数学物理方程与特征函数-07

u(x,0) t

af1( x)

af 2( x)

(x)
f1 ( x)

1 (x)
2

1 2a
x

(
)d

C
0
2
f1(x)
f2 (x)

1 a
x
( )d C
0
f2 (x)

1 (x)
2

1 2a
x

( )d

C
0
2
u 1 (x at) 1
y 0, x
x 2u 0
u f1( ) f2 () f1( y 3x) f2 ( y x)
u(x,0) ex2 f1(3x) f2 (x)
பைடு நூலகம்
u ( x,0) y
0
f1(3x)
f 2( x)
1 2
(x

at)
(x

at)
1 2a

xat
( )d
0

xat

0
(
)d

1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
2u

t
2

u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
d2U (,

dt 2
U (,0)
t) a2 2U (,t), (), dU (,0)
dt
(),
U(,t) Acosat Bsin at
t
()
0 cos
at

f(x ) F
x
f()d
0
() sin at
驻波法
u=V(x,t)+W(x,t)
齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程
非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程
非齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程 非齐次边界条件
如果方程和边界条件的非齐次项和t无关 u=V(x,t)+W(x)
非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程
非齐次边界条件非齐次方程
2u

t
1
e e ( xat)2
( xat )2
2
2
e( xat)2
2u
2u
2u
(A B) AB 0
x 2
xy
y 2
u u u A u B u x x x
y Ax y Bx
xat

(
)d

C

1
(x

at)

1
xat

(
)d

C
2
2a 0
22
2a 0
2
1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat 一维波动方程的达朗贝尔公式
2u

t
2

u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
f1(2x) (x) f2 (0)
f1(x) (x / 2) f2(0)
u
(x t)
2

f2 (0)
(x t)
2
f1(0)
u(0,0) f1(0) f2(0) (0)
u ( x t ) ( x t ) (0)
2
2
积分变换法
1
x a t
1
x a t
x t
x t
2u





u



0
u f ( )
u f1( ) f2 ()
1 1 2 x a t
()e F ()
j
j

() e jat e jat () e jat e jat
a
2
a
2j
1 ()ejat ()ejat 2

1 2a
()

j
e jat
() j
e jat

u(x,t)
2

u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t

(x),
2u x 2

1 a2

2u t 2

0

2 x 2

1 a2

2 t 2
u

0
x ,t 0
x
x at x at
右行波 左行波
2u

t
2

u(x,0)
a2
2u x2 , ex2 , u
(
x,0)

2axe x 2
,

t
x ,t 0 x
u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
2u 0

2u a2 2u 0
x 2
y 2
y2 a2x2 0
02 41 (a2 ) 4a2 0 双曲型方程
2u 2u 0 x2 y 2
u a 2 2u
t
x 2
y2 x2 0
02 411 0 椭圆型方程
F() exp( ja)
f (t)
时域微分
f (t)
pF( p) f (0) p2F ( p) pf (0) f (0)
jF () 2F ()
时域卷积
f1(t) f2 (t)
F1( p)F2 ( p)
F1()F2 ()
频域微分
tf (t)
dF ( p) dp
u f1(x at) f2 (x at)
2u

t
2

u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t

(x),
x ,t 0 x
u f1(x at) f2 (x at)
u(x,0) f1(x) f2 (x) (x)

1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
f2 (x)

3 ex2 4

3C 4
f1 (3x)

3 ex2 4

3C 4
f1 ( x)

3 4
ex2 /9

3 4
C
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C 3 ey3x2 3 eyx2
1 e(xat)2 e(xat)2 1 xat2ae 2 d
2
2a xat
1
e e ( xat)2
( xat )2
1
e d xat 2
2
2
2 xat
1
e e ( xat)2
( xat )2

(A
B)
2u

B
2u 2
2u x 2

(
A

B)
2u xy

AB

2u y 2
A2 2u 2AB 2u B2 2u
2
2

(
A

B)

A
2u
2
(A B) 2u


B
2u
2


AB

2u
2
2 2u


2u
2

(A B)2
2u
2u
2u
2u
(A B) AB 0
x 2
xy
y 2
y Ax y Bx
y2 (A B)xy ABx2 y Axy Bx b2 4ac A B2 4AB A B2 0
x t
2
2a


2

1



2
u

0
x a t
x t
x t

x

1 a

t

x

1 a

t
u

0
1 1 2 x a t

dF ()
d j
积分限不同
一个需要零点、一个不需要
2u

t
2

u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t

(x),
x ,t 0 x
f(x) F() f ( x) jF() f ( x) 2F ()
4
44
44
4
2u x 2

2u xy

2
2u y 2

0,
u(0, y)

1 u(0, y) y2 1, x

0,
x 0, y y
y2 xy 2x2 ( y x)(y 2x)
2u
y x y 2x
0

u f1( ) f2() f1( y x) f2( y 2x)
u(0, y)

1 y2 1

f1( y)
f2 ( y)
u(0, x
y)

0


f1( y)

2
f2( y)
f1( y) 2 f2( y) C
f1(x)
3
2 y2 1
t x t,t 0 x0 x0
u f1(x t) f2(x t)
(0) (0)
u(x,x) f1(0) f2(2x) (x)
u(x, x) f1(2x) f2(0) (x)
f2 (2x) (x) f1(0)
f2(x) (x / 2) f1(0)
2u x2




A
u


B
u



x




A
u


B
u



x

A2
2u 2
2 AB 2u
B2
2u 2
u u u u u y y y
2u y2
p j
尺度变换性 时移性
拉普拉斯变换
傅里叶变换

F ( p) 0 f (t) exp( pt)dt

F () f (t) exp( jt)dt
f (t)
F( p)
F ()
f (at)
1 F( p) aa
1 F() aa
f (t a)
F( p)exp(ap)
t

(x),
x ,t 0 x
u f1(x at) f2 (x at)
1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
行波法
f1(x) f2 (x) f (x)
f (x at) f (x at)




u


u



y




u


u



y

2u 2
2
2u

2u 2
2u xy




A u


B
u



y




A
u


B
u



y
A
2u 2
C 3
f2(x)
3
1 y2 1

C 3
u

f1( y
x)
f2( y 2x)
2
3y x2
3
C 3

1
3y 2x2
3
C 3

3 y

2
x2

3

3 y

1
2x2

3
u(2txu2,x)x2u2, (x), u(x, x) (x),
t

(x),
x ,t 0 x
y2 0
02 41 0 0 抛物型方程
2u x 2

2
2u xy

3 2u y 2

0,
u(x,0)

ex2
,
u(x,0)

0,

y
y2 2xy 3x2 ( y 3x)(y x)
y 3x y x
分离变量法
求解有界域偏微分方程
方程
齐次 非齐次 非齐次 非齐次
波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程
一维的、二维的、三维的
直角坐标系、极坐标系、球坐标系
边界条件 齐次
齐次
标准形式、非标准形式
齐次
非齐次
第一类、第二类、第三类
初始条件 非齐次
齐次
非齐次
非齐次
对拉普拉斯方程来说指另一个边界条件
解法
分离变量法 特征函数法 特征函数法 u=V(x,t)+W(x,t)