高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第十章统计与统计案例10-3Word版含答案

真题操练集训
1．为认识某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机检查了该社区 5 户家庭，获得以下统计数据表：
收入 x(万元)8.28.610.011.311.9
支出 y(万元) 6.27.58.08.59.8
依据上表可得回归直线方程^＝^＋^
，此中
^
＝ 0.76 ，^＝
－
－^. 据此预计，该社区一
y bx a b a y b x
户年收入为15 万元家庭的年支出为()
A．11.4万元 B ． 11.8万元
C．12.0万元 D ． 12.2万元
答案： B
分析：由题意知，
8.2 ＋ 8.6 ＋ 10.0 ＋ 11.3 ＋ 11.9
x ＝＝ 10，
5
6.2 ＋
7.5 ＋
8.0＋ 8.5 ＋
9.8
y ＝5＝ 8，
^
×10＝ 0.4 ，
∴a＝8－0.76
^
×15＋ 0.4＝ 11.8(万元)．
∴当 x＝15时， y＝0.76
2．以下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量( 单位：亿吨 ) 的折线图．
注：年份代码1－ 7 分别对应年份2008－2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；
(2)成立 y 对于 t 的回归方程(系数精准到0.01) ，展望 2016 年我国生活垃圾无害化办理量．
77
72
附注：参照数据：y＝9.32，t y＝ 40.17,y － y＝0.55， 7≈2.646.
i i i
i ＝1i
i ＝1i ＝1
n
t i－ t y i－ y
i＝ 1 参照公式：有关系数 r ＝
^^ ^
，回归方程 y＝ bt ＋ a中斜率
n n
t i－ t2y i－ y2 i ＝ 1i ＝ 1
n
t i－ t y i－ y
^i ＝ 1
^^
和截距的最小二乘预计公式分别为＝，＝y－.
b a b t
n
2
t i－ t
i＝ 1
解： (1) 由折线图中数据和附注中参照数据，得
77
t ＝4，( t i－t ) 2＝ 28，y i－ y2＝0.55 ，
i ＝1i ＝ 1
777 2.89
( t i－t)( y i－y ) ＝t i y i－t y i＝40.17－4×9.32 ＝ 2.89 ，r≈
×2×2.646
i ＝ 1i ＝ 1i ＝ 10.55
≈0.99.
因为 y 与 t 的有关系数近似为0.99 ，说明y与t的线性有关程度相当高，进而能够用线
性回归模型拟合y 与 t 的关系．
9.32
(2) 由y＝7≈1.331及(1)，得
7
i
＝ 1t i－ t y i－ y
2.89
^
b＝
7
2＝
28≈0.103 ，
t i－ t
i ＝1
^^
×4≈0.92. a＝ y － b t ≈1.331－0.103
所以，
y 对于
t
的回归方程为
^
＝ 0.92＋ 0.10
t
.
y
将 2016年对应的 t ＝9代入回归方程，得
^
＋0.10 ×9＝ 1.82.
y＝0.92
所以展望 2016 年我国生活垃圾无害化办理量约为1.82亿吨．
3．某企业为确立下一年度投入某种产品的宣传费，需认识年宣传费x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年收益 z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量 y i( i ＝ 1,2 ，， 8) 数据作了初步办理，获得下边的散点图及一些统计量的值．
8
8
8
8
( x
i
( w
( x －
( w －
i
i
i
x
y
w
i ＝ 1 i ＝ 1 i ＝1
i ＝ 1
－ x ) 2 － w ) 2
x )( y i － y )
w )( y i － y )
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中
i
＝
x i
，
w
＝ 1 8
x i
.
w
8
i ＝ 1
(1) 依据散点图判断， y ＝ a ＋ bx 与 y ＝ c ＋d x 哪一个适合作为年销售量
y 对于年宣传费 x
的回归方程种类？ ( 给出判断即可，不用说明原因
)
(2) 依据 (1) 的判断结果及表中数据，成立 y 对于 x 的回归方程．
(3) 已知这类产品的年收益 z 与 x ，y 的关系为 z ＝0.2 y － x . 依据 (2) 的结果回答以下问题：①年宣传费 x ＝ 49 时，年销售量及年收益的预告值是多少？
②年宣传费 x 为什么值时，年收益的预告值最大？
附：对于一组数据 ( u ， v ) ， ( u ， v ) ， ， ( u ，v ) ，其回归直线 v ＝ α ＋β u 的斜率和
1 12
2 nn
n
u i － u
v i － v
i ＝ 1
^ ^
截距的最小二乘预计分别为 ^
β ＝
，α ＝ v － β u .
n
2
u i － u
i ＝1
解： (1)
由散点图能够判断，
y ＝c ＋ d x 适合作为年销售量
y
对于年宣传费
x 的回归方程
种类．
(2) 令 w ＝ x ，先成立
y 对于 w 的线性回归方程．
8
w i － w
y i －
y
i ＝ 1
^
108.8
因为 d ＝
8
＝ 1.6 ＝68，
w i － w
2
i ＝ 1
^^
，c＝ y－ d w ＝563－68×6.8＝100.6
所以
y 对于
w
的线性回归方程为
^
＝ 100.6 ＋ 68，
y w
所以 y对于 x
^
＋ 68 x.的回归方程为 y＝100.6
(3)①由 (2) 知，当x＝49 时，
年销售量 y
^
49＝ 576.6 ，年收益
^
的预告值 y＝100.6＋68z 的预告值 z＝576.6×0.2－49
＝ 66.32.
②依据 (2)的结果知，年收益z 的预告值
^
＋ 68 x) －x＝－x＋ 13.6x＋20.12.
z＝0.2(100.6
所以当
x ＝13.6＝ 6.8 ，即＝ 46.24时，
^
获得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年2x z
收益的预告值最大．
4．某地域 2007 年至 2013 年乡村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数
据以下表：
年份2007200820092010201120122013年份代号 t1234567人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求 y 对于 t 的线性回归方程；
(2)利用 (1) 中的回归方程，剖析 2007 年至 2013 年该地域乡村居民家庭人均纯收入的变化状况，并展望该地域 2015 年乡村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：
n
t i－ t y i－ y
i＝ 1 ^
b＝
^
， a＝
^
y － b t.
n
2
t i－ t
i＝1
解： (1) 由所给数据计算得
1
t＝7×(1 ＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＋7) ＝ 4，1
y ＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，7
7
( t i－t ) 2＝9＋ 4＋ 1＋0＋ 1＋4＋ 9＝ 28，
i＝ 1
7
( t i－t)( y i－y ) ＝ ( －3) ×( － 1.4) ＋ ( －2) ×( － 1) ＋ ( －1) ×( － 0.7) ＋0×0.1 ＋i＝ 1
1×0.5 ＋2×0.9 ＋3×1.6 ＝14，
7
t i－ t y i－ y
^i ＝ 114
b＝
＝28＝0.5 ，
7
t i－ t2
i ＝1
^^
a＝y － bt
＝ 4.3－0.5 ×4＝ 2.3.
^
所求回归方程为y＝0.5 t ＋2.3.
^
(2) 由 (1) 知，b＝ 0.5>0 ，故 2007 年至 2013 年该地域乡村居民家庭人均纯收入逐年增添，
均匀每年增添0.5 千元．
将 2015 年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得
^
y＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故展望该地域2015年乡村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．
课外拓展阅读
统计事例问题的规范答题
某工厂有25 周岁以上 ( 含 25 周岁 ) 工人 300 名，25 周岁以下工人200 名．为研究工人
的日均匀生产量能否与年纪有关，现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100 名工人，先统计
了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25周岁以上(含25周岁)”和“ 25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组：分别加以统计，获得以下图
的频次散布直方图．
(1) 从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“ 25周岁以下组”工人的概率；
(2) 规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成2×2列联表，并判断能否有90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组有关”？
P( K2≥ k0)0.1000.0500.0100.001
k0 2.706 3.841 6.63510.828
n ad－ bc 2
附： K2＝
a＋b b＋ d .
c＋ d a＋ c
由频次散布直方图列举基本领件，联合古典概型，求概率．利用独立性查验公式计算
K2.
(1) 由已知得，样本中有25 周岁以上组工人60 名， 25周岁以下组工人40 名．所以，样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中，25 周岁以上组工人有60×0.05 ＝ 3( 人) ，记为A1，A2， A3；25周岁以下组工人有40×0.05 ＝ 2( 人 ) ，记为B1， B2.
从中随机抽取 2 名工人，全部的可能结果共有10 种，它们是 ( A1，A2) ，( A1，A3) ，( A2，A3) ，( A1，B1) ，
( A1，B2) ， ( A2，B1 ) ，( A2，B2) ， ( A3，B1) ， ( A3，B2) ， ( B1，B2) ．
此中，起码有 1 名“ 25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是 ( A1，B1) ， ( A1，B2)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A3， B1)，( A3，B2)，( B1， B2)．
7
故所求的概率P＝10.
(2) 由频次散布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产好手有
60×0.25 ＝ 15( 人) ，“ 25周岁以下组”中的生产好手有40×0.375 ＝ 15( 人 ) ，据此可得 2×2列联表以下：
生产好手非生产好手总计25周岁以上组154560
25周岁以下组152540
总计3070100 2
n ad－ bc 2
所以 K＝a＋ b c＋d a＋c b＋d
－225
＝60×40×30×70＝14≈1.79.
因为 1.79<2.706 ，所以没有90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组有关”．第 1 步：由分层抽样计算两组工人的数量；
第 2 步：由频次散布直方图计算两组不足
60 件的人数；
第 3 步：列举 5 人抽取 2 人的基本领件数；第 4 步，由古典概型计算概率；
第 5 步：统计生产好手与非生产好手，列
2×2列联表；
第 6 步：由公式计算 K 2 ，确立答案．概括总结
100 1
1 1
(1) 分层抽样比为 500＝
5
，故
25 周岁以上有
300× 5＝ 60( 人) ， 25 周岁以下的 200× 5＝
40( 人 ) ，而后再依据频次计算“不足
60 件”的人数，并设定符号．
(2) 列 2×2列联表时，此中的数字应先由频次散布直方图算出后再列表．。