广东省中山一中-高二下（选修2-1）

中山一中—上学期第三次段考
高 二 数 学 试 卷
满分150分，时间120分钟
一、选择题：（每小题5分，共40分，只有一个答案正确） 1、抛物线2
x y -=的焦点坐标为 （ ）
A.(0,
4
1) B. (
41, 0) C ．(0，41-) D ．(4
1-, 0) 2、设集合{}30,01<<=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<-=x x B x x
x
A ，那么“A m ∈”是“
B m ∈”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、在平面直角坐标系中，不等式组20
20 2x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为 （ ）
A 2
B 4
C 22
D 42
4、命题：“若12
<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ） A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12
<x
C.若11x x ≥≤-或，则12≥x
D.若11x x ><-或，则12
>x 5、方程22
2-=-y x xy 所表示的曲线的对称性是 （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线x y -=对称 D ．关于原点对称
6、已知点(3,2)A , F 为抛物线2
2y x =的焦点, 点P 在抛物线上, 使PA PF +取得最小值, 则最小值为 （ ） A.
32 B. 2 C. 52 D. 7
2
7、设实数,x y 满足 20
25020
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则x y u x +=的最小值是（ ）
A ．
13 B ．2 C ．3 D ．43
8、设a ，b ，c ，d R ∈，则条件甲：()2ac b d =+是条件乙：方程2
0x ax b ++=与
方程2
0x cx d ++=中至少有一个有实根的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：(每小题5分，共30分)
9、不等式组⎩⎨⎧<-<-0
30
122x x x 的解集是:_______________
10、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e =_______。

11、在一次射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，用,p q 及逻辑联结词“或”“且”“非”（或,,∨∧⌝）表示下列命题：
两次都击中目标可表示为：_____________;
恰好一次击中目标可表示为：____________________.
12、已知点P 是圆2
2
1x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设
OM OP OQ =+，则点M 的轨迹方程______________；
13、设双曲线
22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______
14、已知抛物线x y 42
=与直线42-=x y 交于B A ,两点，如果在该抛物线上存在点
C ，使得OC OB OA λ=+O (为坐标原点），则实数λ＝ ．
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 15 . (本小题满分13分)
已知关于x 的不等式2
30x x m -+<的解集是{}|1x x n <<。

（1）求实数,m n 的值；
（2）若正数,a b 满足:23ma nb +=,求a b ⋅的最大值。

16（本小题满分13分）如果双曲线的两个焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -,一条渐近线方程为：2y x =
（1）求该双曲线的方程； （2）过焦点2F ，倾斜角为
3
π
的直线与该双曲线交于,A B 两点，求AB 。

17.（本小题满分14分）如图，椭圆以边长为1的正方形ABCD 的对角顶点A ，C 为焦点，且经过各边的中点，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程。

18．（本小题满分14分）现有一批货物用轮船从甲地运往乙地，甲乙两地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其它费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30000元．
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x (海里/小时)的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？
D
A
C
B
19．（本题满分12分） 正方形ABCD 的一条边AB 在直线4y x =+上，另外两个顶点
,C D 在抛物线2y x =上，求正方形的边长.
20. (本小题满分14分)
已知，椭圆C 过点31,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，两个焦点为()()1,0,1,0-。

（1） 求椭圆C 的方程；
（2） ,E F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证
明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

高 二 数 学 理 科 答 案
一、选择题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 答案
C
A
B
C
C
D
D
A
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. ____()0,1__________ 10. ____
1
2
_______ 11. p q ∧，()()()()p q p q ∧⌝∨⌝∧ 12. ____14
22
=+y x ___ 13. _____
3215_________ 14._____1
5
____ _ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.
15 . (本小题满分13分)
已知关于x 的不等式2
30x x m -+<的解集是{}|1x x n <<。

（1）求实数,m n 的值；
（2）若正数,a b 满足:23ma nb +=,求a b ⋅的最大值。

解：（1）由题意可知：1,n 是2
30x x m -+=的两根，所以
13
1n n m
+=⎧⎨
⨯=⎩，解得：2,2m n ==； （2）把2,2m n ==代入23ma nb +=得322
a b += 因为222a b a b +≥⋅3
222
a b ≥⋅， 得932a b ⋅≤，当且仅当324a b ==，即33
,48
a b ==时等号成立，
所以a b ⋅的最大值为9
32。

16（本小题满分13分）
如果双曲线的两个焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -,一条渐近线方程为：2y x =
（1）求该双曲线的方程； （2）过焦点2F ，倾斜角为
3
π
的直线与该双曲线交于A 、B 两点，求AB 。

解：（1）依题意：设该双曲线的方程为：22
221x y a b
-=
则：22
3263b a a b c ⎧⎧==⎪⎪
⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎩
22136
x y ∴-=为所求。

112222212122212122(2)3)(,),(,)
(3)18330
136
18,33
|[1+(3)[()4]4(18433)163
AB y x A x y B x y y x x x x y x x x x x x x x -⎧-⎪
-+=⎨-
=⎪⎩∴+==∴+-=-=由题意知直线的方程为=3设=3由得
17.（本小题满分14分）
如图，椭圆以边长为1的正方形ABCD 的对角顶点A ，C 为焦点，且经过各边的中点，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程。

17.解：如图建系 则22(A C ，则2c = 设交点为P ，P 为AD 中点，则
22222
151551||,||||||2,22224
51
1
5351PA PC PA PC a a b a c +==∴+=+=∴=
-∴=-==+-
18．（本小题满分14分）现有一批货物用轮船从甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30000元．
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x (海里/小时)的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？
18.解：（1）由题意得，每小时燃料费用为2
(045)kx x <≤,全程所用时间为500
x
小时.则全程运输成本y=2500500
960kx x x
⋅
+⋅
，(0,45]x ∈ 当x=20时,y=30000得：k=0.6
D
A C
B
故所求的函数为y=1600300()x x +,(0,45]x ∈
(2)y=1600
300()x x
+
1600300224000x x ≥⨯⋅=
当且仅当1600
x x
=
，即x=40时取等号 故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小 19. (本小题满分12分)
正方形的一条边AB 在直线4y x =+上，顶点C 、D 在抛物线2
y x =上，求正方形的边长.
19.解：设直线:l y x b =+与抛物线交于C 11(,)x y ，D 22(,)x y 两点
联立方程2
220y x y y b y y b y x b ⎧=⇒=-⇒-+=⎨=+⎩1212
140
1b y y y y b
∆=->⎧⎪
⇒+=⎨⎪=⎩
2||1114|4|||2
|4|
11142
812026
|4|
3252
2
CD b b AD b b b b b b ⇒=+--=
-∴+-=
++=⇒=---∴=解得：或边长为或
20．（本题满分14分）
已知，椭圆C 过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，两个焦点为()()1,0,1,0-。

（3） 求椭圆C 的方程；
（4） ,E F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证
明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为22
19114b b +=+，解得23b =，2
34b =-（舍
去）
所以椭圆方程为22
143
x y +=。

（Ⅱ）设直线AE 方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=得 2223
(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3
(1,)2
A 在椭圆上，所以
22
3
4()12
2x 34F k k --=+ 3
2
E E y kx k =+-
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—k 代k ，可得
22
3
4()12
2x 34F k k
+-=+ 3
2
E E y kx k =-++
所以直线EF 的斜率()21
2
F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=
==--
即直线EF 的斜率为定值，其值为
1
2。