费根鲍姆常数4669…下

中等数学
Sf ( x)
Χ
f f
( ′(
x) x)
-
3 2
f f
″( ′(
x) x)
.
取负值与否作为稳定性判别的必要依据 (但
它不充分) .
1974 年 ,李天岩和他的导师 Yorke 在《周
期 3 蕴含浑沌》一文中指出 :
若 f ( x) 在[ a , b ]上连续自映射 ,又 f ( x)
有 3 周期点 ,则对任何自然数 n , f ( x) 有 n 周
图 12
当 α在 (2 ,4) 区间 ,且按Δα= 01007 5 变 化进行计算 , 每次以同一初始点 x0 开始迭 代 ,定常点的值依 α变化情况如图 13.
图 13
从图像上可看出 : 参数 α在上述区间变 化时 ,Logistic 方程的定常解由周期 1 、周期 2 、 周期 4 、……不断加倍 ,即依
3 ×22 , 5 ×22 , 7 ×22 , 9 ×22 , …
……
2 m , …,32 ,16 ,8 ,4 ,2 ,1 意义下 , f 必定对应每个跟随在 p 后的 q 周期 点.
正因为一维映射一般只有一个稳定的周
期 ,一个确定的 Feigenbaum 常数的存在似乎 是必然的.
Feigenbaum 常数是一个自然界里的普适
α> 31569 945 673 …时 , 出现混 沌 ( 或 方 程 有 2 ∞周期解) .
仔细观察 α> 31569 9 …(混沌区) 的图像 还会发现 : 图中有许多细白条 ———数学上称 之为周期窗口 ,它是迭代中一种周期解到另 外一种周期解的过渡地带. 如果把这些窗口 放大 ,它们又恰好是整个图形的自我复制 (生 物学上称为“克隆”) ,这种现象我们曾在《漫 话分形》一文中作过介绍 (混沌区内出现了有 序带) .
1991.
2002 年第 4 期
23
数海拾贝
费根鲍姆常数 41669 …(下)
吴振奎
(天津商学院 ,300122)
周期倍化现象
在 Logistic 方程 xn + 1 =αxn (1 - xn ) 的迭代 中 ,参数 α的变化会使定常解的个数出现倍 化现象 (数学上称之为分岔) . 由表 2 (见第 3 期 P26) 可将方程的定常解个数 (或周期) 随 α 变化情况用图 12 简示 :
社 ,1986. [3 ] 刘华杰. 浑沌之旅[M] . 济南 :山东教育出版社 ,1997. [4 ] 吴振奎. 漫话分形[J ] . 中等数学 ,1998 , (3) . [5 ] 吴振奎. 混沌平话[J ] . 数学通讯 ,1999 , (2～4) . [6 ] 卢侃等. 混沌学传奇 [ M] . 上海 : 上海翻译出版公司 ,
阿拉莫斯科研所工作的费根鲍姆 (M. Feigen2
baum) 在研究像 Logistic 映射一类的单峰函数
(只有单一的二次极 (大) 值函数) 周期点与参
数 α间的关系时发现 :
若
α n
代表周期
2n
的分支点 (引起分岔
时的 α临界值) ,则
δ n
=
α n
αn
-
+1
αn - 1 - αn
.
(相邻倍化周期分岔点间距离比或混沌区域
20 ,21 ,22 ,23 ,24 , …,2 n , …,2 ∞ 变化, 这个过程称为周期倍化, 其中
图 14
这样一来 ,混沌与分形之间又找到了联 系.
Feigenba um 常数
正如在《混沌 平 话》[5] 一 文 中 说 过 的 那
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样 :自然界的无序中蕴含着有序 ,混沌中蕴含
着规律.
1978 年 ,毕业于麻省理工学院 ,在洛斯·
内周期倍化分岔点间的距离比) 是一个常数.
换言之 :
δ
=
α nli→m∞αnn
-
+1
αn - 1 - αn
= 41669 201 609 102 990 9 ….
人们称之为 Feigenbaum 常数 , 这是一个
新的重要常数.
这儿顺便讲一句 ,对于函数或映射的不
同结构 δ的值也不同. 对二次映射而言 ,δ2 =
轨道) 就有稳定与不稳定之分.
对于给定的 α而言 ,从不同的初始值 x0
出发 ,最终皆收敛到一个稳定的多点周期解 ,
则称之为稳定轨道 (周期) .
早在一百多年前 ,数学家已发现 :
对某些单峰映射 ,最多只有一个稳定周
期 (辛格定理) .
1869 年 ,施瓦兹 ( H. A. Schwarz) 给出了
41669 …;对于 4 次映射而言 ,δ4 = 71284 …;对
于 6 次映射而言 ,δ6 = 91296 …;对于 8 次映射
而言 ,δ8 = 101048 ….
关于混沌的内部结构研究 ,可借助电子
计算机计算 、作图. 然而 ,若要真的掌握它 ,还
须有严格的数学理论.
比如 ,对于 Logistic 方程迭代的路线 ( 或
期点 (Li2Yorke 定理) .
其实 ,该定理只是前苏联学者 A. N. Shar2
kovski 在 1964 年发现的定理的特例.
Sharkovski 定理是这样叙述的 :
若单峰映射 f 具有一个 p 周期点 ,则在
编序 :
3,
5,
7,
9,
…
3 ×2 , 5 ×2 , 7 ×2 , 9 ×2 ,知.
Feigenbaum 常数的普适性不仅是定性的 , 而且是定量的 ; 不仅是结构的 , 而且是测度 的[6] .
参考文献 : [1 ] 吴祥兴 ,陈 忠. 混沌学导论[M] . 上海 :上海科学技术
文献出版社 ,1997. [2 ] 李继彬 ,陈兰荪. 生命与数学[M] . 成都 :四川教育出版