教师版-数列求和的方法 (1)

Sn
a1
na1 q 1
1 qn a1 anq
1 q
1 q
q
1
万能模板
内容
使用场景 等差，等比以及相关给定公式的数列
解题模板 第一步 结合所求 结论，寻找已知与未知的关系；
第二步 根据已知条件列方程求出未知量；
第三步 利用前 n 项和公式求和结果
1
知识点二：分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
第三步 构差式：即写出 Sn 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一
5
个式子，两式作差； 第四步 求和：根据差式的特征准确求和.
例
1、求数列
2 2
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
, 前
n
项的和.
【答案】 Sn
4
n2 2 n1
2n
1
【解析】由题可知，{ 2n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ 2n }的通项之积
万能模板
内容
使用场景项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合 ，可求得原数列的和.
班级：
专题：数列求和的方法
座号：
姓名：
2021 年 12 月 24 日周 五
知识点一：基本公式法
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用 等差、等比数列的前 n 项和的公式来求.
①等差数列求和公式：
Sn
n a1
2
an
na1
n
n 1
d 2
②等比数列求和公式：
第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；
第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和.
例 1、在数列{an}中， an
n 2
，又
bn
an
2 an1
，求数列{bn}的前 n 项的和.
3
【答案】 8n n 1
【解析】
an
n 2
∴
bn
2 n n1
8( 1 1 ) n n1
B．99
C．100
D．101
【答案】C
【解析】 an
1 n 1
n
n 1
n ，故
Sn a1 a2 a3 an 1 an 2 1 3 2 4 3 + n n 1 n 1 n n 1 1
又 Sn 101 1 n 100
知识点四：倒序相加法
类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 an ，与首末两项等距的两项
22
（裂项）
∴ 数列{bn}的前 n 项和
Sn
8[(1
1) (1 22
1) (1 33
1) (1
4
n
1 )] n 1
（裂项求和）
＝ 8(1 1 ) ＝ 8n n1 n 1
例 2、已知数列an 的通项公式 an
1 n 1
n ,且它的前 n 项和 Sn 101 1，则 n 的值
为（ ）
A．98
.
用推导等差数列前
n
项和的方法求
f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 2008 )
.
2009
2009
2009
【解答】1004
【解析】：
f (x)
4x 2 4x
，经计算，得
f
(x)
f (1
x)
1，
f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 2008 ) 1004 1 1004.
例 1、已知数列 an 3 4n1 1 ，求数列{an }的前 n 项和 S n .
解： an 3 4n1 1，
Sn 3(1 4 42 4n1) n 31 4n n
1 4 4n n 1
练习
1：求数列的前
n 项和：1 1,
1 a
4,
1 a2
7, ,
1 a n1
3n 2
设 Sn
2 2
4 22
6 23
2n 2n
…………………………………①
1 2
S
n
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得 (1
1 2
)
S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n1
（错位相减）
2
1 2 n1
2n 2 n1
∴
Sn
4
n2 2 n1
例 2、求和： Sn 1 3x 5x2 7 x3 (2n 1) xn1 ………………………①
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
（3）
1
nn
k
1 k
1 n
n
1
k
，
（4）
1
1 n k n ，特别地当 k 1时
1
n1 n
nk n k
n1 n
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内容
使用场景 通项公式可以裂项为两项之差的形式
解题模板 第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；
【解析】：由分析有，
Sn
(1
1 a
1 a2
1 a n1
)
(1
4
7
3n
2)
（分组）
当
a＝1 时， Sn
n
(3n 1)n 2
＝ (3n 1)n 2
（分组求和）
2
当 a 1时， Sn
1
1 an
1 1
(3n 1)n 2
a a1n
＝
a 1
(3n 1)n 2
a
练习 2：求数列 an 4n1 n 的前 n 项和 Sn ；
解：数列an 的前 n 项和
Sn
4n 1 3
n(n 1) 2
．
知识点三：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的通项分解，然后重 新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
（2）
an
(2n
之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。 这一种求和的方法称为倒序相加法.
4
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内容
使用场景 首项与末项相加为定值
解题模板 第一步 列出前 n 项和；
第二步 按倒序列出前 n 项和；
第三步 两式相加；
第四步 得出结果.
例
1、已知函数
f
(x)
2
4x 4x
n2
(x 1)
【答案】
Sn
1
2 1 xn [
2009
2009
2009
∴ S＝44.5
知识点五：错位相减法
类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列 对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
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内容
使用场景 等差数列和等比数列乘积的形式
解题模板
第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式；