初中数学竞赛专题复习第一篇代数第6章函数试题2新人教版

第6章 函数
6.3.35 ★★★ 已知点M 、N 的坐标分别为(0,1)M 、(0,1)N ,点P 是抛物线2
14
y x =
上一个动点．
（1）判断以点P 为圆心,PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系；
（2）设直线PM 与抛物线21
4
y x =的另一个交点为Q ,连结NP 、NQ ,求
证.PNM QNM ∠=∠．
解析（1）设点P 的坐标为2
001(,)
x x ,则
20114
PM x =+,
而点P 到直线1y =-的距离为 220011(1)144
x x --=+．
所以,以点P 为圆心,PM 为半径的圆与直线1y =-相切．
（2）过点P 、Q 分别作直线1y =-的垂线,垂足分别为H 、R ,由（1）知,PH PM =,同理可得,QM QR =．
因为,PH 、MN 、QR 都垂直于直线1y =-,所以,PH MN QR ∥∥,于是
QM MP
RN NH =
, 于是 QR PH
RN HN
=
, 所以,Rt Rt PHN QRN △∽△,于是HNP RNQ ∠=∠,从而 PNM QNM ∠=∠．
6.3. 36 ★★★ 已知抛物线21:34C y x x =--+和抛物线22:34C y x x =--相交于A 、B 两点,P 是在抛物线1C 上且位于A 和B 之间的一点,Q 是在抛物线2C 上且位于A 和B 之间的一点．
（1）求线段AB 的长；
（2）当PQ y ∥轴时,求PQ 长度的最大值． 解析（1）解方程组 22
34,34,y x x y x x ⎧=--+⎪
⎨=--⎪⎩
得112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 22
2,6,x y =⎧⎨=-⎩
所以,点A 、B 的坐标分别是(2,6)A -、(2,6)B -,于是
AB
（2）当PQ y ∥轴时,可设点P 、Q 的坐标分别为2(,34)P t t t --+、2(,34)Q t t t --, 22t -<<,
于是 22(4)8PQ t =-≤,
当0t =时等号成立．故PQ 的长的最大值为8．
6.3.37 ★★★★ 求使得不等式22x px q ++≤,当15x ≤≤时恒成立的实数对(,)p q ． 解析 令2()f x x px q =++）,此二次函数图象的对称轴为2
p
x =-,开口向上． （1）当12
p
-
≤时,有2(1)(5)2f f -≤<≤, 2,
2552,1 2.p p q p q ≥-⎧⎪
++≤⎨⎪++≥-⎩
①②③ 由②、③,得
3523p p --≤-．
于是,5p ≤-,这与式①矛盾．
（2）当132p
<-≤时,有
2()(5)22
p
f f -≤-<≤,
262,
4425+5 2. p q p
p q -≤<-⎧⎪-⎪≥⎨⎪
⎪+≤⎩
④-2,⑤⑥
由⑤、⑥,得
21
52324
p p --≤-．
于是220840p p ++≤,146p -≤≤-．
结合式④,得6p =-,从而7q =,即(6,7)-为所求的实数对．
（3）当352p
<-≤时,有
2()(1)22
p
f f -≤-<≤,
即2106,
42,41 2.p q p
p q -≤-⎧⎪-⎪≥-⎨⎪
⎪++≤⎩
⑦⑧⑨ 由⑧、⑨,得 28
14
p p -≤-,62p -≤≤, 与式⑦矛盾．
（4）当52
p
->时,有
2(5)(1)2f f -≤<≤, 即10,2552,1 2.p p q p q <-⎧⎪
++≥-⎨⎪++≤⎩
⑩⑾⑿
由○
11、○12,得 1527p p -≥--,即7p ≥-, 与式⑩矛盾．
综上得满足题设条件的数对为(6,7)-．
6.3.38 ★★★ 设a 是正整数．如果二次函数 22(223)107y x a x a =+++-
和反比例函数113a
y x
-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）,求a 的值和
对应的公共整点． 解析 联立方程组
22(223)107,113,y x a x a a
y x ⎧=+++-⎪
⎨-=⎪⎩
消去y 得
21132(223)107a
x a x a x
-+++-=, 即322(223)(107)3110x a x a x a +++-+-=,分解因式得
2
(21)(12)1130x x a x a ⎡⎤-+++-=⎣⎦．
①
如果两个函数的图象有公共整点,则方程①必有整数根,从而关于x 的一元二次方程 2(12)1130x a x a +++-= ②
必有整数根,所以一元二次方程②的判别式△应该是一个完全平方数,而 2(12)4(113)a a =+--△
2236100(18)224a a a =++=+-．
所以2(18)224a +-应该是一个完全平方数,设22(18)224a k +-=（其中k 为非负整数）,则 22(18)224a k +-=． 即
(18)(18)224a k a k +++-=．
显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同,且1818a k ++≥,而2241122564288=⨯=⨯=⨯, 所以
18112,182,a k a k ++=⎧⎨
+-=⎩或1856,184,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1828,
188,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩ 解得39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26,a k =⎧⎨=⎩
或0,0.a k =⎧⎨=⎩
而a 是正整数,所以只可能39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,
26.a k =⎧⎨=⎩
当39a =时,方程②即2511060x x +-=,它的两根分别为2和53-,易求得两个函数的图象有
公共整点(2,53)-和(53,2)-．
当12a =时,方程②即224250x x +-=,它的两根分别为1和25-,易求得两个函数的图象有公共整点（1,25）和（25．1）．
6.3.39 ★★★ （1）证明.若二次函数2y ax bx c =-+的值当10x =,21x =,32x =时均是整数,则对任何整数x 、y 的值也是整数；
（2）若对任何整数x ,2y ax bx c =++的值是整数,a 、b 、c 是否必是整数？ 解析（1）由条件,c 、a b c -+、42a b c -+都是整数,因此 ()a b a b c c -=-+-
与42(42)a b a b c c -=-+- 是整数,
2(42)2()a a b a b =---, 2(42)4()b a b a b =---． 也是整数．
当x 是偶数时,设2x k =,则
2242y ax bx c ak bk c =-+=-+,
因为2a 、2b 、k 、c 是整数,所以y 是整数． 当x 为奇数时,设21x k =+,则 2y ax bx c =-+
2(21)(21)a k b k c =+-++
2442()ak ak bk a b c =+-+-+ 仍是整数．
（2）因为0x =时y c =,故c 必是整数,但a 、b 不一定是整数．例如函数
2111
1(1)1222
y x x x x =++=++．
由于对任何整数x ,x 与1x +中必有一个是偶数,因此1
(1)2
x x +是整数,y 的值必是整数．但
这个函数的系数不全是整数．
6.3. 40 ★★★★ 给定二次三项式2()f x x ax b =++．已知方程(())0f f x =有四个不同实
根,且其中两个根的和等于1-．证明.1
4
b ≤-．
解析 我们用1c 、2c 12()c c ≥表示方程,()0f x =的根,1x 、2x 表示方程(())0f f x =的两个和
为1-的根．后一方程的根的集合等于方程1()f x c =与2()f x c =根的集合的并集．如果1x 、2
x
同时是这两个方程中的某一个的根,由韦达定理,1=．故121c c +=-．这推出21
2
c ≤-．再利
用方程2()f x c =的判别式非负,得21440b c -+≥,这推出1
4
b ≤-．
现在考虑另一种情况,不失一般性可写成2111x ax b c ++=,2
222x ax b c ++=．将它们相加得
22
121212()2x x a x x b c c ++++=+．
由韦达定理和已知条件得12c c a +=-,121x x +=-,故
22
21212111()()244b x x x x =-+≤-+=-．
6．4含绝对值的函数
6.4.1 ★ 作函数31y x x =-+-的图象． 解析 当1x <时,
(3)(1)24y x x x =-+-=-+； 当13x ≤<时,
(3)(1)2y x x =-+-=； 当3x ≥时,
(3)(1)24y x x x =-+-=-． 所以
24,1,2,1324, 3.x x y x x x -+<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩ 它的图象如图所示．
6.4.2 ★ 把一抛物线在x 轴上方的部分,改成它关于x 轴对称的图形,得到图中实线表示的曲线,则该曲线是下列函数（ ）的图象．
A ．21222y x x =--
B ．21
222y x x =-++
C ．21222y x x =-++
D ．21
222
y x x =---
解析 先按图象求出原抛物线所对应的二次函数,然后根据实数绝对值的意义找出实线所表示的曲线是哪一个函数的图象．
原抛物线的顶点为（2,4）,开口向下,原抛物线所对应的二次函数可写成 2(2)4y a x =-+,0a <．
图中实线部分过点(0,2)-,故原抛物线过(0,2),于是有244a =+,1
2
a =-．原抛物线对应的
二次函数是21
(2)42
y x =--+,
即
21
222
y x x =-++．
因此,实线部分是函数21
222y x x =--++的图象．选（ D ）．
6.4.3 ★ 作函数256y x x =-+的图象． 解析 当2x ≤或3时,560x x -+≥,于是 256y x x =-+；
当23x <<时,2560x x -+<,于是 2(56)y x x =--+. 所以
22
56,23,(56),23x x x x y x x x ⎧-+≤≥⎪=⎨--+<<⎪⎩
或 于是,得图象如图所示．
6.4.4★★★求下列函数的最小值1234()a a a a ≤≤≤. （1）12
()f x x a x a =-+-；
（2）123()f x x a x a x a =-+-+-； （3）1234()f x x a x a x a x a =-+-+-+-． 解析（1）按实数绝对值的意义
1211121222,
2,2,a a x x a a a a x a x a a x a +-<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪-->⎩
当时;当时;当时.
对121()2()g x a a x x a =+-≤）而言,()g x 的最小值为121()g a a a =-； 对122()2()h x x a a x a =--≥而言,()h x 的最小值为221()h a a a =-. 由此可见,当12a x a ≤≤时,()f x 取最小值21a a -.
（2）根据第（1）小题的结论,函数13x a x a -+-在13a x a ≤≤时取最小值31a a -；又函数2x a -显然在2x a =时取最小值0．
故123()f x x a x a x a =-+-+-在2x a =对取最小值31a a -．
（3）根据第（1）小题的结论,函数14x a x a -+-在14a x a ≤≤时取最小值41a a -；函数23x a x a -+-在14a x a ≤≤时取最小值41a a -；函数23x a x a -+-在23a x a ≤≤时取最小
值32a a -.注意到1234a a a a ≤≤≤,就知当23a x a ≤≤时
1234()f x x a x a x a x a =-+-+-+-取最小值4321a a a a +--.
评注 第（1）小题中,为了应用一次函数求最大（小）值的方法,把()f x 变成分段函数．如果把1x a -理解为数轴上点x 到点1a 的距离,那么不脱去绝对值号,也能分析得出,只有当点x 在点1a ,与2a 之间（包括1a 、2a ）时,才能使点x 点1a 和2a 的距离和（即()f x ）最小,其
最小值为1a 与2a 间的距离21a a -.通过第（2）,（3）小题的解答,我们容易把本例的结果推广到一般情况．即对n 个实常数12n a a a ≤≤≤…,求12()n f x x a x a x a =-+-+-…的最小值．
由于1a ,2a ,…,n a 中有些允许相等,因此,我们应该会求函数
1122()n n f x k x a k x a k x a =-+-++-…的最小值,这里1k ,2k ,…,n k 都是正整数.
6.4.5 ★★ 点(,)x y 满足方程 122x y -++=,
求它的图象所围成区域的面积．
解析 当1x ≥,2y ≥-时,122x y -++=,即1y x =-+． 当1x ≥,2y <-时,1(2)2x y --+=,即5y x =-． 当1x <,2y ≥-时,122x y -+++=,即1y x =-． 当1x <,2y <-时,1(2)2x y -+-+=,即3y x =--． 于是,所得图象如图所示．
由此可知,122x y -++=的图象是一个对角线长为4,
边长为,因此所求区
域面积为28=．
6.4.6 ★★★ m 是什么实数时,方程245x x m -+=有四个互不相等的实数根？ 解析1 将原方程变形为 2441x x m -+=-． 令2441y x x m =-+=-,则 244y x x =-+
2
2(2),0(2),
0x x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩当时当时
它的图象如图,而1y m =-是一条与x 轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根,即直线应与曲线有四个不同的交点,由图象可知,当014m <-<,即15m <<时,直线与曲线有四个不同的交点,所以,当15m <<时,方程245x x m -+=有四个互不相等的实数根．
评注 本题是一个方程问题,我们利用图形来研究,这是一种非常重要的思想方洼——数形结合法．当然,本题不用图象也是可以解的,下面给出解法,请读者比较一下． 解析2 原方程变形为 2(2)1x m -=-
所以21)x x -=≥
, 2x =±
12x =+
22x =-
32x =-
,42x =-+
要使这4个数互不相等,必须10m -≠,
且20>,即15m <<．
6.4.7 ★★★ 如果满足2||61610x x a ---=的实数x 恰有6个,求实数a 的值．
解析 本题先分段讨论脱去绝对号,再研究a 为何值时方程有6个实根,由于绝对号内套绝对号,则相当繁琐．注意到方程的实根个数就是函数 2||61610y x x =---
的图象与直线y-a 的公共点的个数,因此只要设法画出函数 2||61610y x x =--- 的图象．
为了作出函数2616y x x =--的图象,我们分两步,先作出函数2616y x x =--,即2(3)25y x =--的图象（图（1）中的实线）
．
(1)
(2)
接着将上述图象向下移动10个单位,并将x 轴下方的部分改成它关于z 轴对称的图形,这样就得到函数2||61610y x x =---图象（图（2））． 于是,由图应知与T 轴平行的直线中只有直线10y =与该函数图象有6个公共点． 故10a =．
6.4.8 ★★ 已知01k <<,试确定关于x 的方程21x kx k -=+的解的个数．
解析 先画出函数21y x =-,即21y x =-的图象,再画直线(01)y kx k k =+<<（如图）．注意到该直线经过定点(1,0)-,且在y 轴上的截距k 满足01k <<．
易见,直线(01)y kx k k =+<<与函数2
1y x =-图象的公共点有3个,故原方程有3个解．
6.4.9 ★★★ 若函数23y x =-与y x a =-的图象围成一个平面区域,求实数a 的取值范围及这个区域的面积．
解析 函数23y x =-可化为 26,3,26, 3.x x y x x -≥⎧=⎨-+<⎩
作出其图象（如图）．
若直线y x a =-和曲线23y x =-围成平面区域,则要使直线y x a =-与曲线23y x =-有两个交点．
故3a ->-,即3a <．
这时交点(6,62)A a a --）、662(
,)33
a a
B +-． 作AE x ⊥轴于点E ,BD x ⊥轴于点D ．则AB
C AEC BDC ABDE S S S S =--四形△△△边 162611626626(62)(63)(3)2332233a a a a a a a a -+-+⎛⎫⎛⎫=--+-+-----⋅⋅- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ 22
46(3)3
a a a =-+<． 6.4.10 ★★ 求使方程
1223x x x c ---+-= 恰好有两个解的所有实数c ．
解析 先作出1223y x x x =---+-的图象．由 1223y x x x =---+-
25,13,
227,232 5.
3x x x x x x x -+<⎧⎪
≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎪-≤⎩当时当1时当时当时 可得图象如图所示.
从图中可知,当且仅当13c <<或3c >时,y c =的图象与1223y x x x =---+-
有两个不同的交点．所以,所求的c 为13c <<或3c >．
评注 本题解答所用的方法是“数形结合法”,通过函数的图象,可以“直观”地解决问题．本题也可以通过分类讨论的方法解决,请读者自己试一试． 6.4.11 ★★★★ 设2()f x x px q =++,p 、q 为实数．若()f x 在11x -≤≤时的最大值为M ,求M 的最小值．
2
解析 当实数p 、q 在实数范围内变化时,()f x 在11x -≤≤时的最小值M 当然也在变化,要求在M 的这种变化中能达到的最小值．先借助绝对值不等式求出M 的下界．然后构造一个例子证实这个下界能够达到,从而判定这个下界即是所求的M 的最小值． 按M 的定义,
(1)1M f p q ≥-=-+, (1)1M f p q ≥=++, (0)M f q ≥=．
于是,
4112M p q p q q ≥-+++++ (1)(1)22p q p q q ≥-++++-=,
所以,12
M ≥
． 若取0p =,12q =-,则21()2f x x =-．212y x =-的图象如图所示,此时1
2
M =．
所以,M 的最小值是1
2
．
6.4.12 ★★★ 设函数()f x x x a =-,01x ≤≤的最大值是()g a ,求()g a 的解析式,并求出
()g a 的最小值．
解析 x a ≥时,2()f x x ax =-；x a <时,2()f x x ax =-+．
（1）当0a >,()f x 在2a x ≤内递增,在2
a
x a ≤≤内递减,在x a ≥内递增．
当12a
≥,即2a ≥时,最大值为(1)1f a =-； 当12a
a <≤,即1a ≤时,最大值为 2
()24
a a f =
； 当1a <时,最大值为2max ,(1)4a f ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭,即
2max ,14a a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭．
i ）当214a a >-
即21a <<时,最大值为2
4a ；
ii ）当214
a
a ≤-
即02a <≤时,最大值为1a -；
a =0a <0
（2）当0a =,()f x x x =,最大值为1．
（3）当0a <,()f x 在(0,)∞内递增,最大值为(1)1f a =-．
21,2(),
2241,2a a a g a a a a ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎩
当时,当时,当时
所以()g a
的最小值{
}{
}
min 2),(2)min 33g g ==-=-
（在2a =时取到）
评注 将绝对值符号去掉后,化为定区间动对称轴的二次函数最大值问题．()g a 是关于a 的一个分段函数,其最小值是各段的最小值之最小值．
6.4.13 ★★★★ 规定{}max ,a b 表示取a 、b 中的较大者,例如
{}max 0.1,20.1-=,{}max 2,2．
求函数{}
2()max 1,5f x x x =+-的最小值,并求当()f x 取最小值时自变量x 的值． 解析 ()f x 的含义是,对每一个实数x ,()f x 等于1x +与25x -中的较大者,因为1()1f x x =+与22()5f x x =-的图象都能很容易作出,而()y f x =的图象由1()y f x =的图象
及2()y f x =的图象中的上方部分组成．因此()y f x =）的图象也可画出．
在同一直角坐标系中分别画出1()1f x x =+与2
2()5f x x =-的图像（如图）．两图象有四个交点A 、B 、C 、D ,它们的横坐标可由方程215x x +=- 解得．去绝对值号,得251x x -=+ 或25(
1)x x -=-+,
解得13x =,2
2x =-,3x
,4x =．由图易见A 、B 、
C 、
D 的横坐标顺次是2-3．
按()f x 的定义,它的图象为图中的实线部分所示,点B 的纵坐标为函数()f x 的最小值,此最小值为(2)1f -=．
6.4. 14 ★★★★ 设函数()f x ,对任意正实数x ,(3)3()f x f x =,且
()12f x x =--,13x ≥≤．
求最小的实数x ,使得()(2004)f x f =．
解析 先用递推关系推出函数()f x 的解析式,然后再求解． 由已知条件得
1,
12,()3,2 3.x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
当36x ≤≤时,令3
x
t =,则12t ≤≤,此时()(3)3()3(1)3f x f t f t t x ===-=- 即得().3f x x =-,26x <≤． 当618x <≤时,令3
x
t =,则26t <≤,于是()(3)3()339f x f t f t t x ===-=- 以此类推可得
1,
12,3,26,9,618,27,1854,
()81,541162,243,162486,729,4861458,2187,
14584374,x x x x x x x x f x x x x x x x x x -≤≤⎧⎪
-<≤⎪⎪-<≤⎪⎪-<≤⎪=⎨
-<≤⎪
⎪-<≤⎪
⎪-<≤⎪
-<≤⎪⎩ 所以(2004)21872004183f =-=．
由于16281183-<,486243183->,而243162183-<,所以,最小的满足()(2004)f x f =的实数243183426x =+=． 6.5函数的最大值和最小值
6.5.1 ★★ 设a 是大于零的常数,且1a ≠,
1
(1)y ax x a
=+-,01x ≤≤．
求y 的最大值与最小值．
解析 11y a x a a ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．下面对一次项系数分两种情况讨论．
（1）当1a >时,10a a ->,于是函数11
()y a x a a
=-+的函数值是随着x 的增加而增加的,所以
当0x =时,y 取最小值1
a ；当1x =时,y 取最大值a ．
（2）当01a <<时,10a a -<,于是函数11
()y a x a a
=-+的函数值是随着x 的增加而减少的,
所以当0x =时,y 取最大值1
a
；当1x =时,y 取最小值a ．
6. 5.2 ★ 已知x 、y 、z 是非负实数,且满足条件 30x y z ++=,350x y z +-=．
求542u x y z =++的最大值和最小值．
解析 设条件给出两个方程,三个未知数x 、y 、z ,当然,x 、y 、z 的具体数值是不能求出的,但是,我们固定其中一个,不妨固定x ,那么y 、z 都可以用x 来表示,于是u 便是x 的函数了．
从已知条件可解得
402y x =-,10z x =-． 所以
542u x y z =++
54(402)2(10)x x x =+-+- 140x =-+．
又y 、z 均为非负实数,所以
4020,
100,x x -≤⎧⎨
-≥⎩
解得020x ≤≤．
由于140u x =-+是随着x 的增加而减小的,所以当10x =时,u 有最大值130；当20x =时,u 有最小值120．
6.5.3 ★★★ 实数x 、y 、z 、ω满足0x y z ω≥≥≥≥,且5436100x y z ω+++=,求
x y z ω+++的最大值和最小值．
解析 设z a ω=+,y a b ω=++,x a b c ω=+++,则a ,b ,0c ≥且 432x y z a b c ωω+++=+++．
所以1005()4()3()6a b c a b a ωωωω=+++++++++ 181295a b c ω=+++
4(432)(2)4()a b c b c x y z ωωω=++++++≥+++, 所以25x y z ω+++≤,
当25
3
x y z ===,0ω=时等号成立,故x y z ω+++的最大值为25．
又100181295a b c ω=+++
5(432)(23)5()a b c a b x y z ωωω=+++-++≤+++, 所以20x y z ω+++≥,
当20x =,0y z ω===时等号成立,所以x y z ω+++的最小值为20．
6.5.4 ★★ 设0a >,求二次函数22y x ax =-+在01x ≤≤时的最大值和最小值．
解析 因22()y x a a =--+,故函数的对称轴方程为x a =．我们按a 是否满足01a <≤（即是否在自变量的取值范围内）分别讨论．
（1）当a 满足01a <≤时,由于二次函数的二次项系数为负数,故函数在x a =时取得最大值2a ．
由于函数值在x a ≥时随x 增大而减小,而在x a ≤时随x 增大而增大,故函数在01x ≤≤时最小值在0x =或1x =处取得,在这两点处的函数值的较小者就是最小值,注意,若点（0,0）到对称轴的距离比点（1,0）到对称轴的距离近,则函数在0x =处的值便不小于在1x =处的值．否则,函数在0x =处的值就不大于在1x =处的值,因此我们进一步区分两种情况.
若1
02a <≤,如图（1）,函数在1x =有最小值21a -．
若1
12
a <≤,如图（2）,函数在0x =处有最小值0． （2）当1a >时,如图（3）,函数在1x =处有最大值21a -,在0x =处有最小值0．
(1)
(2)(3)
综上所述,当102a <≤
时,最大值为2a ,最小值为21a -；当1
12
a <≤时,最大值为2a ,最小值为0；当1a >时,最大值为21a -,最小值为0．
6.5.5 ★★ 如果抛物线2(1)1y x k x k =----与x 轴的交点为A 、B ,顶点为C ,求三角形ABC 的面积的最小值． 解析 首先,
22(1)4(1)250k k k k =-++=++>△．
所以抛物线与x 轴总有两个交点,设抛物线与x 轴的交点为1x 、2x ,那么
AB =
又抛物线的顶点坐标是2125
(,)24
k k k C -++-,
所以
2
254
k k S ABC ++=△3
322
211[(1)4]4188k =++≥⋅=． 当1k =-时等号成立．
所以,ABC △的面积的最小值为1．
6.5.6 ★★ 已知1x 、2x 是方程 22(2)(35)0x k x k k --+++=
（k 是实数）的两个实数根,求22
12x x +最大值和最小值．
解析 由于二次方程有实根,所以 []2
2(2)4(35)0k k k =---++≥△
2316160k k ++≤,
解得4
43
k -≤≤-．
22
2121212()()2f k x x x x x x =+=+-
22(2)2(35)k k k =--++ 22106(5)19k k k =---=-++．
由于()f k 在443k -≤≤-上是减函数,可见当4k =-时,2212()f k x x =+有最大值18,当43k =-
时,()f k 有最小值
509
． 6.5.7 ★★ 已知二次函数22y x x =--及实数2a >-,求. （1）函数在2x a -<≤时的最小值； （2）函数在2a x a ≤≤+时的最小值,
解析 由于自变量变化范围内含有参数a ,因此需分类讨论．
2
1924y x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭的图象是以12x =为对称轴,开口向上的抛物线（如图）．
（1）当122a -<<
时,2a -<≤在对称轴1
2
x =的左侧,此时y 的最小值在x a =时取到,即为22a a --．
当12a ≥时,y 的最小值在12x =时取到,即为94-．
（2）因2a >-,故20a +>．
当2a >-,且122a +<
<时,即当322a -<<-时,2a x a ≤≤+在对称轴1
2
x =的左侧．y 的最小值在2x a =+时取到,即为 22(2)(2)23a a a a +-+-=+．
当122a a ≤≤+,即3122a -≤≤时,y 的最小值在12x =时取到,即为94-． 当1
2
a >
时,y 的最小值在x a =时取到,即为22a a --． 6.5.8 ★★ 已知01x ≤≤,2()1f x x ax =-+,()f x 的最小值为m ,求a 表示m 的代数式． 解析2
22
4()124a a f x x ax x -⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭
,它的图象是顶点在24(,)24a a -,开口向上,对称轴
为2
a
x =
的抛物线． 当抛物线的顶点的横坐标2a 在01x ≤≤左边时,02
a
<,即0a <,这时抛物线在01x ≤≤上是上升的,所以(0)1m f ==； 当抛物线的顶点的横坐标2a 在01x ≤≤上时,012
a
≤≤,即02a ≤≤,这时 2
4()24
a a m f -==
； 当抛物线的顶点的横坐标
2a 在01x ≤≤的右边时,12
a
>,即2a >,这时抛物线在01x ≤≤上是
下降的,所以(1)2m f a ==-．
6.5.9 ★★★设a 为非零实数,求函数22()2(1)2(01)f x ax a x x =-++≤≤的最大值与最小值．
解析 当0a >时,()y f x =的图象是开口向上的抛物线,其顶点的横坐标为21
a a +．由于a 与
1
a
中至少有一个不小于1,故2111a a a a +=+>．
因此,()(01)y f x x =≤≤的图象是一段在对称轴左侧的抛物线弧（如图）,此时()(01)f x x ≤≤的最大值为(0)2f =,最小值为2(1)2f a a =-．
当0a <时,()y f x =的图象是开口向下的抛物线,其顶点横坐标21
a a
+,故()(01)
y f x x =≤≤的图象是一段在对称轴右侧抛物线弧,故()(01)f x x ≤≤的最大值还是(0)f ,最小值还是(1)f ．
综上所述,()(01)y f x x =≤≤的最大值为(0)2f =,最小值为2(1)2f a a =-．
6.5.10 ★★★ 已知a 、b 、c 都是正整数,且二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个不同的交点A 、B ,若A 、B 到原点的距离都小于1,求a b c ++的最小值． 解析 设函数图象与x 轴的两个交点A 、B 坐标为1(,0)x 、2(,0)x ,且12x x <,则有 212()()y ax bx c a x x x x =++=--．
又a 、b 、c 为正整数,于是有
120b
x x a +--<,
120c
x x a
-
>, 从而推知1x 、2x 均为负数．
因为11x <,21x <,则1210x x -<<<,
因此,由图,有 240b ac ->, ① 102b a -<-<, ②
2(1)(1)0a b c -+-+>,
③
2000a b c ⋅+⋅+>． ④
因为a 、b 、c 为正整数,则④显然成立． 由式③得a c b +>,即
1a c b +≥+． ⑤
因为函数2y ax bx c =++在1x =时对应的值为a b c ++,故a b c ++的最小值就是函数在
1x =处的最小值,而1c ≥,结合图象知当1c =时a b c ++取最小值,此时由式⑤得 a b ≥． ⑥
由式①、⑥得244b a b >≥,则4b >．所以4a b ≥>,从而 5a b ≥≥．
因此,当5b =,5a =,1c =时,a b c ++取得最小值5+5+1=11． 6.5.11 ★★★ 已知函数
22(2)2(1)1y a x a x =+--+
其中自变量x 为正整数,a 也是正整数,求x 为何值时,函数值最小． 解析 函数整理为
222
21(1)(2)()122
a a y a x a a --+-+-
++, 其对称轴为
213
(2)22a x a a a -==-+
++． 因为a 为正整数,故
3
012
a <≤+,21212a a a a --<≤-+． 因此,函数的最小值只可能在x 取2a -、1a -、21
2
a a -+时达到．
（1）当21
12
a a a -=-+时,1a =,此时231y x =+．由于x 是正整数,所以1x =时使函数取得最
小值；
（2）当21212a a a a --<<-+,即1a >时,由于x 是正整数,而
21
2a a -+为小数,故不能在21
2
a x a -=
+；达到最小值． 当2x a =-时,
221(2)(2)2(1)(2)1y a a a a =+----+；
当1x a =-时,
222(2)(1)2(1)(1)1y a a a a =+----+．
考查124y y a -=-．
（i ）当40a ->,即2a =或3时,x 取1a -,使2y 为最小值； （ii ）当40a -=,即4a =时,有12y y =,此时x 取2或3；
（iii ）当40a -<,即4a >且为整数时,x 取2a -,使1y 为最小值． 1,l 1,2323,42,
4a a a x a a a a -⎧⎪
-=⎪=⎨
=⎪⎪->⎩，或，或，
且整，
当时当时当时当为数时
函数值最小．
6.5.12 ★★ 设0p >,当x p =声时,二次函数()f x 有最大值5；二次函数()g x 的最小值为
2-,且()25g p =；2()()1613f x g x x x +=++．求()g x 的解析式和p 的值．
解析 由题设知
()5,()25f p g p ==, 2()()1613f p g p p p +=++,
所以 2161330p p ++=,
1(17)p p ==-舍去．
由于()f x 在1x =时有最大值5,故设 2()(1)5f x a x =-+,0a <
所以
2()1613()g x x x f x =++- 2(1)2(8)8a x a x a =-+++-．
由于()g x 的最小值是2-,于是
2
4(1)(8)4(8)24(1)
a a a a ---+=--．
解得2a =-,从而 2()31210g x x x =++
6.5.13 ★★ 已知二次函数2y ax bx c =++同时满足. （1）0a >；
（2）当11x -≤≤时,21ax bx c ++≤； （3）当11x -≤≤时,ax b +有最大值2． 求常数a 、b 、c 的值．
解析由（1）知2y ax bx c =++为开口向上的抛物线,由（1）、（3）知
2a b +=． ①
由（2）知
1a b c ++≤, ② 1c ≤．
③
由①、②知 21c +≤．
④
由③、④得1c =-．
故0x =时,2y ax bx c =++达到最小值,因此,
0,02b
b a
-
==． 由①得2a =．
故 2a =,0b =,1c =-． 6.5.14 ★★★ 设函数213
()22
x f x =-+在a x b ≤≤的范围内的最小值为2a ,最大值为2b ,
求实数对(,)a b ．
解析 由于二次函数,()f x 的对称轴为0x =,所以,就a 、b 与对称轴的关系来讨论．
分三种情况.
（1）当0a b ≤<时,a x b ≤≤时单调递减,所以,()2f a b =,()2f b a =,即 22
132,22132,22
a b b a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 解得1a =,3b =．
（2）当0a b <≤时,()f x 在a x b ≤≤时单调递增,所以,()2f a a =,()2f b b =,即
22132,22132.22
a a
b b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 由于方程2132022
x x +-=两根异号,所以,满足条件(,)a b 不存在． （3）当0a b <<时,此时,()f x 在0x =处取最大值,即132(0)2b f ==,故134
b =． 而()f x 在x a =或x b =处取最小值2a ,由于0a <,
21131339()()024232
f b =-+=>, 故()2(0)f a a a =<,即213222
a a =-+,
解得2a =- 综上,(,)(1,3)a b =
或13(2)4
-． 6.5.15 ★★★ 已知0a <,60≤,0c >,
2b ac =-,求24b ac -的最小值． 解析 令2y ax bx c =++,由0a <,60≤,0c >,判别式240b ac =->△,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点1(,0)A x 、2(,0)B x ,因为120c x x a =<,不妨设设12x x <,则120x x <<,对称轴02b x a
=-≤,于
是1x c ==, 所以
244ac b c a -≥=≥ 故 244b ac -≥
当1a =-,0b =,1c =时,等号成立．
所以,24b ac -的最小值为4．
6.5. 16 ★★ 求函数2223221
x x y x x --=++的最值． 解析 去分母、整理得
2(21)2(1)(3)0y x y x y -++++= 当12
y ≠时,这是一个二次方程,因x 是实数,所以判别式0≥△,即 2[2(1)]4(21)(3)0y y y =+--+≥△
解得 41y -≤≤．
当4y =-时,13x =-；当1y =时,2x =-．由此即知,当13
x =-时,y 取最小值4-,当2x =- 时,y 取最大值1．
评注 本题求最值的方法叫作判别法,这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时,应特别注意这个最值能否取到,即是否有与最值相应的x 值．
6.5.17 ★★ 设函数21
ax b y x +=
+的最大值为4,最小值为1-,求a 、b 的值． 解析 将原函数去分母,并整理得 2()0yx ax y b -+-=
因x 式实数,故
2()4()0a y y b =---≥△ 即2
2
04
a y by --≤． ① 由题设知,y 的最大值为4,最小值为1-,所以
(1)(4)0y y +-≤, 即2340y y --≤．
②
由①、②得 2
2
2344a y by y y --=--,, 所以23,4,4
b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以4a =±,3b =
6.5.18 ★★已知函数2262
ax bx y x ++=+的最小值是2,最大值是6,求实数a 、b 的值． 解析 将原函数去分母,并整理得
2()(62)0a y x bx y -+-=．
若y a ≡,即y 是常数,就不可能有最小值2和最大值6了,所以y a ≡,于是
24()(62)0b a y y =---≥△, 即2
2(3)308b y a y a -++-≤． ①
由题设,y 的最小值为2,最大值为6,所以 (2)(6)0y y --≤, 即28120y y -+≤． ② 比较①、②得 2
38,
312.
8a b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得5a =
,b ±=
6.5.19 ★★★ 求函数42225
(1)x x y x ++=+的最大值和最小值．
解析 由42225
(1)x x y x ++=+得。