高考数学第06周平面向量周末培优试题理新人教A版(2021学年)

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第0６周 平面向量
（测试时间:5０分钟,总分：80分)
班级：＿__＿＿_____＿＿ 姓名:___＿___＿＿___ 座号:_＿＿__＿＿_____ 得分：
_____＿__＿___
一、选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的） 1.已知向量()(
)
1,3,3,k ==a b ，若∥a b ，则k =
A.1- ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩB ．1 C.3- ﻩﻩﻩ ﻩﻩＤ．3
【答案】D
【解析】∵()(
)
1,3,3,k ==
a b ，∥a b ，1330k ∴⨯-⨯=，3k ∴=,故选D 。

2.已知平面向量()()()1,,2,5,,0m m ===a b c ,且()+a c ⊥()-a b ,则m = Ａ．310+ ﻩﻩ ﻩ Ｂ．310- C.310± ﻩ
Ｄ．310-±
【答案】C
【名师点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式,一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用。

利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 3.已知向量,a b 的夹角为60°,且2227=-=||,||a a b ||=b Ａ．2
ﻩ ﻩﻩB ．−2
Ｃ．3 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩD ．−3 【答案】C
【解析】∵227-=||a b ，()2
228∴-=a b ,即224cos604||28-+=b a a b ，
21
442|4|282
∴-⨯⨯+=b b ，即260--=b b ，解得3=b (负值舍去）。

本题选择Ｃ选项.
4．已知非零向量,a b 满足||=3||a b ,a 在b 方向上的投影是3
||2
-b ,则a 与b 的夹角是
Ａ．2π3 ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ B.π3
C ．5π6 ﻩ ﻩＤ.π6
【答案】Ｃ
【解析】设a 与b 的夹角为θ.由题意可得:a 在b 方向上的投影为3
cos ||2
θ⨯=-a b ,即
33cos ,2⨯=-θb b 3cos 2
∴=-θ，则a 与b 的夹角θ是5π6。

本题选择C 选项．
５.在ABC △上,点D 满足2AD AB AC =-，则
Ａ.点D 不在直线BC 上 ﻩﻩﻩ B.点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 ﻩﻩﻩ D.点D 在CB 的延长线上
【答案】Ｄ
【解析】根据题意2AD AB AC AD AB AB AC BD CB =-⇒-=-⇒=，故点D 在CB 的延长线上，故选D 。

6．如图,已知AB =a ，AC =b ,3DC BD =,2AE EC =，则DE =
Ａ．3143
-b a ﻩ ﻩ
ﻩＢ．
53
124
-a b C ．3143-a b ﻩ ﻩﻩ ﻩ Ｄ.53124
-b a
【答案】D
7．如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=
A ．32
ﻩﻩﻩ B ．32
-
C.34
ﻩ
ﻩ D.34
-
【答案】A
【解析】连接HF ，取HF 中点O ,连接OE ，O Ｇ，易知四边形ＥF ＧH 为平行四边形，O 为HF 中
点。

则
2
2
2
13
124
EF FG EF EH EO OH ⎛⎫⋅=⋅=-=-=
⎪⎝⎭，
GH HE GH GF ⋅=⋅=2
2
2
112GO OH ⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
34=,因此3
2
EF FG GH HE ⋅+⋅=,选A 。

８.已知,a b 是单位向量,,a b 的夹角为90,若向量c 满足2--=c a b ,则||c 的最大值为 A ．22ﻩ ﻩﻩ Ｂ2 Ｃ．２
ﻩ ﻩ ﻩＤ.22+
【答案】D
二、填空题(本题共６小题，每小题5分，共3０分)
9．已知向量()()2,1,3,x =-=a b ,若·
3=a b ,则x =_＿_______. 【答案】3
【解析】由平面向量的数量积定义可得:233x ⋅=⨯-=a b ，解得:3x =. 10.设向量a ，b 满足10+=a b ，6-=a b ,则⋅a b ＝_＿___＿＿__.
【答案】1
【解析】∵22210+=++⋅=a b a b a b ,2226-=+-⋅=a b a b a b ，两式平方后相减可得:
44⋅=a b ，解得1⋅=a b ，故答案为1。

1１.已知向量()()3,0,2,1,==-⊥a b b c ，且t =+a b c ,则t =＿_＿__＿___。

【答案】6
5
-
【解析】因为()2,1,=-⊥b b c ,所以可设(),2x x =c ,由t =+a b c 可得2+3
20
t x t x -=⎧⎨+=⎩，求解可得
36,55x t ==-,故答案为65
-。

12.已知向量()(),,1,2m n ==-a b ,若25,(0)λλ==<a a b ,则m n -=__＿＿___＿＿。

【答案】6-
【解析】因为()1,2=-，b 所以()1,2==-λλa b ，则525λ==a ，所以2λ=-，则平面向量()2,4,=-a 又因为向量(),m n =a ，所以2,4m n =-=，则6m n -=-。

1３.已知点在直线上，点的坐标为,为坐标原点,且,则＿＿＿_＿＿
＿__。

【答案】
【解析】设点的坐标为
,则,故，则,故
.
1４.已知向量AB 与AC 的夹角为120，且3,2,AB AC ==若,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实
数λ的值为____＿____。

【答案】
712
三、解答题(本大题共1小题，共1０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知向量()2sin ,1=θa ，()2cos ,1=-θb ，其中π0,2⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
θ。

(1)若⊥a b ,求角θ的大小； (2）若2-=a b b ,求tan θ的值。

【答案】（１)π12=
θ或5π
12
=θ;(2）tan 3θ=．
(2)由题得()2sin 2cos ,2-=-θθa b ,
由2-=a b b ,得()2
24-=a b b ,即()2
24sin cos 416cos 4θθθ-+=+， 整理得22sin 2sin cos 3cos 0θθθθ--=，
所以cos 0θ≠,等式两边同时除以2cos θ得,2tan 2tan 30θθ--=，即()()tan 3tan 10θθ-+=， 解得tan 3θ=或tan 1θ=-,
所以tan 3θ=.
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