2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考复习资料

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的
取值范围为 。

【答案】 (15)-，
【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。

由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。

若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。

∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。

2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，
3()f x x =，则 。

【答案】
1
8
【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。

又()f x 为奇函数，
∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。

∴ 391111
()()()()22228
f f f ==--=--=。

3．已知
{}
n a 为等比数列，且
120171
a a =，若，则
1232017()()()()f a f a f a f a ++++= 。

【答案】 2017
【解答】由知，2
22
2212222()()211111()x f x f x x x x x
+=+=+=++++。

∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====。

∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=
=+=。

∴ []12320172()()()()f a f a f a f a +++
+
[][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++
22017=⨯。

∴ 1232017()()()()2017f a f a f a f a +++
+=。

4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。

【答案】
27
【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同
分配方案有3
735C =种。

（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3
块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。

）
其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有2510C =种。

（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。

）
所以，所求的概率为。

5．三棱锥P ABC -中，ABC △
是边长为
PB PC ==P BC A --的大小为45︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 。

【答案】 25π
【解答】如图，取BC 中点D ，连AD ，PD 。

由ABC △
是边长为
PB PC ==
AD BC ⊥，PD BC ⊥
，PD =
∴ PDA ∠为二面角P BC A --的平面角，
45PDA ∠=︒，BC PAD ⊥面，PAD ABC ⊥面面。

作1PO AD ⊥于1O ，则1PO ABC ⊥面。

∴ 111PO O D ==，12O A =，1O 为ABC △的外心，三棱锥P ABC -为正三棱锥。

设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R 。

则O 在直线1PO 上，且2
2211PO PO
O A OA -+=。

∴ 222(1)2R R -+=，，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2
425R ππ=。

6．已知P 为双曲线C ：上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12
PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。

【答案】
【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙及12PF F △三边相切的切
点。

则由切线长定理以及双曲线定义，得
121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=-
()()2D D D x c c x x =+--=
A
∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。

设00()P x y ，
，由M 为12PF F △重心，知036M x x ==，046y =。

∴ 221(64)(460)14PF =++-=，
222(64)(460)10PF =-+-=。

设12PF F △内切圆半径为r ，则
1212121
()162
PF F S PF PF F F r r =++⨯=△。

另一方面，
1212011
84616622
PF F S F F y =⨯⨯=⨯⨯=△。

∴ 16166r =，6r =。

7．在ABC △中，内角A 、B 、
C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos (2cos )sin 22
A A
C C =-，
，4a =，则ABC △的面积为 。

【答案】 6 【解答】由sin cos
(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222
A A A
C C =-。

∴ sin (1cos )(2cos )sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。

∴ sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，sin sin()2sin C C A A ++=。

∴ sin sin 2sin C B A +=，即2c b a +=。

又，4a =。

∴ 22242cos b c bc A =+-，即2223
4(8)2(8)5
b b b b =+---⨯，解得3b =或5b =。

∴ ，或。

∴ ABC △的面积114
sin 356225
S bc A ==⨯⨯⨯=。

8．若关于x 的方程230x ax b ++-=（a ，b R ∈）在区间[]12，上有实根，则22
(4)a b +-的最小值为 。

【答案】 2
【解答】由230x ax b ++-=知，23b x ax =--+。

∴ 22222222222(4)(1)(1)2(1)a b a x ax a x ax x a x +-=+---=+++++
222222(1)(12)(1)()1x x ax a x x a x =++++=++++。

∵ []12x ∈，，
∴ 222(4)12a b x +-≥+≥，当1x =，1a =-，3b =时，等号成立。

∴ 22(4)a b +-的最小值为2。

9．函数()271244f x x x x =-+-+-的最大值为 。

【答案】 11
【解答】由柯西不等式知，
22
271244(271244)(326)326
x x x x x x ----+-+-=⋅
+⋅+⋅ 2271244(326)(
)11326
x x x
---≤++++=。

当且仅当
32
6
27124432
6
x x x
==---，即9436271244x x x ==
---，8x =时等号成立。

∴ ()f x 的最大值为11。

10.A 、B 、C 为圆O 上不同的三点，且120AOB ∠=︒，点C 在劣弧AB 内（点C 及A 、B 不重合），若OC OA OB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围为 。

【答案】 (]12，
【解答】如图，连结OC 交AB 于点D 。

设OD mOC =，则由OC OA OB λμ=+，得
OD m OA m OB λμ=+。

∵ A 、D 、B 三点共线， ∴ 1m m λμ+=，。

不妨设圆的半径为1，作OE AB ⊥于E ，由120AOB ∠=︒，知。

∵ ，且点C 在劣弧AB 内（点C 及A 、B 不重合）， ∴ 。

于是，12λμ<+≤。

∴ λμ+的取值范围为(]12，。

另解：如图，以O 为原点，线段AB 的垂直平分线所在直线为y 轴建立直角坐标系。

不妨设圆O 半径为2，则由120AOB ∠=︒，知(31)A -，
，(31)B ，。

设(2cos 2sin )C αα，。

则由OC OA OB λμ=+，得
(2cos 2sin )(31)(31)ααλμ=-+，，，。

∴ 2sin λμα+=。

∵ 点C 在劣弧AB 内（点C 及A 、B 不重合），
E D
O A
B
C
∴ 30150α︒<<︒。

∴ ，(]2sin 12λμα+=∈，。

∴ λμ+的取值范围为(]12，。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）
11．若数列{}n a 中的相邻两项n a 、1n a +是关于x 的方程20n x nx c -+=（n =1，2，3，…）的两个实根，且11a =。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21n n b c -=，求数列{}n b 的通项公式及{}n b 的前n 项的和n T 。

（必要时，可以利用：2222(1)(21)
1236
n n n n +++++
+=
）
【解答】（1）依题意，由韦达定理，得1n n a a n ++=，1n n n c a a +=。

∴ 121()()(1)1n n n n a a a a n n ++++-+=+-=，即21n n a a +-=。

……………… 5分 ∴ 1a ，3a ，5a ，…；和2a ，4a ，6a ，…，都是公差为1的等差数列。

又11a =，2110a a =-=。

∴ 对*k N ∀∈，21k a k -=，21k a k =-。

即1
2
22
n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩，为奇数，为偶数。

……………………… 10分
（2）由（1）知，22121221122
(1)22
n n n n n n b c a a n n n n ---+-==⋅=
⋅=-=-。

……………………………… 15分
∴ 2222(1)(21)(1)
(123)(123)62
n n n n n n T n n +++=+++
+-+++
+=
-。

……………………………… 20分
12．已知椭圆C ：（0a b >>）过点(21)P -，，且离心率为
2。

过点P 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A 、B 两点（A 、B 及点P 不重合）。

求证：直线AB 过定点，并求该定点的坐标。

【解答】依题意，有，且。

解得26a =，23b =。

∴ 椭圆C 的方程为。

…………………………… 5分 易知直线AB 斜率存在，设AB 方程为y kx m =+。

由，得
222(21)4260k x mkx m +++-= ……… ① 设11()A x y ，
，22()B x y ，， 则，。

…
………………………… 10分
由PA PB ⊥知，0PA PB ⋅=。

∴
12121212(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)0
x x y y x x kx m kx m +++--=++++-+-=
即 221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++-+++-+=。

∴ 22
22
2264(1)(2)()2502121
m mk
k km k m m k k -+⨯+-+⨯-+-+=++。

∴ 22384210m mk k m -+--=。

…………………………… 15分 ∴ (321)(21)0m k m k -+--=。

由直线AB 不过点(21)P -，，知210m k --≠。

∴ 3210m k -+=，，直线AB 方程化为。

∴ 直线AB 过定点。

…………………………… 20分
13．如图，PA 、PBC 分别是圆O 的切线和割线，其中A 为切点，M 为切线PA 的中点，弦AD 、BC 相交于点E ，弦AB 延长线上的点F ，满足FBD FED ∠=∠。

求证：P 、F 、D 三点共线的充分必要条件是M 、B 、D 三点共线。

【解答一】由PA 为圆O 的切线知，
180PAD ABD ∠+∠=︒。

又180FBD ABD ∠+∠=︒， ∴ PAD FBD FED ∠=∠=∠。

∴ EF AP ∥。

………………… 5分 （1）若M 、B 、D 三点共线。

设直线AB ，DP 交于点1F 。

则由塞瓦定理知，。

…………………………… 10分
∵ AM MP =， ∴ ，1EF AP ∥。

又点F 、1F 均在直线AB 上，因此F 、1F 重合。

∴
P 、F 、D 三点共
线。

……………………………… 15分
（2）若P 、F 、D 三点共线。

设直线DB 、AP 相交于点1M 。

则由塞瓦定理知，。

∵ EF AP ∥，，
∴ ，11AM M P =，1M 为PA 的中点M 、1M 重
P
A
P
P
D （第13题）
∴ M 、B 、D 三点共线。

由（1）、（2）可得，P 、F 、D 三点共线的充分必要条件是M 、B 、D 三点共线。

………………………………………………… 20分
【解答二】由FBD FED ∠=∠知，B 、F 、D 、
E 四点共圆。

∴ AFE BDE ∠=∠。

由PA 为圆O 的切线知，BDE PAF ∠=∠。

∴ AFE BDE PAF ∠=∠=∠。

∴ EF AP ∥。

………………… 5分 （1）若M 、B 、D 三点共线。

连结BM 、DP 、DF 。

由M 为切线PA 的中点知，
22MP MA MB MD ==⋅，即。

………………… 10分
∴ MPB MDP △∽△。

∴ MDP MPB APB ∠=∠=∠。

又由B 、F 、D 、E 四点共圆以及EF AP ∥知，
MDF BDF BEF APB ∠=∠=∠=∠。

∴ MDF MDP ∠=∠。

∴ P 、F 、D 三点共线。

………………… 15分 （2）若P 、F 、D 三点共线。

设直线DB 、AP 相交于点1M ，则11PDM FDB FEB M PB ∠=∠=∠=∠。

又11PM B DM P ∠=∠， ∴ 11M PB M DP △∽△。

∴ 2111M P M B M D =⋅。

又2111M A M B M D =⋅，
∴ 2211M P M A =，11M P M A =。

因此，1M 为PA 的中点，M 、1M 重合。

∴ M 、B 、D 三点共线。

P
P
P
由（1）、（2）可得，P 、F 、D 三点共线的充分必要条件是M 、B 、D 三点共线。

………………………………… 20分
14．已知0a >，()ln(21)244x f x x ax ae =++-+。

（1）当1a =时，求()f x 的最大值；
（2）判断函数()f x 零点的个数，并说明理由。

【解答】（1）当1a =时，()ln(21)244x f x x x e =++-+，。

∵ 时，2
4()40(21)
x
f x e x ''=-
-<+， ∴ ()f x '在上为减函数。

又(0)2240f '=+-=，
∴ 时，()0f x '>；0x >时，()0f x '<。

∴ ()f x 在区间上为增函数，在[)0+∞，上为减函数。

∴ 1a =时，()f x 的最大值为(0)0f =。

……………………………… 5分 （2）2()2421
x f x a ae x '=
+-+，2
4()4(21)x
f x ae x ''=--+ 当0a >，且时，()0f x ''<。

∴ ()f x '在上为减函数。

∵ 时，()f x '→+∞；x →+∞时，()f x '→-∞。

∴ ()f x '存在唯一实根，设此根为0x 。

则 时，()0f x '>；0x x >时，()0f x '<。

∴ ()f x 在区间上为增函数，在[)0x +∞，上为减函数。

()f x 有最大值0()f x 。

……………………………………… 10分
① 当1a =时，由（1）知，()f x 有唯一零点。

② 当01a <<时，由(0)224220f a a a '=+-=->知，00x >。

∴ 0()(0)440f x f a >=-+>。

又时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →-∞。

∴ ()f x 在区间，0()x +∞，
内各有一个零点。

∴ 当01a <<时，()f x 有两个零点。

…………………… 15分 ③ 当1a >时，由(0)220f a '=-<，知。

由0002
()24021
x f x a ae x '=
+-=+，知。

∴ 00000002
()ln(21)244ln(21)2(
2)421
x f x x ax ae x ax a x =++-+=++-+++ 0002
ln(21)22421
x ax a x =++-
-++，（）。

设2
()ln(21)22421
g x x ax a x =++--++。

∵ 时，2
24
()2021(21)g x a x x '=
++>++， ∴ ()g x 在区间上为增函数。

∴ 时，()(0)220g x g a <=-<。

于是，0()0f x <。

∴ 1a >时，()f x 不存在零点。

综合得，当01a <<时，()f x 有两个零点；当1a =时，()f x 只有1个零点；当1a >时，
()f x 不存在零点。

…………………………… 20分
15．设1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是5个正实数（可以相等）。

证明：一定存在4个互不相同的下标i ，j ，k ，l ，使得。

【解答】不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，考虑以下5个分数：
12a a ，34a a ，15a a ，23a a ，45
a
a ，……………………… ① 它们都属于区间(]01，。

…………………………………… 5分 把区间(]01，分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中
的3个数（记这3个数依次为a ，b ，c ）。

………………………………………… 10分
将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（12a a 及45a a 是相邻的）。

即a ，b ，c 中至少有两个数是相邻的。

………………………………………… 15分
假设a 及b 相邻，则。

另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同。

于是，a 、b 对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。

因此，结论成立。

………………………………… 20分。