2、线性系统奇点及轨

2、线性系统奇点及轨线的分布
dx 若 det A 0 ax by 二维常系数线性自治系统： dt dX 或 AX 则（0，0）为系统的唯一奇点 dy dt cx dy dt 根据线性代数理论，存在非奇异矩阵T将矩阵A化为Jordan标准型J=T-1AT，根据二阶 矩阵A的特征的情况，Jordan标准型具有如下三 种形式：
极坐标表示： 其中：
0e , t 0
2 2
Ce

0 C1 C2 , 0 arcsin
C2
0
正负决定奇点负向或正向渐进稳定 正负决定 t 增加时运动是顺时和逆时绕原点转
奇点类型
焦点
稳定性
p 0, q 0, 0 p 0, q 0, 0
根为
p p 2 4q 1, 2 2
1）
1 2且1 , 2 R
轨线族： x
0及y Cx
2 1
dx dt 1 x t t 方程 通解： x C1e , y C2e dy 2 y dt
1 2
y
p 0, q 0, 0
y

ln x C )
x
x
p 0, q 0, 0
奇点类型 稳定性 稳定结点
p 0, q 0, 0
不稳定结点
不稳定
稳定
1,2 i , 且 , x y x e (C1 cos t C2 sin t ) 方程 通解： at dy y e (C1 sin t C2 cos t ) x ay dt t
1 0 0 2
其中：
0 0
0 1

A E
a c
d d
2 (a d ) ad bc 2 p q 0
奇点类型 稳定性 稳定结点 稳定
p 0, q 0, 0
不稳定结点 不稳定
q 0, 0
鞍点
不稳定
2） 1
0 J 0
2且1 , 2 R
dx x 方程 dt dy y dt
根据Jordan 标准型，方程有两种状态
0
稳定焦点
0
不稳定焦点
4）
1,2 i , 且 0
方程
dx dt y 通解： dy x dt
极坐标表示： 其中：
x C1 cos t C2 sin t y C1 sin t C2 cos t
0 J 1
dx x 方程 dt dy x y dt
1
通解： 轨线族：
x C1et , y C2et
x 0及y Cx
y
通解： 轨线族：
x C1et , y (C1t C2 )et
x 0及 y x (
轨线族：
x2 y 2 C 2
0 , t 0
2 2
0 C1 C2 , 0 arcsin
C2
0
原点为稳定奇点，但不渐进稳定
奇点类型
中心点
稳定性
稳定
不渐进稳定