广东省潮州市鸿程中学2020年高三数学理期末试题含解析

广东省潮州市鸿程中学2020年高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数，若是的最小值，则的取值范围为（）.
A． B． C. D．
参考答案：
【知识点】分段函数的应用．B1
【答案解析】D 解析：当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，故选：D．
【思路点拨】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．
2. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为2,且有一个内角为60°的菱形，俯视图为
正方形，那么这个几何体的体积为
A. B. C. D.
参考答案：
C
3. 抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )
A.(，0)
B.(，0)或(－，0)
C.(0，)
D.(0，)或(0，－)参考答案：
C
4. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
5. 若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数y=的大致图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，
可得a＞1，
则函数是奇函数，可知B不正确；
当x→0+，时，函数＜0，排除A，
当x=a10时，函数=→0，排除D，
故选：C．
6. 已知函数，若，则函数的零点个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
参考答案：
D
由，得。

若，则，所以或，解得或。

若，则，所以或，解得或
成立，所以函数的零点个数是4个，选D.
7. 下列命题：①；②；③，
④中，其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
D
略
8. 已知数列满足：，若数列的最小项为1，则m的值为
A．B．C．D．
参考答案：
B
9. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A． B.
C． D.
参考答案：
B
10. 某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取168人进行调查，其数据如右表所示. 由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是
A．1.68万B．3.21万C．4.41万D．5.59万
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案：
答案：
解析：，
,
又因为与不共线,所以,所以
12. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所
示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是_____个．
参考答案：
650
略
13. 设x，y满足约束条件则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点（x，y）是．
参考答案：
（2，3）
分析：
本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约
束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．
解答：
解：约束条件对应的平面区域如下图示：
由图可知，当目标函数z=6x+5y对应的直线经过点（2，3）时，
目标函数z=6x+5y有最大值，
故答案为：（2，3）．
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先
14. 已知向量，，若，则实数的值等于_________．
参考答案：
15. 已知函数满足
，且
时，
，则
与
的图象的交点个数为
.
参考答案： 4
16. 在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数
和
，使得
，则
.
参考答案：
；
17. 在三角形ABC 中，A=30°，AC=4，BC=3，则三角形ABC 的面积等于__________．
参考答案：
或
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若，求
的值。

参考答案：
解：（Ⅰ）已知函数即，……………………3分
令，则，
即函数的单调递减区间是；…………………………6分
（2）由已知
，………………9分
当时，
.……………………12分
略
19. 已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，它的前n 项和为S n ；
（1）若S 3=3，S 6=﹣21，求公比q ；
（2）若q ＞0，且T n =a 1+a 3+…+a 2n ﹣1，求
．
参考答案：
【考点】数列的极限．
【分析】（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q ；
（2）分别运用等比数列的求和公式，求得S n ，T n ，再对公比q 讨论：0＜q ＜1，q=1，q ＞1，由极限公式，即可得到所求值．
【解答】解：（1）S 3=3，S 6=﹣21，
可得q≠1，则
=3， =﹣21，
两式相除可得1+q 3=﹣7， 解得q=﹣2；
（2）S n =
，
T n =a 1+a 3+…+a 2n ﹣1=
．
当q＞1时，==0；当0＜q＜1时，==1+q；
当q=1时，==1．
20. （本小题满分12分）已知等差数列，满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）令（），求数列的前n项和．
参考答案：
（1）
（2）
略
21. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．
（Ⅱ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），
=0， =0，
∴PD⊥AB，PD⊥AE，
∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，
∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，
∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，
∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．
22. （本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列的前项和为，，且成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
参考答案：。