辽宁省沈阳市辽宁高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

辽宁省沈阳市辽宁高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知是坐标原点，点，若为平面区域
上的一个动点，则的取值范围是（）
A B
C D
参考答案：
A
2. 设，则
A. B.
C. D.
参考答案：
C
，，所以，所以，选C.
3. 已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG是边长为2 的等边三角形，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据正三角形的边长，确定三角函数的A和ω，即可求出函数f（x），g（x）的解析式，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．
【解答】解：∵△EF G是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
4. 函数的值域为 ( ）
A． B． C． D．参考答案：
A
5. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数
的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间
为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
【答案解析】D解析：因为=，由图象与轴的两个相邻交点的距离等于，所以其最小正周期为π，则，所以，对于A,B,C,D四个选项
对应的2x的范围分别是，所以应选D.
【思路点拨】研究与三角相关的函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答.
6. △ABC中，若，，则=
A．B．C．D．
参考答案：
B
7. 设函数f（）＝sin（2＋），则下列结论正确的是（）
A．f（）的图像关于直线＝对称
B．f（）的图像关于点（，0）对称
C．f（）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
D．把f（）的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像
参考答案：
D
8. 三棱锥的底面是边长为2的正三角形，顶点在底面的射影为的中点，若该三棱锥的体积为1，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为
（） ks5u
A. ；
B. ；
C. ；
D.
参考答案：
A
略
10. 函数的图像大致是( )
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，，则与的夹角
为
参考答案：
（或）
12. 已知向量共线，则t=
▲
.
参考答案：
1
13. 在中，
则角C= 。

参考答案：
略
14. 已知函数
在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是_____．
参考答案：
[-1,1]
15. 已知函数
，若函数
有4个零点，则
实数的取值范围是 ．
参考答案：
16. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，
水面宽 米.
参考答案：
.
设水面与桥的一个交点为A ，如图
建立直角坐标系则，A 的坐标为
（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A 得
，设水位下降1米后水面与桥的交点
坐标为
，则
，所以水面宽度为
.
17. 曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。

参考答案：
解析：即
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列满足：.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
参考答案：
解：（1）设的首项为，公差为，
则由得…………2分
解得…………4分
所以的通项公式…………6分
（2）由得. …………8分
…10分
. …………12分
19. （12分）已知的角所对的边分别是，设向量，
，.
（1）若∥，求角B的大小；（2）若，边长，求的面积的最大值．
参考答案：
（1）∵∥
，
（2）由得，
由均值不等式有（当且仅当时等号成立），
又,
所以,从而（当且仅当时等号成立），
于是，
即当时，的面积有最大值．
20. 已知函数．
（1）若f(x)＝0，，求x的值；
（2）将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线对称，求函
数h(x)在上的值域．
参考答案：
（2分）
（1）由，即，
又，或0或。

（6分）
（2）由题知，（8分）
则=（10分）
，故函数的值域为（12分）
21. 设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．
参考答案：
考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．
专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．
解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；
当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；
当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．
故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．
（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
当且仅当a=b=c=时，等号成立．
此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．
22. 选修4－5：不等式选讲
已知，．
（1）求证：，；
（2）若，求证：．
参考答案：
证明：（I）∵，∴，即，…………（2分）
同理，∴，…………（4分）
∵，
∴；…………（5分）
（II），…………（8分）
∵，∴，
∴…………（10分）。