2020年高考模拟试卷广西南宁市高考(理科)数学一模测试试卷 含解析

2020年高考数学一模试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）
A．B．C．D．
3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）
A．20B．15C．10D．25
5．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．
6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
7．函数的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）
A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？
10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，
若，则△AF2B的面积为（）
A．B．C．D．4
11．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）
C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）
12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：
①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；
③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．
其中所有正确结论的编号是（）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．
14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）求样本平均数的大小；
（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．
（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．
19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；
（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．
20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．
21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．
（1）求r的取值范围；
（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．
（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；
（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知正实数a，b满足a+b＝4．
（1）求+的最小值．
（2）证明：．
参考答案
一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，
∴A∩B＝{0，1，2}．
故选：D．
2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）
A．B．C．D．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．
解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，
得z＝，
∴|z|＝．
故选：D．
3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的性质直接求解．
解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，
根据方差公式知方差不变．
故选：A．
4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）
A．20B．15C．10D．25
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得展开式中x6的系数，再根据展开式中x6的系数为150，求得a2的值．
解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，
故选：C．
5．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．
【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3＝0，变形解可得q的值，由等比数列的前n项和公式可得S4＝＝40a1＝，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．
解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，
若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，
解可得q＝3或，
又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，
若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，
则a4＝a1q3＝9，
故选：A．
6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝3与点（1，a+b）在切线y＝3x﹣2上，联立求得a，b的值，则答案可求．
解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，
∴，解得．
则a﹣b＝3．
故选：B．
7．函数的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，利用排除法分析可得答案．
解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，
又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；
在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，
故选：A．
8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD 所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．
解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，
通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，
设AD＝2，则EF＝＝，
同理可得EG＝，又FG＝＝，
∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，
∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．
故选：C．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）
A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框内的条件．解：模拟程序的运行，可得
k＝1，S＝0
k＝2，S＝0+＝，
满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，
满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝
由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．
故则①处应填写k≤3？
故选：B．
10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）
A．B．C．D．4
【分析】由题意画出图形，可得四边形AF1BF2是平行四边形，利用双曲线定义及余弦定理求解△AF1F2的面积，再由对称性可得△AF2B的面积．
解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，
∴，，
设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，
又|r1﹣r2|＝2a，故．
∴．
则△AF2B的面积为．
故选：D．
11．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）
C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）
【分析】判断函数f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；
再把不等式f（lgx）＞3化为0＜|lgx|＜1，求出解集即可．
解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
且在（0，+∞）上是单调递减函数；
又f（1）＝log22+＝3，
所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，
即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，
解得＜x＜10，且x≠1；
所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．
故选：D．
12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：
①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；
③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．
其中所有正确结论的编号是（）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
【分析】由函数f（x）在区间（π，2π）内没有最值，列不等式求出ω的取值范围，再结合函数的单调性与ω的取值范围判断题目中的命题是否正确．
解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，
则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，
或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；
解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；
又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；
令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；
当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，
所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；
综上知，所有正确结论的编号是②④．
故选：A．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【分析】推导出＝1，从而＝＝1，进而＝﹣，由此能求出向量与的夹角．
解：∵两个单位向量满足|+|＝||，
∴＝1，＝＝1，
解得＝﹣1，∴＝﹣，
∴cos＜＞＝﹣，
∴向量与的夹角为．
故答案为：．
14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．
解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．
则＝＝＝＝18．
故答案为：18．
15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【分析】设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，利用椭圆的定义，在△ABF2中，，在△AF1F2中，利用余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，
得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，
又在△AF1F2中，，得，
故离心率，
故答案为：．
16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・
【分析】连结D1A，AC，D1C，推导出EF∥平面ACD1，EG∥平面ACD1，从而平面EFG∥平面ACD1，推导出点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，由此能求出当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，并能求出最小值．
解：如图，连结D1A，AC，D1C，
∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，
∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1，
∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，
∴EG∥平面ACD1，
∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，
∵D1P∥平面EFG，
∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，
＝＝，
∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60
分.
17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）求样本平均数的大小；
（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．
【分析】（1）利用频率分布直方图能求出样本平均数的大小．
（2）分别求出＝96.5，＝36.5，100＞96.5，从而该零件属于“不合格”的零件．
解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×
0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．
（2）＝66.5+30＝96.5，
＝66.5﹣30＝36.5，
100＞96.5，
∴该零件属于“不合格”的零件．
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．
（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．
【分析】（1）根据题意，判断出AC⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz，求出平面ABB1与平面CBB1的法向量，利用夹角公式求出即可．
【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，
因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，
又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，
因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；
（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，
所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．
设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），
由，，得
令x＝1，得．
又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，
由，
所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．
19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；
（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．解：（1）由于b＝1，A＝，
所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，
利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，
整理得，
解得．
（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，
当a＝b时，最大值为，
由于，所以△ABC为等边三角形．
利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，
所以a+4b＝8，利用基本不等式，
解得ab≤4，
即a＝4b时，，
解得b＝1，a＝4，
所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，
解得c＝
所以．
20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．
【分析】（1）利用函数导数，结合二次函数图象和性质，判断即可；
（2）由（1）的单调性，对m进行分类讨论，判断函数f（x）的最小值，求出m．解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，
当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，
当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，
当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；
（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；
当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f （m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；
当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；
所以m＝﹣4．
21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．
（1）求r的取值范围；
（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．
【分析】（1）联立抛物线方程和圆方程，运用判别式为0和韦达定理，解不等式可得所求范围；
（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，运用韦达定理，抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），
求得面积S的解析式，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），求得导数，以及最值时t的值，可设P（m，0），再由P，A，D三点共线的条件，解方程可得m的值，即可得到所求坐标．
解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，
解得2＜r＜3；
（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，
可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，
由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），
则S＝（|AB|+|CD|）•（x2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2
•
＝2•，可令t＝∈（0，1），
设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），
f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），
当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，
可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，
由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得
＝，
解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，
所以P的坐标为（﹣，0）．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．
（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；
（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．
【分析】（1）直接利用直线和圆的位置关系式的应用及参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出a的值．
（2）利用极径和三角函数关系式的恒等变换及三角函数的性质的应用求出结果．
解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．
由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，
所以圆心坐标满足直线的方程，
所以a+1﹣2＝0，
解得：a＝1，
所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．
圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．
（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，
则ρ1＝2sinα+2cosα，
用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．
由于l1⊥l2，
所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，
故三角形面积的最大值为2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知正实数a，b满足a+b＝4．
（1）求+的最小值．
（2）证明：．
【分析】（1）由已知可得，+＝（+）（a+b），展开后利用基本不等式可求；
（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+
（）2即可证明．
解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，
∴+＝（+）（a+b）＝＝，
当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；
（2）证明：∵a+b＝4，
∴＝＝1，
∴，
∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。