2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试(三)数学(理)试题(解析版)

2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试（三）数
学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
230A x x x =--<，{}
10B x x =-≥，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．[)1,+∞
C ．[)1,3
D ．(]1,1-
【答案】C
【解析】求解一元二次不等式得到集合A ，由交集的定义即得解. 【详解】
由题意可得：{
}
2
230{|(3)(1)0}{|13}A x x x x x x x x =--<=-+<=-<< 由交集的定义，有A B =I [)1,3. 故选：C 【点睛】
本题考查了集合的交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】利用复数的除法可求122t t =-，从而得到其在复平面内所对应的点，由此可得正确的选项. 【详解】
由题意：
()()()
2121111i i i i i i i +==-+--+ ， 该复数对应的点()1,1- 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】
在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 3．函数2sin(2)2
y x π
=+
是（ ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数 【答案】B
【解析】试题分析：根据周期公式可得22T ππ==,又2sin(2)2cos 22
y x x π
=+=，所以该函数是偶函数．故选B ． 【考点】三角函数的周期性和奇偶性．
4．函数()()
2
ln f x x x =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】先求解f (x )的定义域排除B ,D ，再求导通过导函数研究f (x )的单调性，即得解. 【详解】
由于()()
2
ln f x x x =-的定义域为：(,0)(1,)-∞⋃+∞，故排除B ，D ；
()2
21
'x f x x x
-=
-，与()21g x x =-同正负， 令1
()0,()2
g x x f x >>
∴在(1,)+∞单调递增； 令1
()0,()2
g x x f x <<∴在(,0)-∞单调递减； 故选：A 【点睛】
本题考查了已知函数解析式研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
5．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分
别为12,A A ，点P 是双曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ∆与12PA A ∆的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．3y x =±
B ．2y x =±
C ．y =
D ．y x =±
【答案】C
【解析】由12121212:||:||A PF F PA S S F F A A ∆∆=得到2c a =，利用a,b,c 的关系即得解. 【详解】
由于12121212:||:||2:22:1A PF F PA S S F F A A c a ∆∆=== 故：2c a =
由题意双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程为：b y x a
=±
b a a a
===
故渐近线方程为：y = 故选：C 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．对任意()2
k k Z π
απ≠+∈，
若2222
sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ） A ．2 B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】D
【解析】利用同角三角函数关系转化2
2
2
2
sin tan sin tan λαμααα+=为
2(1)cos 1λαμ+=-对任意()2
k k Z π
απ≠+
∈成立，即得解.
【详解】 由于()2
k k Z π
απ≠+
∈，故22sin 1,cos 0αα≠≠，
2222sin tan sin tan λαμααα+=Q
222
sin cos cos μ
αλαα
∴+= 222cos sin 1cos λαμαα∴+==- 2(1)cos 1λαμ∴+=-对任意()2
k k Z π
απ≠+
∈成立
1,1λμ∴=-= 2λμ∴-=-
故选：D 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）
A ．
2017
2018
B ．
2018
2019
C ．
1
2018
D ．
1
2019
【答案】D
【解析】根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解. 【详解】
初始值：1,2S i ==
满足：111
2019,1,1,1322i t S i i i ≤=-=
=⨯=+= 满足：1212
2019,1,1,14323i t S i i i
≤=-=
=⨯⨯=+= 满足：13123
2019,1,1,154234
i t S i i i
≤=-==⨯⨯⨯=+= ……
满足：120181232018
2019,1,1...,1202020192342019i t S i i i ≤=-=
=⨯⨯⨯⨯=+= 输出：12320181
1 (234)
20192019
S =⨯⨯⨯⨯=
故选：D
【点睛】
本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.
8．()6
3
11x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项等于（ ）
A ．65
B ．45
C ．20
D ．25-
【答案】A
【解析】分别将()3
1x -，6
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数
项即可. 【详解】
由于()3
0011223
333331()()()()x C x C x C x C x -=-+-+-+-
6
061524233342451566066666661111111()()()()()()x C x C x C x C x C x C x C x x x x x x x x ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝
⎭
故()6
3
11x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为：
00333
22424363611()()()()2031565C x C x C x C x x x
-⋅+-⋅=+⋅=
故选：A 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ）
A ．0
B ．
12
C D ．
6
【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值. 【详解】
如图建立空间直角坐标系，则111(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(,1,)22
A B D P
111(0,1,1),(,1,)22
A
B DP =-=u u u r u u u r
设异面直线1A B 与DP 所成角为θ
111132cos |cos ,|||6
||||
322
A B DP
A B DP A B DP θ⋅∴=<>===
⋅
u u u r u u u r
u u u r u u u r u u
u r u u u r 故选：C 【点睛】
本题考查了向量法求解异面直线夹角，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于基础题。

10．在ABC ∆中，22AB AC ==，,P Q 为线段BC 上的点，且BP PQ QC ==u u u r u u u r u u u r
.若
5
9
AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，则BAC ∠=（ ）
A ．150o
B ．120o
C ．60o
D ．30o
【答案】B
【解析】转化()()AP AQ AB BP AC CQ ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22
52cos 39
ABC x x =∠+-=，结合
余弦定理2
419cos 4
x ABC +-∠=，即可求解x ,得到cos ABC ∠.
【详解】
不妨设||||||,3BP PQ QC x BC x ===∴=u u u r u u u r u u u r
()()AP AQ AB BP AC CQ AB AC BP AC AB CQ BP CQ ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22252cos 395
cos 18
AB AC BP AC AB BP BP BP AB AC BP BC BP BP
ABC x x ABC x =⋅+⋅-⋅-⋅=⋅+⋅-⋅=∠+-=∴∠=-+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由余弦定理：2
419cos 4
x ABC +-∠=
联立得到：x =
1
cos 1202
o ABC ABC ∴∠=-∴∠=
故选：B 【点睛】
本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知3cos sin 0a B A =，
7b =，5c =，则ABC ∆的面积为（ ）
A
．
4
B
．
2
C
． D
．【答案】A
【解析】
利用正弦定理得到3sin cos sin 0A B B A +=，求出120o B =，再利用
sin sin c
C B b
=求解sin ,cos C C ，结合sin sin()A B C =+得到sin A ，最后由面积公
式即得解. 【详解】
由正弦定理可得：3sin cos sin 0A B B A += 又0sin 0A A π<<∴≠
sin 0tan 120o B B B B +=∴==
由正弦定理可得：5sin sin 7214
c C B b =
=⨯=
又c b C B <∴<，故C 为锐角
11
cos 14
C ∴=
sin sin()sin()sin cos cos sin 11121421414
A B C B C B C B C π∴=--=+=+=-⨯+=
故11sin 7522ABC S bc A Λ==⨯⨯=
故选：A 【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
12．若函数()2
x
e x
f x a =-恰有两个零点，则实数a 的值为（ ）
A ．4
16
e
B ．39e
C ．24
e
D ．e
【答案】C
【解析】转化函数()2
x
e x
f x a =-恰有两个零点为2()x
e g x x
=与y a =有两个交点，利
用导数研究2()x
e g x x
=的单调性，得到简图，结合图像即得解.
【详解】
由于()0
0100x e f =≠=∴=不为零点
()22
0x
x
e f a e ax x x
⇔-===
即2()x
e g x x
=与y a =有两个交点
2244
2(2)'()x x x e x xe e x x g x x x
--==与2
()2(0)h x x x x =-≠同正负 令'()0,(,0)(2,),g x x >∈-∞+∞U 故()g x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递增；
令'()0,(0,2)g x x <∈故()g x 在(0,2)单调递减；
结合图像可知当2
(2)4
e a g ==时，2()x e g x x =与y a =有两个交点，函数
()2x e x f x a =-恰有两个零点.
故选：C 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题
13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 【答案】甲胜
【解析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解. 【详解】
若甲队获胜，则A ，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜. 故答案为：甲胜 【点睛】
本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题.
14．公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，
它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合
{}1,6,24,28,36中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.
【答案】
710
【解析】依次按照完全数的定义分析：1，6，24，28，36，得到集合{}1,6,24,28,36中
{}6,28为完全数，{}1,24,36不为完全数，在集合{}1,6,24,28,36中任取两个数有2
5C 种情况，在集合{}1,24,36中任取两个数有2
3C 种情况，利用古典概型和互斥事件的概
率公式即得解. 【详解】
1没有除自身外的约数，因此1不为完全数； 6的真因子为1，2，3，1+2+3=6，故6为完全数；
24的真因子为1，2，3，4，6，8，12，1+2+3+4+6+8+12=36，故24不为完全数； 28的真因子为1，2，4，7，14，1+2+4+7+14=28，故28为完全数；
36的真因子为1，2，3，4，6，9，12，18，1+2+3+4+6+9+12+18=54，故36不为完全数；
因此集合{}1,6,24,28,36中{}6,28为完全数，{}1,24,36不为完全数.
在集合{}1,6,24,28,36中任取两个数有2
510C =种情况；
在集合{}1,24,36中任取两个数有2
33C =种情况；
这两个数中有完全数的对立事件为取到的两个数都不是完全数，因此：23257
110
C p C =-=
故答案为：710
【点睛】
本题考查了古典概型和互斥事件的概率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 15．往一球型容器注入
136
πcm 3
的水，测得水面圆的直径为4cm ，水深为1cm ，若以6
πcm 3
/s 的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为4cm 时，则需经过______s . 【答案】99
【解析】根据题意作出简图，由球截面性质：222R r d =+，可求得5
2
R =
，当再次测
得水面圆的直径为4cm 时，水面到达C e 关于球心对称的位置'C e 所在平面，此时注入水的体积1326
V V
π
=-⋅球，根据注水速度即可得解. 【详解】
设球半径为R ，如图假设水面在C e 所在位置，则41,,22
CA OB R BC ===
= 由球截面性质：2
22
45()(1)2
2
R R R =+-∴=
球体积：3412536
V R π
π=
=
球
当再次测得水面圆的直径为4cm 时，水面到达C e 关于球心对称的位置'C e 所在平面 此时注入水的体积13992=
66
V V ππ
=-⋅
球 故经过的时间996996
t π
π
=
=
故答案为：99 【点睛】
本题考查了球的截面性质和体积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16．已知斜率存在的直线l 交抛物线2:4C y x =于,A B 两点，点()1,0D -，若
0AD BD k k +=，则直线l 恒过的定点是______.
【答案】()1,0
【解析】设直线l : y kx b =+,与抛物线联立，得到韦达定理，又
12121212122()()2011(1)(1)
AD BD y y kx x k b x x b
k k x x x x +++++=
+==++++代入韦达定理得到0k b +=即得解.
【详解】
设直线l : y kx b =+,
22224(24)0y x
k x kb x b y kx b
⎧=∴+-+=⎨
=+⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y
2
12122242,kb b x x x x k k
-+==
12121221121212()(1)()(1)
01111(1)(1)
AD BD y y kx b kx b kx b x kx b x k k x x x x x x ++++++++=
+=+==++++++Q
12211212()(1)()(1)2()()20kx b x kx b x kx x k b x x b ∴+++++=++++=
222
422()()20b kb
k k b b k k
-∴+++= 0k b b k ∴+=∴=-
即：y kx k =-，过定点(1,0) 故答案为：(1,0) 【点睛】
本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
三、解答题
17．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11n n n n S S S S λ--⋅=-()
*
2,n n N ≥∈，且
11a =，22a =.
（1）求数列{}n S 的通项公式；
（2）求{}n a 的通项公式，并求n a 的最小值.
【答案】（1）352n S n =-（2）()21,1,6, 2.431
n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪--⎩
；n a 的最小值为6-.
【解析】（1）令2n =，代入可求解2
3
λ=-
，转化11n n n n S S S S λ--⋅=-为11123n n S S --=-，得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，以23-为公差的等差数列，即得解. （2）利用1n n n a S S -=-，结合（1）种结论得到n a ，通过列举和正负分析可得n a 的最小值. 【详解】
（1）令2n =，得2112S S S S λ⋅=-， 即()()121112λ+⨯=-+，解得2
3
λ=-. 所以112
3
n n n n S S S S ---
⋅=-. 易知0n S ≠，两边同时除以1n n S S -⋅，得
11123
n n S S --=-. 所以1n S ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1为首项，以2
3-为公差的等差数列. 所以()12521133
n n n S -=--=， 所以3
52n S n
=
-. （2）当2n ≥时，
1n n n a S S -=-
33
5272n n
=
---
()()
()2
6
65272431
n n n =
=
----.
当1n =时，11a =不符合上式.
所以()21,1,6, 2.431n n a n n =⎧⎪
=⎨≥⎪--⎩
当3n =时，360a =-<，当n 取其他值时，0n a >，
所以n a 的最小值为6-. 【点睛】
本题考查了数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
AD CD ⊥，AD BC ∥，且244BC AD CD ===.点E 是线段BC 上一点，且
1
8
CE BC =.
（1）求证：平面SAC ⊥平面SED ；
（2）若22SD =S ED C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（25
【解析】（1）先证明AC DE ⊥，再结合SA DE ⊥得到DE ⊥平面SAC ，即得证； （2）建立如图所示空间直角坐标系，求解平面SED ，CED 的法向量，利用二面角的向量公式可得解. 【详解】
（1）因为2AD CD =，1
2EC CD =， 所以1
tan tan 2
CAD EDC ∠=∠=，
所以CAD EDC ∠=∠.
因为AD CD ⊥，所以90CAD ACD ∠+∠=o ，所以90EDC ACD ∠+∠=o ， 所以AC DE ⊥.
因为SA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以SA DE ⊥. 又SA AC A ⋂=，所以DE ⊥平面SAC .
而DE ⊂平面SED ，所以平面SAC ⊥平面SED . （2）
过A 作AH BC ⊥，交BC 于点H .
以,,AH AD SA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.
则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()0,0,2S ，31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以()0,0,2AS =u u u r ，()0,2,2SD =-u u u r ，31,,22SE ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
u u r .
设平面SDE 的法向量为(),,x y z =m ，
则0,0m SD m SE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u v 即220,
3
20.2y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩
取1x =，则()1,2,2m =. 易知AS u u u r
为平面CED 的一个法向量，且()0,0,2AS =u u u r .
所以42
cos ,233
AS m AS m AS m ⋅===⨯u u u r
u u u r u u u
r . 所以所求二面角的正弦值为53
. 【点睛】
本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
19．甲市有2万名高三学生参加了天一大联考，根据学生数学成绩（满分：150分）的大数据分析可知，本次数学成绩X 服从正态分布，即()2
~,X N
μσ，且
()1350.00135P X >≈，()950.15865P X ≤≈.
（1）求,μσ的值.
（2）现从甲市参加此次联考的高三学生中，随机抽取300名学生进行问卷调查，其中数学成绩高于125分的人数为Y ，求()E Y .
（3）与甲市相邻的乙市也有2万名高三学生参加了此次联考，且其数学成绩Z 服从正态分布()108,36N .某高校规定此次联考数学成绩高于120分的学生可参加自主招生考试，则甲和乙哪个城市能够参加自主招生考试的学生更多？ 附：若随机变量(
)2
~,N ξμσ
，则()0.6827P μσξμσ-<+≈≤，
()220.9545P μσξμσ-<+≈≤，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈.
【答案】（1）105,
10.μσ=⎧⎨
=⎩
（2）6.825（3）甲市能够参加自主招生考试的学生更多.
【解析】（1）根据题设的概率数据以及给出的1,2,3σσσ区间的概率值即可得解； （2）由题意可知Y 服从二项分布，利用二项分布的期望公式，可得解； （3）利用2σ区间的概率值，可求得()1200.02275P Z >=，由（2）可知
()()125120P X P Z >=>，根据正态分布的特点，可得解.
【详解】
（1）因为()10.9973
30.001352
P X μσ->+≈
=， ()10.6827
0.158652
P X μσ-<-≈
=， 所以3135,
95.μσμσ+=⎧⎨
-=⎩
解得105,
10.
μσ=⎧⎨
=⎩
（2）()10.9545
1250.022752
P X ->≈
=. 由题意知()~300,0.02275Y B ， 所以()3000.02275 6.825E Y =⨯=. （3）因为()~108,36Z N .
所以()()10.9545
120108260.022752
P Z P Z ->=>+⨯=
=. 由（2）可知()()125120P X P Z >=>，
即甲市数学成绩高于125分的学生人数与乙市数学成绩高于120分的学生人数相等， 根据正态分布的特点可知，甲市数学成绩高于120分的学生人数比乙市多， 即甲市能够参加自主招生考试的学生更多. 【点睛】
本题考查了概率和统计综合，考查了正态分布，二项分布等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
20．椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>将圆22
8:5O x y +=的圆周分为四等份，且椭圆C
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且MN 的中点为01,4P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，线段MN 的垂直平分线为l '，直线l '与x 轴交于点(),0Q m ，求m 的取值范围.
【答案】（1）22
14x y +=（2
）88⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】（1）先求解A
. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，利用点差法得到0l k x =-，得到直线l '的方程为
0134y x x =
-，得到03(,0)4Q x ，利用01,4P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆内部得到0x 范围，即得解. 【详解】
（1）不妨取第一象限的交点为A .
由椭圆C 将圆O 的圆周分为四等份，知45xOA ∠=o .
所以A ⎝⎭
.
因为点A 在椭圆C 上，所以
2244
155a b
+=.①
因为2
e =
，所以224a b =.② ①②联立，解得24a =，21b =.
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112
2
2
244,
4 4.x y x y ⎧+=⎨+=⎩
两式相减，得
1212
1212
14y y x x x x y y -+=-⨯-+. 又因MN 的中点为01,4P x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，所以1202x x x +=，1212
y y +=
. 所以直线l 的斜率121201212
14l y y x x
k x x x y y -+=
=-⨯=--+.
当00x =时，直线l 的方程1
4
y =
，直线l '即y 轴，此时0m =. 当00x ≠时，直线l '的斜率0
1l k x '=
. 所以直线l '的方程为()00114y x x x -=-，即0134
y x x =-. 令0y =，则034
x x =
. 因为点01,4P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以22
1144x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
.
所以022x ⎛⎫⎛⎫∈-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
，所以03
0,488x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U . 综上所述，m
的取值范围为⎛ ⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21．已知函数()ln f x x x ax =+.
（1）若()f x 在()1,e 上存在极小值，求a 的取值范围；
（2）设()()()g x f x f x '=-（()f x '为()f x 的导函数），()g x 的最小值为()0g x ，且()03
2
g x >-
，求0x 的取值范围. 【答案】（1）()2,1--（2）1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】（1）对()f x 求导，研究()f x 单调性，求出()f x 极小值点为()1a x e -+=，依题意知()11a e e -+<<，求解即可;
（2）对()g x 求导，令()'()h x g x =，二次求导可得()'0h x >，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以0x 是()0g x '=即()0h x =的唯一实根， 由()03
2
g x >-求解0x 的取值范围即可. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.
()ln 1f x x a '=++.
令()0f x '=，解得()1a x e -+=.
因为在()
(
)10,a e
-+上，()0f x '<；在()()1
,a e -++∞上，()0f x '>. 所以()f x 在()
()1
0,a e -+上单调递减，在()()1
,a e -++∞上单调递增.
所以()f x 的极小值为()
()1
a f e -+.
依题意知()11a e e -+<<，即()10a e e e -+<<，所以()011a <-+<. 解得21a -<<-.
即a 的取值范围为()2,1--.
（2）()()()1ln 10g x x x ax a x =-+-->，所以()1
ln 1g x x a x
'=-++. 令()1
ln 1h x x a x
=-
++，则()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增. 所以0x 是()0g x '=即()0h x =的唯一实根. 令()00h x =，得001ln 10x a x -
++=，即00
1
ln 1x a x =--. 所以()()00001ln 1g x x x ax a =-+--
()0000011
1111x a ax a x x x ⎛⎫=---+--=--+ ⎪⎝⎭
.
由题意得0013
12x x --
+>-，解得0122
x <<. 所以0x 的取值范围为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于
较难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩，（ϕ为参数）.以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 经过点2,3A π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，且与极轴所成的角为α.
（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于,D E
两点，若AD AE +=，求直线l 的普通方程.
【答案】（1）2
2
9x y +=
.1cos ,
sin x t y t αα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（2
）y =
0y +-=.
【解析】（1）曲线C 的参数方程消去参数即得普通方程，根据直线参数方程的定义表示即可；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，得到韦达定理，由参数方程的几何意义可以得到
12AD AE t t +=-=.
【详解】
（1）由参数方程得2222
9cos 9sin 9x y ϕϕ+=+=，
所以曲线C 的普通方程为22
9x y +=. 设点A 的直角坐标为(),x y .则2cos
13
x π
=
=，2sin
3
y π
=
=即(A ，故直线
l 的参数方程为1cos ,
sin x t y t αα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.
（2）将1cos ,sin .
x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入22
9x y +
=，得()
22cos 50t t αα++
-=.
()
2
2cos 200αα
∆=++>.
设12,
t t 是方程的两个根，则()
122cos t t αα+=-+，125t t =-.
所以12AD AE t t +=-=
=
=.
所以()
2
2cos 2024αα
++=
整理得tan 0α
=或tan α=
所以直线l 的方程为y =0y +-=.
【点睛】 本题考查了参数方程与普通方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
23．已知存在0x R ∈，使得004x a x b +--≥，,a b R +∈.
（1）求+a b 的取值范围；
（2）证明：4432a b +≥.
【答案】（1）[)4,+∞（2）见解析
【解析】（1）利用绝对值不等式的性质可得b x a x b a +-≤+-，结合题设条件即得解；
（2）利用均值不等式()()()2222244222a b a b a
b ++=+≥，()2222a b a b ++≥，即得
解.
【详解】
（1）因为()()x a x b x a x b +--≤+-- a b =+a b =+，
因为存在0x R ∈，使得004x a x b +--≥，所以4a b +≥，
即+a b 的取值范围是[)4,+∞.
（2）由（1）知4a b +≥.
因为()
()()2222244222a b a b a b ++=+≥. 又()22224822a b a b ++≥
≥= 所以2
448322
a b +≥= 当且仅当2a b ==时等号成立.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式，均值不等式的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。