2019高考数学二轮复习专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用第一课时圆锥曲线的最值范围证明问

地地道道
的达到 第三讲 圆锥曲线的综合应用 第一课时
圆锥曲线的最值、范围、证
明问题
1．(2018 ·成都模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 的两个极点 A ，B 的坐标分别为 ( － 1,0) ， (1,0) ，且 AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－ 2，记极点 C 的轨迹为曲线 E .
(1) 求曲线 E 的方程；
(2) 设直线 y ＝ kx ＋ 2(0 ＜k ＜ 2) 与 y 轴订交于点 P ，与曲线 E 订交于不一样的两点 Q ，R ( 点 R 在点 P 和点 Q 之间)，且
→
＝λ → ，务实数 λ 的取值范围．
PQ PR
分析： (1) 设 C ( x ， y ) ．
y
y 由题意，可得 x － 1· x ＋ 1＝－ 2( x ≠± 1) ，
2
y 2
∴曲线 E 的方程为 x ＋ 2 ＝ 1( x ≠± 1) ． (2) 设 R ( x 1， y 1) ， Q ( x 2， y 2) ．
y ＝ kx ＋ 2，
联立，得
2
2 2
y 消去 y ，可得 (2 ＋ k ) x ＋ 4kx ＋ 2＝ 0，
x 2＋ ＝ 1，
2
2
2
∴ ＝8k － 16＞ 0，∴ k ＞ 2.
4k
由根与系数的关系得，
x 1＋x 2＝－ 2＋ k 2， ①
2
x 1x 2＝ 2＋ k 2. ②
→
→
∵ PQ ＝ λPR ，点 R 在点 P 和点 Q 之间， ∴ x 2＝ λx 1( λ ＞ 1) ． ③
＋λ
2
8k 2
联立①②③，可得
λ
＝ 2＋ k 2.
∵ 2＜ k ＜ 2，
8k 2
8 16
∴
2＋ k 2＝
2
∈(4， 3)，
k 2
＋
1
＋ λ 2
16 ∴ 4＜
＜
λ
，
3
1
∴ 3＜ λ ＜ 3，且 λ ≠1.
∵ λ ＞1，∴实数 λ 的取值范围为 (1,3) ．
2．(2018 ·武汉调研 ) 已知抛物线 C ：x 2＝ 2py ( p ＞ 0) 和定点 M (0,1) ，设过点 M 的动直线
交抛物线 C 于 A ， B 两点，抛物线 C 在 A ， B 处的切线的交点为
N .
(1) 若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；
(2) 若△ ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程．分析：设直线 AB ： y ＝ kx ＋ 1， A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，
y 2) ，
将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x 2－ 2pkx － 2p ＝ 0，则 x 1＋ x 2＝2pk ， x 1x 2＝－ 2p . ①
(1) 由 x 2
＝ 2
得
y
x
，
B 处的切线斜率的乘积为
x 1x 22 ′＝ ，则
2 ＝－ ，
py
p
A
p
p
2
∵点 N 在以 AB 为直径的圆上，∴ AN ⊥ BN ，∴－ p ＝－ 1，∴ p ＝ 2.
x 1
x 2
(2) 易得直线 AN ： y － y 1＝ p ( x － x 1) ，直线 BN ： y － y 2＝ p ( x － x 2) ，
y － y 1 x 1
x －x 1
，
＝
x ＝ pk ，
p
即 (
，－1)．
联立，得
联合①式，解得
x 2
N pk
y － y x － x
，
y ＝－ 1，
＝ p
2
2
| AB | ＝ 1＋ k 2| x 2－ x 1| ＝ 1＋ k 2
x 1＋ x 2
2
－ 4x 1x 2＝ 1＋ k 2 4p 2k 2＋ 8p ，
| kx N ＋ 1－ y N | | pk 2＋ 2|
点 N 到直线 AB 的距离 d ＝ 1＋ k 2 ＝ 1＋ k 2 ，
则△
的面积
△ ABN
＝ 1
·| | ·d ＝
p
2
＋
3
≥2 2 ，当 k ＝ 0 时，取等号，
ABN S AB pk
p
2
∵△
的面积的最小值为 4，
ABN
∴ 2 2p ＝ 4，∴ p ＝ 2，故抛物线 C 的方程为 x 2＝ 4y .
3．(2018 ·山西四校联考 ) 如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T (2,0)
，与 y 轴正半轴订交于两
点、(点在点
的下方 )，且| | ＝3.
M N M N
MN
(1) 求圆 C 的方程；
x 2 y 2
(2) 过点
任作一条直线与椭圆
＋ ＝1 订交于两点 、 ，连结
、 ，求证：∠
ANM
M
8
4
A B
AN BN
＝∠ BNM .
分析： (1) 设圆 C 的半径为 r ( r ＞ 0) ，依题意，圆心 C 的坐标为 (2 ， r ) ．
2
3 2
2 2
25
∵ | MN |＝ 3，∴ r ＝ 2 ＋ 2 ，解得 r ＝ 4 .
2
5 2 25 ∴圆 C 的方程为 ( x － 2) ＋ y
－
＝ 4 .
2
2
52 25
(2) 证明：把 x ＝ 0 代入方程 ( x － 2) ＋ y － 2 ＝ 4 ，
解得 y ＝ 1 或 y ＝ 4，即点 M (0,1) 、N (0,4) ．
①当 AB ⊥ x 轴时，可知∠ ANM ＝∠ BNM ＝ 0?.
②当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 y ＝kx ＋ 1.
y ＝kx ＋ 1
，消去 y 得， (1 ＋2k 2) x 2
＋ 4kx －6＝ 0.
联立方程 2
2
x
＋2 ＝8
y
－ 4
－ 6
k
设直线 AB 交椭圆于 A ( x 1，y 1) 、 B ( x 2， y 2) 两点，则 x 1＋ x 2＝ 1＋ 2k 2，x 1x 2＝ 1＋ 2k 2.
y 1－4 y 2－ 4 kx 1－ 3 kx 2 －3 2kx 1x 2－ x 1＋ x 2
∴ k AN ＋ k BN ＝ ＋ ＝ ＋ x ＝ x x
.
x
1 x
2 x
1
2 2
1
若 k AN ＋ k BN ＝ 0，则∠ ANM ＝∠ BNM .
－ 12k 12k
∵ 2kx 1x 2－3( x 1＋ x 2) ＝ 1＋ 2k 2＋ 1＋ 2k 2＝ 0，
∴∠ ANM ＝∠ BNM .
4．(2018 ·德州模拟 ) 已知 C 为圆 ( x ＋1) 2＋ y 2＝ 8 的圆心， P 是圆上的动点， 点 Q 在圆的
半径 CP 上，且有点 A (1,0) → → →→
和 AP 上的点 M ，知足 MQ · AP ＝
0 ，AP ＝ 2AM .
(1) 当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；
(2) 若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 相切，与 (1) 中所求点 Q 的轨迹交于不一样的两点
F ， H ， O 是坐标原点，
且
3 → → 4
≤ OF ·OH ≤ 时，求 k 的取值范围．
4
5
分析： (1) 由题意知
是线段 的垂直均分线，
MQ AP
因此 | CP |＝| QC |＋| QP | ＝| QC |＋| QA | ＝2 2＞ | CA | ＝2，
因此点 Q 的轨迹是以点 C ， A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 2的椭圆， 因此 a ＝ 2， c ＝ 1， b ＝ a 2－ c 2＝1，
x 2
2
故点 Q 的轨迹方程是 2 ＋ y ＝ 1.
(2) 设直线 l ： y ＝ kx ＋ t ，F ( x 1， y 1) ，H ( x 2， y 2) ，
直线 l 与圆 x 2＋ y 2 ＝1相切?
| t | ＝ 1? t 2＝ k 2＋1.
k 2＋ 1
地地道道的达到
x2 2
联立，得2＋ y ＝1，? (1 ＋ 2k 2) x2＋ 4ktx＋ 2t2－2＝ 0，y＝ kx＋ t
＝16k2t2－ 4(1 ＋ 2k2)(2 t2－ 2) ＝8(2 k2－t2＋1) ＝ 8k2＞ 0? k≠0，
－ 4kt 2t2－ 2
x1＋ x2＝1＋2k2， x1x2＝1＋2k2，
→→
因此 OF· OH
＝x1x2＋ y1y2
＝(1 ＋k2) x1x2＋kt ( x1＋x2) ＋t2
＋k 2t 2－－4
2
kt
＝1＋ 2k2 ＋ kt 1＋2k2＋ t
2 2 2 2
＝＋ k
2 k －4k k ＋
2
＋ k2 ＋ 1
1＋2k 1＋ 2k 1＋k2
＝
1＋ 2k2
，
3 1＋k2
4 1 21
? 3 2
因此≤
1＋ 2k 2≤? ≤ k ≤≤|k|≤，
4 5 3 2 3 2
2 3 3 2
因此－2≤ k≤－3或3≤ k≤2.
2 3 3 2 故 k 的取值范围是[－2 ，－3 ]∪[ 3，2]．。