样本的数字特征

的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一
样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.
题型一
计算方差(标准差)
【例题 1】从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如下表,
出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影
响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.
【做一做 3】10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,则其平均数是
.
1
解析:平均数是10(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7.
2
答案:3
3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据 x1,x2,…,xn
+ +…+
的平均数为 = 1 2
.
(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均
水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位
数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映
中位数、标准差、方差是不知道的,因此,通常用样本的平均数、众
数、中位数、标准差、方差来估计.这与上一节用样本的频率分布来
近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合
理的,也是可以接受的.
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:用样本平
均数估计总体平均数;用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,
数据 x1,x2,…,xn 的平均数 =
1
(x +x +x +…+xn),则就有
1 2 3
n=x1+x2+x3+…+xn,所以对数据有“取齐”的作用,代表了一组数据
的数值平均水平.在频率分布直方图中,平均数是直方图的平衡点,假
设横轴表示一块放置直方图的跷跷板,则支点取在平均数处时跷跷
板达到平衡.
该组数据的集中趋势.
众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息
的忽视使其无法客观地反映总体特征.
【做一做 1】数据组
答案:4
1
8,-1,0,4, ,4,3
7
的众数是
.
2.中位数
(1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的
数称为这组数据的中位数.
(2)特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中
2.2.2
用样本的数字特征估计总体
的数字特征
知识能力目标引航
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征.
2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用之解决有关问
题.
1.众数
(1)定义:一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.
(2)特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了
较大;标准差较小,数据的离散程度较小.
(
【做一做 4】一组数据的单位是 m,平均数是,标准差为 s,则
)
A.与 s 的单位都是 km
B.与 s 的单位都是 cm
C.与 s 的单位都是 m
D.与 s 的单位不同
解析:与 s 的单位都与数据组中的数据单位相同,是 m.
答案:C
5.方差
(1)定义:标准差的平方,即
趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.
中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优
点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.
【做一做 2】数据组-5,7,9,6,-1,0 的中位数是
.
解析:将该组数据按从小到大排列为-5,-1,0,6,7,9,则中位数是
0+6
=3.
估计就越精确.
【做一做 6-1】下列判断正确的是(
)
A.样本平均数一定小于总体平均数
B.样本平均数一定大于总体平均数
C.样本平均数一定等于总体平均数
D.样本容量越大,样本平均数越接近总体平均数
答案:D
【做一做 6-2】电池厂从某日生产的电池中抽取 10 个进行寿命
测试,得数据如下(单位:小时):30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则该日
(a,b 为常数)
平均数
x
x+b
ax
方差
s2
s2Βιβλιοθήκη a2s2标准差ss
|a|s
ax+b
a2s2
|a|s
【做一做 5】下列刻画一组数据离散程度的是(
A.平均数
B.方差
C.中位数 D.众数
解析:方差刻画一组数据离散程度的大小.
答案:B
)
6.用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数、众数、
生产电池的平均寿命估计为(
)
A.27
B.28
C.29
D.30
解析:这 10 个数据的平均数是
1
(30+35+25+25+30+34+26+25+29+21)=28,则该日生产的电池的
10
平均寿命估计为 28 小时.
答案:B
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最
高矩形的中点的横坐标.
(2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等,
但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征,
因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图
得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致.
(3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.我们知道,n 个样本
2.理解方差与标准差
剖析:(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.
标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的
离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围是[0,+∞).
标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅
度,数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差
1
= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].

2
s
(2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程
度的大小.
(3)取值范围:[0,+∞).
数据
x1,x2,x3,…,xn
x1+b,x2+b,…,xn+b(b 为常数)
ax1,ax2,…,axn(a 为常数)
ax1+b,ax2+b,…,axn+b
答案:14.7
4.标准差
(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s
表示,通常用以下公式来计算
s=
1
[(1 -)2

+ (2 -)2 + … + ( -)2 ].
可以用计算器或计算机计算标准差.
(2)特征:标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一
组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较大,数据的离散程度