福建省2017届高三下学期普通高中毕业班单科质量检查数

2017年福建省单科质量检查
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数2z m i =+，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ） A ． 1 B ．2 C ．-1 D ．-2
2.若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =（ ） A ．1 B ．9 C ． 17 D ．19
3. 函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.已知集合{}{}
2
,1,,0A a B a ==，那么“1a =-”是“A
B ≠∅”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）
A ．8
B ．9 C. 10 D ．11
6. 已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且2AB BC AC =，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．83π
B ．
3
C. 163π D ．323π
7.执行如图所示的程序框图，若输入2017n =，输出S 的值为0，则()f x 的解析式可以是（ ）
A ．()sin 3f x x π
⎛⎫=
⎪⎝⎭ B ．()sin 2f x x π⎛⎫
= ⎪⎝⎭ C. ()cos 3
f x x π⎛⎫=
⎪⎝⎭ D ．()cos 2
f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭
8.已知函数()3
sin ,0
1,0
x x x f x x x -<⎧=⎨
+≥⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有极值 B ．()f x 有零点 C. ()f x 是奇函数 D ．()f x 是增函数
9.如图，O 与x 轴的正半轴交点为A ，点B ，C 在O 上，且43,55B ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，点C 在第一象限，,1AOC BC α∠==，则cos 6πα5⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
（ ）
A ． 45-
B ． 35- C. 35 D ．45
10. 已知直线l 过点()1,0A -且与
22:20B x y x +-=相切于点D ，
以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（ ）
A ．223144x y -=
B ．223122x y -= C. 2
2513y x -= D ．22
3122
y x -= 11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）
A ． ． ．12. 已知函数()()
x
f x x a e -=-，曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点
处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()
2
,e -+∞ B ． ()2,0e - C. ()2,e --+∞ D ．()
2,0e --
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.设向量()()
1,3,,3a b m ==，且,a b 的夹角为
3
π
，则实数m = ．
14.若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =+的最小值为 ．
15.椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12B B ，
右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于 ．
16.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫
=+> ⎪⎝
⎭
在,123ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最大值，
但没有最小值，则ω的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2b C c a -=. （1）求B 的大小；
（2）若3a =，且AC
边上的中线长为
2
，求c 的值. 18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，
0111160B A A C A A ∠=∠=，14,1AA AC AB ===
.
（1）求证：1111A B B C ⊥；
（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积.
19.某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.
（1）求第n 年的预计投入资金与出售产品的收入；
（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）
20. 已知点()1,0F ，直线:1l x =-，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q .
（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
（2）已知点()1,2H ，过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点，直线,AH BH 分别交l 于点,M N ，求证：以MN 为直径的圆必过定点. 21.已知函数()()1,x f x ax e a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调区间；
（2）当0m n >>时，证明：n
m
me n ne m +<+.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极
轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C
的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.
（1）求12,C C 的直角坐标方程；
（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-+-. （1）当1a =时，解不等式()2f x ≥； （2）求证：()1
2
f x a ≥-
.
试卷答案
一、选择题
1-5: ACACC 6-10: BDDBD 11、12：CD
二、填空题
13. -1 14.2 15.
14 16. 3,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
三、解答题
17.解：（1）因为2cos 2b C c a -=，所以由余弦定理可得，222
222a b c b
c a ab
+--=， 化简得2
2
2
a c
b a
c +-=-，
所以2221
cos 22
a c
b B a
c +-=
=-， 因为()0,B π∈，所以23
B π
=
. （2）
由（1）得，2
2
2
2
39b a c ac c c =++=++，①
又因为在ABC ∆中，222
cos 2a b c C ab
+-=，
取AC 中点D ，连结BD .
因为3,a BD ==
，
在CBD ∆中，22
2221944cos 2b a BC CD BD C BC CD ab
+-
+-==
， 所以22
2
1992944b b c ⎛⎫
+-=+- ⎪⎝
⎭，② 把①代入②，化简得2
3100c c --=， 解得5c =，或2c =-（舍去），所以5c =. 18.解：（1）
取1AA 中点
O ，连结11,OC AC . ∵0
111114,60AA AC AC C A A ===∠=，∴11AC A
∆为正三角形，∴11OC AA ⊥
，1OC =.
又侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =，1OC ⊂面11ACC A ，
∴1OC ⊥平面11ABB A ，
又11A B ⊂平面11ABB A ，∴111OC A B ⊥，
在11OA B ∆中，∵01111160,1
,2OA B A B AB OA ∠====， ∴20114212cos60OB =+-⨯⨯⨯
，∴1OB ，
∴2221111OA OB A B =+，∴111A
B OB ⊥， 又11OB O
C O =，1OB ⊂平面111,OB C OC ⊂平面11OB C ，
∴11A B ⊥平面11OB C ，
又11B C ⊂平面11OB C ，∴1111A B B C ⊥.
（2
）依题意：1101111
2sin 602
ABB A S A B AA =⨯
=
110
11112sin 60442ACC A S AC AA =⨯
=⨯=， 在平行四边形11ABB A 中，过1B 作11B E AA ⊥于点
E ， 过O 作1O
F BB ⊥于点F ，则1OFB E 为矩形，∴1OF B E =. 由（1）知1OC ⊥平面111,ABB A BB ⊂平面11ABB A ， ∴11BB OC ⊥，又11
1,,BB OF OC OF O OC ⊥=⊂平面1OC F ，OF ⊂平面1OC F ，
∴1BB ⊥平面11,OC F C F ⊂平面1OC F ，∴11C F BB ⊥.
又0
111sin 602
B E A B ==
， 在1Rt OC F ∆
中，1OC =
12
OF B E ==，∴
1C F == ∴1111251BCC B S BB
C F =
=
综上，三棱柱的侧面积为=19.解：（1）设第n 年的投入资金和收入金额分别为n a 万元，n b 万元. 依题意得，当投入的资金不低于20万元，即20n a ≥时，()111
,8022
n n n a a b b n --==+≥， 此时，{}n a 是首项为1000，公比为
1
2
的等比数列； {}n b 是首项为40，公差为80的等差数列，
所以，1
11000,80402n n n a b n -⎛⎫
=⨯=- ⎪
⎝⎭
，
令20n a <，得1
2
50n ->，解得7n ≥，
所以，1
11000,16
220,7n n n a n -⎧⎛⎫
⨯≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪≥⎩
，8040,16440,7n n n b n -≤≤⎧=⎨≥⎩. （2）由（1）可知当16n ≤≤时，总利润
()211000124080401200040200012212
n n
n n n S n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪+-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=⨯+- ⎪⎝⎭-，
所以，1120008040,22n
n n S S n n -⎛⎫
-=-⨯+-≥ ⎪⎝⎭
，
因为()1200080402x
f x x ⎛⎫
=-⨯+- ⎪⎝⎭
为增函数，()()30,40f f <>，
所以，当23n ≤≤时，1n n S S ->；当46n ≤≤时，1n n S S -<， 又因为160,528.750S S <=-<，
所以，当16n ≤≤时，0n S <，即前6年未盈利， 当7n ≥时，()()()()67788528.754206n n n S S b a b a b a n =+-+-++-=-+-，
令0n S >，得8n ≥.
综上，预计该公司从第8年起开始盈利.
20.解：（1）依题意得QP QF =，即Q 到直线:1l x =-的距离与到点F 的距离相等， 所以点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线.
设抛物线方程为()2
20y px p =>，则2p =，即点Q 的轨迹C 的方程是24y x =.
（2）
由题意可设直线():10AB x my m =+≠，代入2
4y x =，得2
440y my --=，
设22
1212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则12124,4y y m y y +==-；
又()1,2H ，设直线,AH BH 的斜率分别为12,k k ， 则121222
12122244
,221144
y y k k y y y y --=
===++--， 设()()1,,1,M N M y N y --， 令1x =-，得()111228
222
M y y y y -=-
=
++， 同理，得()222228
222
N y y y y -=-=
++， 从而
()()()()()121212121212424222244244422244244
M N y y y y y y m y y y y y y y y m -++⎡⎤----⨯+⎣
⎦=
===-+++++-+⨯+；
12882222M N y y y y ⎛⎫⎛⎫
+=-+- ⎪ ⎪+
+⎝⎭⎝⎭
12114822y y ⎛⎫
=-+ ⎪++⎝⎭
()()12121284424
y y y y y y ++⎡⎤⎣⎦
=-
+++
()
84444244
m m +=--+⨯+
4m
=-
.
又以MN 为直径的圆的方程为：()()()210M N x y y y y ++--=，
即()()2210M N M N y y y y y y x -++++=，即224230x x y y m
+-++=， 令220230y x x y =⎧
⎨+-+=⎩，解得3x =-或1x =， 从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0.
21.解：（1）()f x 的定义域为R ，且()()1x f x ax a e '=+-，
①当0a =时，()0x f x e '=-<，此时()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.
②当0a >时，由()0f x '>，得1a x a ->-
； 由()0f x '<，得1a x a
-<-. 此时()f x 的单调减区间为1,a a -⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调增区间为1,a a -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
. ③当0a <时，由()0f x '>，得1a x a -<-
； 由()0f x '<，得1a x a
->-. 此时()f x 的单调减区间为1,a a -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,a a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
. （2）当0m n >>时，要证：n m me n ne m +<+，
只要证：()()11n m
m e n e -<-，即证：11m n e e m n -->.（*） 设()1,0x e g x x x -=>，则()()211,0x x e g x x x
-+'=>， 设()()11x
h x x e =-+， 由（1）知()h x 在[)0,+∞上单调递增，
所以当0x >时，()()00h x h >=，于是()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以当0m n >>时，（*）式成立，
故当0m n >>时，n m
me n ne n +<+.
22.解：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，
由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，
所以曲线1C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=， 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，
所以曲线2C 的直角坐标方程为：24y x =.
（2）
不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S ，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t .
把1222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =， 得234242t t ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，即238320t t --=， 则()()21843324480∆=--⨯⨯-=>，1483
t t +=，
把1222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2211x y -+=，
得2
2121122t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20t t +=， 则210∆=>，231t t +=-，
所以()()()21432314811133
PQ RS t t t t t t t t -=---=+-+=+=. 23.解：（1）当1a =时，不等式()2f x ≥等价于不等式1212x x -+-≥， 当12x <
时，不等式可化为1122x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤， 当112
x ≤≤时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得2x ≥，这种情况无解. 当1x >时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得43x ≥，所以43
x ≥. 综上，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
. （2）证明：()21f x x a x =-+-122x a x =-+-
12a x x ≥-+-1122a x x a ≥-+-≥-. 所以不等式得证.。