排列组合应用题的解法

排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n 1
种结果，……；
n 个人通过，有C n n 种结果。

所以一共有C C C n n n n n 012+++= 种可能的结果。

解法2：用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。

所以一共有2n 种可能的结果。

例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种
解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a ，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有3129⨯+=()种分配方式。

二. 特殊元素（位置）优先
例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？
解：个位选0，有P 94个，个位不选0且万位不能选0，有C C P 418183
个，所以一共可以得
到137763
8181449=+P C C P 个偶数。

注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。

例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 解：先排甲，有P 41种排法。

再排乙，有P 51种排法，再排其余的人，又有P 66种排法，所以一共有P P P 41516614400=种排法。

三. 捆绑法
例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：把甲、乙、丙先排好，有P 22种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有P 66种排法，所以一共有P P 2266=1440种排法。

四. 插入法
例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：先排5个不是小品的节目，有P 55种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有P 53种排法，所以一共有P P 5553=7200种排法。

注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。

五. 排除法
例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

解：从8个点中取4个点，共有C 84种方法，其中取出的4个点共面的有6612+=种，所以符合条件的四面体的个数为C 841258-=个。

例8：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。

现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：从100件产品中取5件产品，有C 1005
种取法，从不含次品的95件中取出5件产品
有C 955种取法，所以符合题意的取法有C C 100595517347001-=种。

例9：8个人站成一排，其中A 与B 、A 与C 都不能站在一起，一共有多少种排法？ 解：无限制条件有P 88种排法。

A 与B 或A 与C 在一起各有P P 2277种排法，A 、B 、C 三人站在一起且A 在中间有P P 2266种排法，所以一共有P 882-P P 2277+P P 2266=21600种排法。

六. 机会均等法
例10：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为
16
6048001010
P =。

例11：用1，4，5，x 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求x 。

解：若x 不为0，在每一个数位上1，4，5，x ，出现的机会是均等的。

由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到： 64145288⨯⨯+++=()x ，解得x =2。

若x 为0，无解。

七. 转化法
例12：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？ 解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。

显然，必须有2步中每
步走2级，6步中每步走一级。

记每次走1级台阶为A ，记每次走2级台阶为B ，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B 。

其余的填写A ，这是一个组合问题，所以一共有C 8228=种走法。

例13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8
个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有C 146
3003=种走法。

八. 隔板法
例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔
法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为C 212210=种方法。

注：本题可转化成求方程x y z ++=20的非负整数解的个数。

排列与组合 配合练习
一.填空题:(用直接填空法解下列排列,组合问题)
1.7个人并排站成一排
(1)如果甲必须站在中间,有__________________种排法.
(2)如果甲、乙两人必须站在两端,有_____________________种排法. 2.用0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个.
用集团法-----若千元素要相邻时,或要按顺序
3.四男三女排成一排,(1)三个女的要相邻,有________种排法; (2)女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有___________种.
用插空位的方法-----若千元素互不相邻时.
4.四男三女排成一排,(1)女同学互不相邻,有____________种排法. (2)男同学互不相邻,女同学也互不相邻,有____________种排法. 用间接法.
5.8人排成一排,其中甲、乙两人不排在一起,有______________________种排法.
6.平面内有8个点,其中有4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线.
则(1)过这8个点中的任何两点可和__________条直线.(2)由这8 个点可以组成 __________个不同的三角形.
分组分配问题:
7.18名同学,(1)平均分成三组,有____________种分法.(2)平均分给数、理、 化小 组有___________种分法.(3)分配给化学小组7人,物理小组6人,数学小组5人,有 __________种
分法.(4)分给数、理、化小组,其中一个组为5人,一个组为6人, 一个组为7人,有_________种分法.
二.填空题(用多种方法解)
1.某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第四节, 则不同的排课方案有_________________种.
2.从5位女同学,6位男同学中选出3位女同学和2位男同学担任五种不同的职务,
有____________________种选法.
3.从甲、乙,......,等6人中选出4名代表,那么
(1)甲一定当选,共有___________种选法.(2)甲一定不入选,共有_________种选法.
(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有_____________种选法.
4.将5本不同的数学书,4本不同的物理,3本不同的化学书排成一排,
(1)各类书必须排成一起,问有________________________种排法.
(2)化学书不全排在一起,问有________________________种排法.
(3)化学书每两本都不相邻,问有________________种排法.
5.有男女售票员各4人,被分配在四辆公共汽车上,要求每辆车上男、女各1人,则有
________________种分法.
6.四个男孩和三个女孩站成一列,男孩甲前面至少有一个女孩站着,并且站在这个男孩
前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩的个数,则有_______________________ 种站法.
配合练习解答
一.填空题:
1. (1). P66=720 (2). P22P55=240
2. 156个
3. (1) 720 (2) 840
4. (1) P44P35=1440 (2) 144
5. P88-P77P22=30240
6. (1) 21 (2) 51
7. (1) (C618C612)/P33
(2) C618C612
(3) C718C611
(4) C518C613P33
二.填空题:
1. P1
2.P33=12 2. C35C26P55=18000
3. (1) 10 (2) 5 (3) 14
4.(1) P33P55P44P33
(2) P1212 – P 1010.P33
(3) P99.P310
5. P44P44
6. P13P55+C13C13P22P44+P23P44=936。