黑龙江省大庆中学2020—2021学年下学期高一开学考试数学试题(附答案)

大庆中学高一下学期开学考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）
1.已知集合(12}A x x =-<<∣，{1}B x x =>∣，则A B =∪（ ） A.{11}x
x -<<∣ B.{12}x
x <<∣ C.{1}x
x >-∣ D.{1}x
x >∣ 2.命题“0(0,)x ∞∃∈+，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A.(0,)x ∞∀∈+，ln 1x x ≠- B.(0,)x ∞∀∉+，ln 1x x =- C.0(0,)x ∞∃∈+，00ln 1x x ≠- D.0(0,)x ∞∃∉+，00ln 1x x =-
3.已知函数(
)
22
22
()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)∞+上是减函数，则实数m =
（ ） A.2
B.1-
C.4
D.2或1-
4.要得到函数sin 43y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） A.向左平移12π
个单位 B.向右平移
12π
个单位 C.向左平移3
π
个单位
D.向右平移3
π
个单位
5.已知111
f x x ⎛⎫= ⎪
+⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A.
11x + B.
1
x x
+ C.
1
x x + D.1x +
6.点 P 从 (1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23
π
弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）
A.12⎛-
⎝⎭
B.12⎛
⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
C.1,2⎛-
⎝⎭
D.12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
7.已知(2)33,1
()log ,1a
a x a x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）
A.(1,2)
B.51,4
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.5
,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.(1,)∞+
8.设01a <<，则关于 x 的不等式1 ()0a x x a ⎛
⎫
--< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A.1,
a a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B.1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
C.1 ,
(,)a a ∞∞⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
∪ D.
1(,),a a ∞∞⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
∪
9.已知sin α，cos α是方程2320x x a -+=的两根，则实数a 的值为（ ）
A.
56
B.
518 C.56- D.5
18- 10.函数()2
12
()log 23f x x x =-++的单调递增区间是（ ）
A.(1,3)
B.(1,)∞+
C.(1,1)-
D.(-,1)∞
11.若函数()y f x =是奇函数，且函数()()2F x af x bx =++在 (0,)+∞上有最大值8，则函数()y F x =在(,0)∞-上有（ ） A.最小值8-
B.最大值8-
C.最小值6-
D.最小值4-
12.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈）（ ） A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10.0分．多项选择题题漏选得2分，错选不得分．）
13.关于函数()tan 2f x x =，下列说法中正确的是（ ）
A.最小正周期是
2
π
B.图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C.图象关于直线4
x π
=
对称
D.在区间,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增 14.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ）
A.xy 最大值为1 8
B.22
4x y +的最小值
12
C.()x x y +最大值
14
D.
22x y
xy
+最小值为4 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分，15~17题每空5分；18题第一空2分，第二空3分．） 15.
计算：31
log 23
27
lg 0.01ln 3-+-= ．
16.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似根时，现在已经将根镇定在区间 (1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为 ． 17.若函数()y f x =的定义域为[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是 ． 18.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所
用的经验公式；弧田面积()21 +2
=
⨯弦矢矢．弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23
π
，
半径等于4m 的弧田，则矢是 m ，所得弧田面积是 2m ．
四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60.0分） 19.已知3
sin 5
α=-
，且α是第 象限角． 从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （1）求cos α，tan α的值；
（2）化简求值：
3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)
πααπαπαπα⎛⎫
--+ ⎪
⎝⎭+-．
20.
设函数()24f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，x R ∈．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 21.已知函数()
4()log 41()x f x kx k R =++∈为偶函数．
（1）求k 的值； （2）若方程4()log 12x
m f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
有解，求实数m 的范围． 22.函数()cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的部分图像如图所示．
（1）求()f x 的表达式；
（2）求()f x 的单调递减区间与对称中心． 23.已知定义域为R 的函数()()2()2
h x n
f x h x +=
--是奇函数，其中()h x 为指数函数且()h x 的图
象过点(2,4)．
（1）求()f x 的表达式；
（2）若对任意的[1,1]t ∈-．不等式()
22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围；
大庆中学高一下学期开学考试
数学试题答案和解析
1~12:CAABC ACDCA DC 13.AB 14：AB
15.16
-
16.(1.5,2)
17.[0,1)
18.2，2)+
19.【答案】（1）因为3
sin 5
α=-
，所以α为第三象限或第四象限角；
若选③，4cos 5α==-，sin 3
tan cos 4
ααα==；
若选④，4cos 5α==，sin 3tan cos 4
ααα==-； （2）原式sin cos (cos )cos tan()
ααααα-=
-sin cos sin cos sin tan cos ααααααα
-==
-2
2
316cos 1525α⎛⎫
==--= ⎪⎝⎭
． 20.【答案】解：（1）最小正周期22
T π
π==． 令222
4
k x π
π
π-
-
2()2
k k Z π
π+
∈，得38
8
k x k π
πππ-
+
()k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间是3,()88k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦． （2）令24
t x π
=-
，则由
38
4x
π
π可得504
t π
， ∴当54t π
=，即34x
π
=时，min 12y ⎛=-=- ⎝⎭
， 当2
t π
=
，即38
x
π
=
时，max 1y == 即当34x π=
时，函数()f x 取最小值1-，当38
x π=时，函数()f x ． 21．【答案】解：（1）由题意得()()f x f x -=， 即()()
44log 41()log 41x x k x kx -++-=++，
化简得441log 241x x
kx -+=+，从而(21)41k x +=，此式在x R ∈上恒成立，1
2
k ∴=-； （2）由（1）若方程4()log 12x
m f x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
有解，则()()44log 41log 2x x
m +=-有解，故22210x x m ++-=有解，令2x t =，则0t >，则210t t m ++-=有解，故
2
1324t m ⎛⎫
+=- ⎪
⎝⎭
有解， 而2
1124t ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，故3144m ->，解得：1m >．
22．【答案】解：（1）由题意可得251244T π
ω⎛⎫
=
=-⨯ ⎪⎝⎭
，得ωπ=． 所以()cos()f x x πϕ=+，又当153
4424
x +
==时，
314f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
． 即33cos 144f πϕ⎛⎫⎛⎫
=+=-
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，则324k πϕππ+=+，k Z ∈．所以124k ϕππ=+，k Z ∈．
所以()cos 24f x x k πππ⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭cos 4x ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
． （2）由224
k x k π
ππππ+
+，k Z ∈，得13
2244
k x k -
+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递减区间为：1
32,24
4k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈． 由4
2
x k π
π
ππ+
=+
，k Z ∈，得1
4
x k =+
，k Z ∈． 所以()f x 的对称中心为1,04k ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，k Z ∈． 23.【答案】解：（1）由题意，设()x
h x a =（0a >且1a ≠）， 因为()h x 的图象过点()2,4，
可得2
4a =，解得2a =，即()2x
h x =，所以12 ()22
x x n
f x ++=--，
又因为()f x 为R 上的奇函数，
可得(0)0f =，即02(0)022n
f +=
=--，解得1n =-， 经检验，符合()()f x f x =--，所以121
()22
x x f x +-+=+．
（2）由函数12111
()222
21x x x f x +-+==-+++，可得()f x 在R 上单调递减，
又因为()f x 为奇函数，所以()
22(1)f t a f at -≥-，
所以221t a at -≤-，即2
120t at a +--，
又因为对任意的[1,1]t ∈-，不等式()
2 2(1)0f t a f at -+-≥恒成立， 令2
()12g t t at a =+--，即()0g t ≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，
可得(1)0(1)0g g -⎧⎨⎩，即22
(1)(1)1201120a a a a ⎧-+⨯---⎨+--⎩
，解得0a ， 所以实数a 的取值范围为[0,)∞+．。