放缩法在不等式证明中的应用 数学作业毕业论文

放缩法在不等式证明中的应用数学作业毕业论文
引言
放缩法是数学不等式证明中十分重要的一种方法，它在数学竞赛以及数学研究中有着广泛的应用。

其基本思想是通过找到一个与原式子不同但与之等价的不等式，将
原式子的证明转化为证明这个新的不等式。

放缩法的优点是方法简单、易于计算，但
需要具备一定的数学基础以及经验才能熟练应用。

本文将深入探讨放缩法在不等式证
明中的应用。

一、放缩法的基本思想
假设要证明的不等式为$A\\geqslant B$，则放缩法的目的在于找到另一个不等式$C\\geqslant D$，且有所求不等式$A\\geqslant B$可以由另一个不等式$C\\geqslant
D$ 经过一系列的推导和化简得到。

要使用放缩法证明某个不等式，通常需要两个关键步骤：
（1）首先找到一个与原式子不同但与之等价的不等式；
（2）然后利用已知的数学定理和切实可行的数学方法将原有的不等式化为等价
不等式，也就是通过一系列的推导和计算将原有的不等式转化成所求的不等式。

二、放缩法的具体应用
1.幂、指数函数不等式
放缩法在处理与幂、指数函数有关的不等式时尤其有用。

例如，对于如下不等式：
$$x^a+y^b\\geqslant 2\\times\\left(\\frac{x^2}{y^{a-
2}}\\right)^{\\frac{a}{2(a+b)}}$$
其中，$a,b$均为正实数，$x,y$也是正实数。

首先，我们考虑一个简单的情况：当$a=b=1$时，所求不等式可以化为：
$$x+y\\geqslant 2\\sqrt{\\frac{x^2}{y}} $$
我们可以找到一个新的不等式$$(x+y)^2\\geqslant 4xy$$
然后，将$(x+y)^2$拆开得到：$$(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy$$
再将原式子转化为$$\\begin{aligned}(x^2+y^2)+2xy&\\geqslant
4xy\\\\x^2+y^2&\\geqslant 2xy\\end{aligned}$$
显然，$x^2+y^2\\geqslant 2xy$恒成立，证毕。

对于上述不等式的一般情况，我们可以使用类似的方法。

首先，对于指数进行简单的处理，有：
$$\\begin{aligned}2a&=\\frac{2a}{2(a+b)}\\times(a+b)\\\\
&=\\frac{2a(a+b)}{2(a+b)}\\\\ &=a+b\\\\ \\end{aligned}$$
然后，根据幂函数的性质，有：
$$\\sqrt[a]{\\frac{x^{2a}}{y^{a-2}}}\\geqslant \\frac{2x^a}{y^{a+b}}$$
因此，我们得到：
$$\\begin{aligned}x^a+y^b&\\geqslant 2\\sqrt{y^{b-2}\\cdot
x^{2a}}&(1)\\\\ &\\geqslant 2\\sqrt{(2^2\\cdot y^by^{1-
b})\\cdot(\\frac{x^a}{y^{a-2}})^2} &\\\\ &=2\\times\\left(\\frac{x^a}{y^{a-2}}\\right)^{\\frac{a}{2(a+b)}} &\\\\ \\end{aligned}$$
上述推导过程中，$(1)$式由收缩法，即简单的利用平均数不小于几何平均数的结论得到，即：
$$\\sqrt{ab}\\geqslant 2\\sqrt{(a+b)^{-2}(a^2+b^2)}$$
2.三角函数不等式
对于某些涉及三角函数的不等式，放缩法也可以得到较好的结果。

例如，考虑下面的不等式：
$$\\frac{1}{\\sin a}+\\frac{1}{\\sin b}+\\frac{1}{\\sin
c}\\geqslant\\frac{2+\\sin a+\\sin b+\\sin c}{\\sin a+\\sin b+\\sin c}$$
其中，$a,b,c$是不相等的角度。

我们不难发现，三角不等式可以变化为相应的代数不等式。

因此，为方便起见，我们用$X=\\tan\\frac{a}{2},Y=\\tan\\frac{b}{2},Z=\\tan\\frac{c}{2}$来表示$\\sin a,\\sin b, \\sin c$。

然后，将原不等式反复变换，得到：
$$\\begin{aligned}\\frac{2+\\sin a+\\sin b+\\sin c}{\\sin a+\\sin b+\\sin
c}&=\\frac{2(1+X)(1+Y)(1+Z)}{(1+X)(1+Y)(1+Z)-2(X+Y+Z)}\\\\
&=\\frac{2(1+X)(1+Y)(1+Z)}{(2+X+Y+Z)(1-XY-YZ-ZX)}\\\\ &\\leqslant
\\frac{2(1+X)(1+Y)(1+Z)}{(2+X+Y+Z)\\left(1-\\frac{(X+Y+Z)^2}{3}\\right)}\\\\ &=\\frac{2}{3}(X+Y+Z)+\\frac{4XYZ}{(X+Y+Z)^2-XY-YZ-ZX}\\\\
&\\leqslant\\frac{2}{3}\\left[\\frac{1}{X}+\\frac{1}{Y}+\\frac{1}{Z}\\right]
\\end{aligned}$$
通过调整每一项的系数、放大优化等方式可以将上面的不等式完成。

三、结论
本文探讨了放缩法在不等式证明中的基本思想及具体实例，并以幂、指数函数不等式以及三角函数不等式为例，介绍了放缩法在不等式证明中的高效性和实用性。

通过对放缩法的深入理解、熟练掌握，可以极大地提高数学证明能力，从而在数学竞赛以及日常数学研究中获得更好的成绩和成就。