赤峰二中2016-2017学年高一下学期第二次月考数学(理)试题 含解析

理科一、选择题
1。

若a〈b<c,则下列结论中正确的是( ）
A. a|c｜<b｜c|
B. ab<ac
C. a－c〈b－c
D. >>
【答案】C
【解析】∵a〈b〈c，
当c=0时，a｜c｜<b|c｜不成立，故A错误；
当b=0时，ab〈bc不成立，故B错误；
a−c〈b−c一定成立，故C正确；
当a，b，c异号时，〉〉不成立,故D错误；
故选：C
2. 等比数列x，3x＋3,6x＋6，…的第四项等于（)
A. －24
B. 0C。

12 D. 24
【答案】A
【解析】由x，3x+3,6x+6成等比数列得
(3x+3)2=x(6x+6),∴x=−3,q=2,∴第四项=−3×23=−24.选A。

考点：该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力. 3。

圆：x2+y2—4x+6y=0和圆:x2+y2-6x=0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是（)
A. x+y+3=0
B. 2x−y−5=0C。

3x−y−9=0 D. 4x−3y+7=0【答案】C
【解析】试题分析：解:圆:x2+y2—4x+6y="0” 的圆心坐标为（2，-3），圆：x2+y2-6x=0的圆心坐标为(3，0），由题意可得AB的垂直平分线的方程就是两圆的圆心所在的直线的方程，由两点式求
得AB的垂直平分线的方程是y+3
0+3=x−2
3−2
,即3x—y-9=0，故答案为C
考点：直线方程
点评：本题主要考查用两点式求直线方程的方法,判断AB的垂直平分线的方程就是两圆的圆心所在的直线的方程,是解题的关键，属于基础题
4。

在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）．A. B。

C。

D.
【答案】C
【解析】由题意得,对于选项A中,当a>0时，直线y=x+a在y轴上的截距为在原点的上方，所以不成立的；对于选项B中，当a>0时，直线y=x+a在y轴上的截距为在原点的上方，所以不成立的；当a<0时，此时直线y=ax的斜率a<0,直线y=x+a在y轴上的截距a<0，此时选项C满足条件；对于选项D中，当直线y=x+a的斜率大于于0,所以不正确，故选C.
考点：直线方程。

A．B．C．
D．
5. 经过圆x2+y2+2y=0的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（）
A. 2x+3y+3=0 B。

2x+3y-3=0 C. 2x+3y+2=0 D。

3x—2y-2=0
【答案】A
【解析】由圆x2+y2+2y=0得x2+（y+1)2=1,圆心坐标为C（0,−1），直线2x+3y−4=0的斜率k=−，
∴经过圆心C，且与直线2x+3y−4=0平行的直线方程为y+1=−x，即2x+3y+3=0.
故选A.
6。

设S n为数列{a n}的前n项和,a n=2n−49，则S n达到最小值时，n的值为（)
A。

12 B。

13 C. 24 D。

25
【答案】C
【解析】由a n=2n−49可得数列{an}为等差数列
∴a1=2−49=−47
S n=−47+2n−49
2
×n=n2−48n=(n−24)2−242
结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值
故选C.
点睛：等差数列前n项和公式是S n=na1+n(n−1)
2d=d
2
n2+(a1−d
2
)n=An2+Bn，记
住抛物线对称轴方程n=−a1−d2
2×d
2=1
2
−a1
d。

最值一定在离对称轴最近的整
数中取到。

图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性,一旦给出关系式S m=S n，则马上知道抛物线的对称
轴方程为n0=m+n
，即两足标和的一半！关于S n的最值问题可以转化2
成二次函数求解。

7. 在ΔABC中，∠A=60°,AC=16，面积为220√3,那么BC的长度为
（）
A. 25
B. 51
C. 49√3
D. 49．
【答案】D
【解析】∵A=60∘,AC=b=16，面积S=220√3，
∴S=bc sin A=220√3，即4√3c=220√3，
∴c=55,又b=16，cos A=12，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bc cos A=552+162−16×55=2401，
解得：a=49，
则BC的长为49.
故选D
则z＝x＋2y的最大值为（)
8. 若x，y满足{x−y≤0
x+y≤1
x≥0
A. 0B。

1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
由上图可得z在A(1,0)处取得最大值，即z max=2,故选D.
9。

若直线l1:y=k（x—4）与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点（）
A. （0，2) B。

（0，4）C。

（－2，4）D。

(4,－2）
【答案】A
【解析】直线l1:y=k(x−4)过定点(4,0),点(4,0)关于点(2,1)的对称点为(0,2)，所以直线l2过定点(0,2),选A.
10. 已知直线斜率的取值范围是[-1，+∞）,则倾斜角的取值范围是( )
A. ［135°，180°）
B. [0°,135°］
C. ［0°，90°］∪［135°，180°)
D. [0°，90°）
∪(90°,180°)
【答案】C
【解析】由于直线的斜率k与倾斜角的关系为k=tanα(00≤α<1800)，∵k≥−1，∴00≤α≤900或1350≤α<1800,选C 。

11。

当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是（）
A。

（0，＋∞）B。

[0，＋∞） C. ［0，4） D. （0，4)
【答案】C
【解析】kx2−kx+1〉0对任意x∈R都成立，
①当k=0时，1>0对任意x∈R恒成立，
∴k=0符合题意；
②当k≠0时，则有{k>0
△=(−k)2−4k<0
∴{k>0
，
0<k<4
∴0〈k〈4，
∴实数m的取值范围为0〈k<4.
综合①②可得，实数k的取值范围为0⩽m<4.
故选C.
12. 曲线y=1+√4−x2(x∈［－2，2])与直线y=k（x－2)+4有两个公共点时,实数k的取值范围是（）
A. (0,5
12
)B。

(13,34)C。

(512,+∞) D. (512,34]
【答案】D
【解析】曲线y=1+√4−x2(x∈［－2，2])表示圆的一部分，
直线y=k（x−2）+4是过定点(2、4）的直线系，
如图：不难看出直线的斜率范围是(5
12,3 4 ]
故选D。

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、填空题
13. 已知点(m，3)到直线x＋y－4＝0的距离等于√2,则m的值为________．
【答案】－1或3
【解析】答案：—1或3.
由点到直线的距离公式,得
√1+1
=√2,
即|m—1|=2，
解得m=—1或3.
14。

已知圆C：x2+y2=9,过点P(3，1）作圆C的切线，则切线方程为____________．
【答案】x=3或4x+3y-15=0
【解析】由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意；当斜率存在时，设为k∴y−1=k(x−3)∴kx−y+1−3k=0∵d=r∴
22=3∴k=−4
3
∴切线方程为4x+3y−15=0.综上，切线方程为x=3或
4x+3y−15=0。

点睛：切线、弦长、公共弦的求解方法
（1）求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径,列出关系式求出切线的斜率即可.
(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
（3）当两圆相交时，两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程。

15. 在平面直角坐标系中，动点Ｍ(ｘ，ｙ）满足条件{x−y+2≤0,
x+y−2≤0,
y−1≥0
,动点
Ｑ在曲线(x−1)2+y2=1
2
上，则|MQ|的最小值为____________．
【答案】√2
【解析】依据线性约束条件画出可行域如图,可行域内一点M(x,y)到圆
心的距离的最小值为点圆心(1,0)到直线x −y +2=0的距离d =|1+2|√2=3√2
2，圆的半径为√22，则|MQ ｜的最小值为3√22−√2
2
=√2.
【点睛】本题为线性规划与圆的结合问题，涉及到与圆上一点的距离的最值问题，一般都转化为到圆心的距离，然后加上或减去圆的半径;线性规划问题是高考常见问题，有截距型、距离型、斜率型等，有时考查线性规划的逆向思维问题，含参数问题等. 16。

设直线l ：3x +4y +4=0，圆C:(x −2)2+y 2=r 2，若在圆C 上存在两点
P,Q
，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ =90°，则r 的取值范围是
_________． 【答案】[√2，+∞)
.。

...。

..。

.。

.。

.。

三、解答题
17. 已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．
【答案】3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0。

【解析】试题分析:设直线l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0,解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积
为24，可得=24，解得m即可．
解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0,分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．
∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴=24，解得m=±24．
∴直线l的方程为3x+4y±24=0．
18. 已知圆C经过A(1,3),B(−1,1)两点，且圆心在直线y=x上.
(Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ)设直线l经过点(2,−2)，且l与圆C相交所得弦长为2√3,求直线l的方程。

【答案】（Ⅰ）(x−1)2+(y−1)2=4（Ⅱ）x−2=0或4x+3y−2=0.
【解析】试题分析:（Ⅰ)求圆的方程，需要三个独立条件，一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可；本题也可设成圆的一般式x+ y+Dx+Dy+F=0,再将两个点坐标代入，解方程组可得.（Ⅱ）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理,即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形.
试题解析：解：(Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(a,a)，
依题意，有√(a−1)2+(a−3)2=√(a+1)2+(a−1)2，
解得a=1，所以r=2，
所以圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=4。

（Ⅱ)依题意，圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为d=1，
（1）若直线l的斜率不存在,则d=1，符合题意，此时直线的方程为x−2=0。

（2)若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y +2=k(x −2),即kx −y −2k −2=
，则√k 2
+1
=1，解得k =−43. 此时直线l 的方程为4x +3y −2=0
综上，直线l 的方程为x −2=0或4x +3y −2=0。

19。

在ΔABC 中，点B(4,4)，角A 的内角平分线所在直线的方程为y =0,BC 边上的高所在直线的方程为x −2y +2=0. （Ⅰ) 求点C 的坐标； (Ⅱ) 求ΔABC 的面积。

【答案】（Ⅰ)(10,−8);（Ⅱ)48。

试题解析：(Ⅰ）由题意知BC 的斜率为—2，又点B(4,4)，
∴
直线BC 的方程为y −4=−2(x −4)，即2x +y −12=0。

解方程组{x −2y +2=0y =0得{x =−2
y =0 ∴
点A 的坐标为(−2,0).
又∠A 的内角平分线所在直线的方程为y =0,
∴点B(4,4)关于直线y =0的对称点B ′(4,−4)在直线AC 上，
∴
直线AC 的方程为y =−23
(x +2)，即2x +3y +4=0。

解方程组{2x +y −12=02x +3y +4=0得{x =10y =−8 ∴
点C 的坐标为(10,−8).
（Ⅱ）∵|BC|=√(10−4)2+(−8−4)2=6√5， 又直线BC 的方程是2x +y −12=0,
∴
点A 到直线BC 的距离是d =|2×(−2)−0−12|√22
+12
=16√
5, ∴ΔABC
的面积是S =12×|BC|×d =12×6√5×√5
=48。

点睛：求点A(x A ,y B )关于直线l:Ax +By +C =0的对称点B(x B ,y B )思路：根据A 、
B
两点的中点坐标在直线l 上和A 、B 两点所在的直线与直线l 垂直建立
方程组，即
{
A ·
x A +x B 2
+B ·
y A +y B 2
+C =0
y A −y B x A −x B
·(−A B
)=−1。

20。

设△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．
(1)证明：B －A ＝π2;
(2）求sin A ＋sin C 的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2） (√22,9
8
] 【解析】试题分析：（Ⅰ)运用正弦定理将化简变形，再解
三角方程即可获解;（Ⅱ)将角用表示,换元法求函数
的值域即可。

试题解析：（Ⅰ）由a =btanA 及正弦定理，得sinA cosA
=a b =sinA
sinB ，∴sinB =cosA , 即sinB =sin(π2
+A)， 又B
为钝角，因此
π
2
+A ∈(π
2,π),
故B =π2+A ，即B −A =π
2
； (Ⅱ）由(1）知，C =π−(A +B)
π−(2A +π
2)=π
2−2A >0
，∴A ∈(0,π4)，
于是sinA +sinC =sinA +sin(π2
−2A) =sinA +cos2A =−2sin 2A +sinA +1=−2(sinA −1
4)2+9
8
，
∵0<A<π
4,∴0<sinA<√2
2
，因此√2
2
<−2(sinA−1
4
)2+9
8
≤9
8
，由此可知sinA+sinC的取
值范围是(√2
2,9
8 ]．
考点：正弦定理、三角变换,二次函数的有关知识和公式的应用.
21. 设等差数列｛a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1。

(1）求数列{a n｝的通项公式；
（2)若数列{b n｝满足b n a
n =1
2n
，n∈N*，求｛b n}的前n项和T n。

【答案】（1) a n＝2n－1;(2）T n=3−2n+3
2n
【解析】试题分析：根据等差数列的通项公式和前n项和公式，依
据题意列方程组,解方程组解出a1和d，写出通项公式；根据b n
a n =1
2n ，
写出b n，利用错位相减法求出数列{b n}的和。

试题解析：(1）设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2a n＋1，得
{4a1+6d=8a1+4d
a1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+1解得{a1=1
d=2
因此a n＝2n－1，n∈N*.
(2)由已知b n
a n =1
2n
，n∈N*。

由（1)知a n＝2n－1，n∈N*，
所以b n＝2n−1
2n
，n∈N*.
所以T n＝＋3
2＋5
23
＋…＋2n−1
2
,
T n＝1
22＋3
23
＋…＋2n−3
2n
＋2n−1
2n+1
.
两式相减得
1 2T n=
1
2
+(
2
22
+
2
23
+...+
2
2n
)−
2n−1
2n+1
=
3
2
−
1
2n−1
−
2n−1
2n+1
,∴T n=3−
2n+3
2n
22。

已知圆C1:(x−4)2+(y−2)2=20与y轴交于O，A两点,圆C2过0，A两点，且直线C20与圆C1相切；
（1）求圆C2的方程；
（2）若圆C2上一动点M，直线M0与圆C1的另一交点为N，在平面内是
否存在定点P使得PM=PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1)x2+y2+2x−4y=0；（2）存在，且为P(3,4)．
【解析】试题分析：（1)圆C2的一般方程,因为过0(0,0),A(0,4)可得F=0，E=−4．由直线C20与圆C1相切可得D=2,则方程可解；(2)设MN直线方程为y=kx，联立MN，C1可得N的坐标，联立MN,C2可得M的坐标，由此可得MN的垂直平分线方程，可知其过定点。

试题解析：(1)0(0,0)，A(0,4)，设圆C2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，易得F=0,E=−4．
故C2(−D
2
,2)，由C20⊥C10得D=2，故C2的方程为x2+y2+2x−4y=0．
（2)存在，设MN直线方程为y=kx,分别与C1、圆C2联立
{y=kx
x2+y2+2x−4y=0与{y=kx
x2+y2−8x−4y=0
求额的M(4k−2
1+k2
,4k2−2k
1+k2
)，
N(4k+8
1+k2,4k2+8k
1+k2
)，中点H(4k+31+k2,4k2+3k
1+k2
)，中垂线方程为:y−4k2+3k
1+k2
=−1
k
(x−4k+3
1+k2
)，化简
为：y=−1
k
(x−3)+4恒过定点(3,4)即为所求点P．考点：直线与圆的位置关系;圆的一般方程.。