2019-2020学年广东省广州市番禺高中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年广东省广州市番禺高中高一(下)期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.如果a<b<0，那么下面一定成立的是()
A. a−c>b−c
B. ac<bc
C. a2>b2
D. 1
a <1
b
2.()
A. B. C. D.
3.已知sinα=−1
4,a∈(π,3π
2
),cosβ=4
5
,β∈(3π
2
,2π)，则α+β是()
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
4.已知等比数列{a n}满足：a1=4，S n=pa n+1+m(p>0)，则p−1
m
取最小值时，数列{a n}的通项公式为()
A. a n=4⋅3n−1
B. a n=3⋅4n−1
C. a n=2n+1
D. a n=4n
5.函数y=3sin(3x+π
3
)−3的最小正周期为()
A. π
3B. 2π
3
C. 3π
D. 3π
2
6.古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？()
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
7.若是偶函数，则p是q的
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
8.正项等比数列{a n}中，a1+a3=5，a5−a1=15，则a n=()
A. 2
B. 2n+1
C. 2n
D. 2n−1
9.在△ABC所在平面上有三点，满足，
，则的面积与的面积之比为()
A. 1:2
B. 1:3
C. 1:4
D. 1:5
10.已知x2−ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是()
A. (0,4)
B. (−8,8)
C. R
D. (0,8)
11. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2，AD =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. −3 C. 2 D. 5
12. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2+a 5=0，则下列式子中数值不能确定的是( )．
A.
B.
C.
D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ ，且|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则|t b ⃗ +(1−2t)a ⃗ |(t ∈R)的最小值为______． 14. 已知角A 满足cos(π
2−A)=3cosA ，则tan(A +π
4)=______．
15. 若“∀x ∈[0,π
3],m ≥2tanx ”是真命题，则实数m 的最小值为______ ． 16. 已知a ，b ∈R ，若2a =5b =100，则1
a +1
b =______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+4． (Ⅰ)求公差d 的值；
(Ⅱ)若a 1=−5，求S n 取得最小值时n 的值．
18. 已知a ⃗ =(3,−√3)，求b ⃗ ，使a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π
3且a ⃗ 的模是b ⃗ 的模的1
2．
19. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在
处发现北偏东
相距
海里的
处有一艘走私船，正沿东偏南
的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以
海里/小时的速
度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达
处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿
着直线追击．
(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?
(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?
20. 某企业生产A、B两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的
计量如下表所示：
单位：升A B
甲42
乙15
生产产品A和B每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A.方案二：只生产B.方案三：按一定比例生产A、B实现利润最大化．
(1)方案一和方案二中哪些方案利润较高；
(2)按照方案三生产则产品A、B各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一
和方案二．
S n+2n(n∈N∗)．
21. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n=1
2
(Ⅰ)求a1，a2的值；
(Ⅱ)令b n=a n
2n
，求证：数列{b n}是等差数列；
(Ⅲ)若数列{C n}满足C n=1+n⋅(−1)n+1
S n
，对任意的p、q∈N∗，λ≥|C p−C q|恒成立，求实数λ的取值范围．
22. 已知函数f(x)=4sinxcos(x+π
6
).
(Ⅰ)求f(π
6
)的值；
(Ⅱ)求f(x)在[−π
6,π
3
]上的最大值和最小值；
(Ⅲ)求f(x)的单调递减区间．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：∵a <b <0， ∴a −c <b −c ，∴A 错误；
∵c 不确定，∴ac 与bc 的大小不等确定，∴B 错误； a 2>b 2正确，∴C 正确； 1
a >1
b ，∴D 错误． 故选：C ．
根据a <b <0及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项． 本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
2.答案：A
解析：试题分析：
．
考点：特殊角的三角函数值
3.答案：B
解析：解：∵sinα=−1
4,a ∈(π,3π2
),cosβ=45
,β∈(
3π2
,2π)，
∴cosα=−√1−(−1
4)2=−
√15
4
， sinβ=−√1−(45
)2=−35，
∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−
√154×45
−(−14
)(−3
5
)=
3−4√1520<0， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=−14×45
+(−√15
4
)×(−3
5
)=
3√15−420
>0，
∵π+
3π2
<α+β<
3π2
+2π，
∴α+β是第二象限角． 故选：B ．
由已知利用同角三角函数关系式先求出cosα，sinβ，再利用两角和的正弦和余弦函数求出cos(α+β)和sin(α+β)，由此能判断α+β所在象限．
本题考查两角和所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角和的正弦和余弦函数公式的合理运用．
4.答案：A
解析：
本题主要考查了等比数列的求和公式和通项公式，数列的递推关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
对等比数列公比q进行讨论，由已知结合等比数列求和公式的特点可得，4p+m=0，结合基本不
等式可求p−1
m
的最小值及取得条件，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
解：设等比数列公比为q，
1°当q=1时，a n=4 , S n=4n，
则4n=4p+m(p,m为常数)对任意正整数n成立，这显然不可能；
2°当q≠1时
等比数列{a n}满足：a1=4，S n=pa n+1+m=4p⋅q n+m(p>0)，
由等比数列的求和公式S n=−a11−q⋅q n+a11−q，
可得4p+m=0，
则p−1
m =p+1
4p
≥2√p⋅1
4p
=1，
当且仅当p=
1
4p
，即p=1
2
时取等号，
此时S n=1
2
a n+1−2，
S n−1=1
2
a n−2(n≥2)，
两式相减可得，a n=S n−S n−1=1
2a n+1−1
2
a n，
即a n+1=3a n(n≥2)，
∵S1=1
2
a2−2，∴a2=12=3a1，
等比数列{a n}满足：a1=4，公比q=3，此时，a n=4⋅3n−1，
故选：A．
5.答案：B
解析：解：函数y=3sin(3x+π
3)−3的最小正周期为T=2π
3
，
故选：B．
由条件根据y=Asin(ωx+φ)的周期等于T=2π
ω
，可得结论．
本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin(ωx+φ)的周期等于T=2π
ω
，属于基础题．
6.答案：C
解析：解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．
∴a1(27−1)
2−1
=381，
解得a1=3．
故选：C．
设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2.利用求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的定义求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.答案：A
解析：解：若f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数，
f(x)=sin(ωx+φ)=±cos(ωx+φ)是偶函数，
∴p是q的充要条件，
故选：A．
8.答案：D
解析：解：依题意，a1+a3=5，a5−a1=15，
所以{a1+a1q2=5, ①
a1q4−a1=15, ②
，所以①
 ②
得q2−1=3，即q2=4，
又因为数列{a n}为正项等比数列，
所以q=2，a1=1，
所以a n=a1q n−1=2n−1，
故选：D．
依题意，将a1+a3=5，a5−a1=15，转化为a1和q的算式，解得a1，q，即可得到a n．本题考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属于基础题．
9.答案：B
解析：解：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴P 为线段AC 的一个三等分点，
同理可得Q 、R 分别AB ，BC 的一个三等分点， △PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，
∴S △PQR =S △ABC −(12×23a ×13c ×sinB +12×23b ×13a ×sinC +12×23c ×1
3
b ×sinA)
=S △ABC −(29×12acsinB +29×12absinC +29×1
2bcsinA)
=S △ABC −(29S △ABC +29S △ABC +29S △ABC )=1
3
S △ABC
∴所求的面积比为1：3， 故选B ．
10.答案：D
解析：
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．
将关于x 的不等式x 2−ax +2a >0在R 上恒成立，转化成△<0，从而得到关于a 的不等式，求得a 的范围．
解：因为不等式x 2−ax +2a >0在R 上恒成立． ∴△=(−a)2−8a <0，解得0<a <8 则实数a 的取值范围是：(0,8)． 故选：D ．
11.答案：A
解析：
本题考查向量数量积的计算，属于中档题．
根据题意，由向量的三角形法则可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由向量的数量积公式计算即可．
解：根据题意，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2，AD =1，
BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+2=−2； 故选：A ．
12.答案：D
解析：由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0，
∵a 2≠0，∴q =−2，∴=q 2=4；
=
；
=q =−2；=，其值与n 有关．
13.答案：1
解析：解：由|b ⃗ |=2，不妨取b ⃗ =(2,0)， 设a
⃗ =(x,y)， ∵a ⃗ ⋅b ⃗ =2，
∴2x =2，解得x =1． ∴a ⃗ =(1,y)，
∴t b ⃗ +(1−2t)a ⃗ =(1,(1−2t)y)
则f(t)=|t b ⃗ +(1−2t)a ⃗ |=√1+[(1−2t)y]2≥1，当且仅当(1−2t)y =0时取等号． 故答案为：1．
由|b ⃗ |=2，不妨取b ⃗ =(2,0)，设a ⃗ =(x,y)，由a ⃗ ⋅b ⃗ =2，可得a ⃗ =(1,y)，则f(t)=√1+[(1−2t)y]2，即可得出．
本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.答案：−2
解析：解：角A 满足cos(π
2−A)=3cosA ，可得tanA =3，
则tan(A+π
4)=tanA+tan
π
4
1−tanAtanπ
4
=3+1
1−3
=−2．
故答案为：−2．
利用诱导公式以及两角和的三角函数，化简求解即可．
本题考查两角和的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力．15.答案：2√3
解析：解：∵“∀x∈[0,√3]，m≥2tanx”是真命题，
∴x∈[0,π
3
]时，m≥2(tanx)max，
∵y=tanx在[0,π
3
]的单调递增，
∴x=π
3
时，tan x取得最大值为√3，
∴m≥2√3，即m的最小值2√3，
故答案为：2√3
将条件“∀x∈[0,π
3],m≥2tanx”是转化为“x∈[0,π
3
]时，m≥2(tanx)max”，再利用y=tanx在
[0,π
3
]的单调性求出tan x的最大值即可．
本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求出函数的最值即可，属于中档题．
16.答案：1
2
解析：解：a，b∈R，若2a=5b=100，
∴a=log2100=lg100
lg2=2
lg2
，
b=log5100=lg100
lg5=2
lg5
，
∴1
a +1
b
=1
2
(lg2+lg5)=1
2
，
故答案为：1
2
．
先两边求出对数，求出a，b的值，再根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
17.答案：解：(Ⅰ)∵{a n}是公差为d的等差数列，S4=2S2+4，
∴4a1+3×4
2
d=2(2a1+d)+4，
解得d=1.…(6分)。