv y vw v z 1 p yv w tu w xv w yw w z 1 p z w
u 0 vw0 t
u 0 x
01 pu x
0 1 p
y
0 1 p
粘性不可压缩流体运动－轴对称圆管内定常层流
(a) 速度分布剖面
uPa2r2 4
pa 4 lpb a2r2
umax
pa pb
4l
a2
(b) 流量及平均速度
upapb a2r2
4l
a
Q0 u2rdr
半径r处圆环的面积 r
Q8Pa2 8a4l papb uQ a2 8a2lpapb1 2umax
如忽略粘性力的作用，简化N-S方程
v0
dvFp
dt
与理想不可压缩流体运动方程相同
边界上不满足粘附条件：v=0
边界层(附面层)：当流体流过物体，或物体在流体中 运动时，在物体表面和与之直接接触的薄层流体之间， 由于粘性的存在，都会出现附着作用，而使这一层流 体附着在物体表面，速度为零，与相邻的另一层流体 之间便出现速度梯度。离开表面向外沿法线方向延伸， 速度急剧增大，速度梯度则逐渐减小。速度梯度变化 很大的那一层流体称为边界层或附面层。
dp 0 dx
2 边界层内流体的运动方程
u v 0 x y
uuxvuy1ddpxy2u2
边界条件
静止固壁上：y=0 uv0 在边界层边界y=δ处，满足： uU
2 边界层内流体的运动方程
u v 0 x y
二元二阶非线性偏微分方程组
uu x
vu y
y2u2
引入流函数 (x, y)
u v
涡旋运动方程
初始条件与边界条件
(1) 初始条件：t=0时，流场中已知速度分布及压力分布
vv(x,y,z) pp(x,y,z)
(2) 边界条件：
静止固壁上：满足粘附条件 v 0
运动固壁上：满足 v流 v固 自由面上：满足 pnnp0 pn 0
粘性流体运动的一般性质
(1) 有旋性：绝大部分粘性不可压缩流体运动都是有旋的 (2) 涡旋的扩散性：涡旋强的地方将向涡旋弱的地方输运 涡量，直至涡量相等为止。
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
dur PC1 dr 2 r uP 4r2C1lnrC2
在边壁 在中心
ra， u0 r0， u
C1 0
C2
P 4
a2
uPa2r2 4
pa 4 lpb a2r2
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
uPa2r2 4
pa 4 lpb a2r2
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二节 粘性不可压缩流体运动方程组的 求解途径
v0
dvF1gradpv dt
Pp I2S
连续性方程 N－S方程 本构方程
方程组的特点：二阶非线性偏微分方程组 解的存在和唯一性？
第二节 粘性不可压缩流体运动方程组的求解
准确解
粘
性
层流
小Re数
不 可
近似解
大Re数
粘性力 惯性力
？
压
中Re数
缩
流
统计理论
u v 0 x y
u tu u xv u y1 p x y2u 2
Ut UU x 1px
外部区域内理想不可压 缩流体无旋运动方程
绕流区域内粘性不可压缩流体基本方程（二维） －普朗特边界层方程的核心思想
1 提出了边界层的概念，合理的将整个绕流 区划分为两个部分；
2 在边界层内合理的将N－S方程进行了简化；
粘性不可压缩流体 运动
第一节 粘性不可压缩流体的运动特点
研究粘性不可压缩流体运动的特点：产生内磨擦及传热有关的能 量耗损过程 主要解决的重点：流动过程阻力的产生机理、计算与控制；
考虑粘性作用的情况有： (1) 流体运动能量损耗的过程 (2) 粘性力与惯性力同阶或较惯性力大得多的时候（如在边界层内）
z
vw0 u 0 t
连续性方程 N－S方程
边界条件
静止固壁上：满足粘附条件 u 0 在截面a处，即x=0，满足： p pa 在截面b处，即x=l，满足： p pb
pa pb
u 0 x 0 1 p
y
0 1 p
z
01 pu x
uu(y,z) pp(x)
2u 2u 1 p
y2
由上、下两个平行平板组成的二维渠道，粘性不可压缩流体 在压差作用下在渠道内作定常流动，板间距离为2h
2u y2
2u z2
1
p x
0 z
d 2u 1 dp
dy2 dx
1 dp P
dx
P pa pb
l
d 2u dy2
1
dp dx
在上截面处，即y=h，满足： u 0 在下截面处，即y=-h，满足： u 0
Blasiuse的解－层流边界层近似解
9.3 边界层脱体现象及产生的条件
顺压区
逆压区
降压增速区 增压减速区
9.3 边界层脱体现象及产生的条件
9.3 边界层脱体现象及产生的条件
压差阻力
顺压区
逆压区
9.3 边界层脱体现象及产生的条件
9.3 边界层分离现象及产生的条件
结论1：沿流动方向存在逆压区是产生流动脱体现 象的原因
泊松方程
pa
pb
0
l
2u y2
2u z2
P
pa pb l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
(2) 平面运动：两个平行x-z坐标面的无限长平面间的粘性 流体运动
一元二阶常微分方程
边界条件 直接积分
准确解
2u y2
2u z2
P
pa pb l
二元二阶偏微分方程
(1) 轴对称流动：圆心在原点的圆管中粘性流体运动
3 整个绕流区内压力的分布不受边界层分布 的影响，与理想不可压缩流体无旋运动时相同
9.2.3 半无穷长平板的层流边界层 －普朗特边界层方程的Blasius解
无限空间中一均匀气流以速度U沿板面方向定常地 向一半无穷长且厚度为零的平板流来，求解在板面 上边界层内的速度分布
1 边界层以外的区域：速度场均匀定常且为 常数U
粘性不可压缩均质流体运动方程组
v0
连续性方程
dv FdivP
dt
运动方程
dU dt
P:Sdiv(kgrad)Tq
能量方程
Pp I2S
本构方程
pf(T,V)
状态方程
粘性不可压缩均质流体运动方程组
v0
dvF1gradpv dt
Pp I2S
d()v
dt
（流体正压，外力有势）
连续性方程 N－S方程 本构方程
(c) 阻力系数
upapbr
r
2l
r=a时： maxpa2lpb a
定义阻力系数：
max 1 u 2 2
u
a2
8l
pa
pb
8 au
(3) 阻力系数
8 au
定义雷诺系数：
Re au
8
Re
ln ln 8ln Re
在轴对称圆管内定常层流状态下与实验值 吻合
(2) 两个平行板间的定常运动及库塔流
dy 2 dx Pa
Pb
在上截面处，即y=h，满足： u U 图 1-1 库流 体塔的流黏 性：实 既验 有压差，
又有平板的拖动
在下截面处，即y=0，满足： u 0
U uhy2h2Uddpxhy1hy
粘性不可压缩流体层流运动的准确解小结
2u 2u 1 p
y2 z2 x
N－S方程
2u y2
1
p x
z2
x
uu(y,z) pp(x) 2u 2u 1 p
y2 z2 x
2u 2u 1p
y2 z2 xP
P为常数
1 p P
x
pP xC1
在截面a处，即x=0，满足： p pa
在截面b处，即x=l，满足： p pb
P pa pb
l
ppa
pb l
xpa
压力沿轴向线性下降
2u 2u P y2 z2
外流区
边界层
整个绕流区
外流区：忽略粘性力的作用－理想无旋 边界层：考虑粘性力的作用－粘性有旋
外流区
边界线：与来流速度相差1%的流 体质点连线
边界层
普朗特的观点：
外流区：粘性力远远小惯性力的作用，忽略粘性力 的作用－理想无旋（平面势流）
边界层：粘性力与惯性力同量级，考虑粘性力的作 用－粘性有旋，边界层厚度δ比特征长度L 小得多，而且x方向速度分量沿法线方向 的变化比切向大得多。（N－S方程）
粘性流体的绕流存在逆压区，但不产生流动分离现象
沿流动方向存在逆压区，但不产生流动分离现象 理想不可压缩流体无旋运动－圆柱无环量绕流