2023年四川省广安市中考数学试卷

2023年四川省广安市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）6-的绝对值是()
A ．6
-B ．6
C ．1
6
-
D ．
16
2．（3分）下列运算中，正确的是()
A ．246
a a a +=B ．3263412a a a ⋅=C ．222
(2)4a b a b +=+D ．2336
(2)8ab a b -=-3．（3分）2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升．12-月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长10.8%．请将116亿用科学记数法表示()
A ．9
1.1610⨯B ．10
1.1610⨯C ．11
1.1610⨯D ．8
11610⨯4．（3分）如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）下列说法正确的是(
)
A ．三角形的一个外角等于两个内角的和
B ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C ．在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8
D ．甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，
甲组的方差2
0.25S =甲
，乙组的方差20.15S =乙，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定
6．（3分）已知a 、b 、c 为常数，点(,)P a c 在第四象限，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是(
)
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判断
7．（3分）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y （单位：)N 与铁块被提起的时间x （单位：)s 之间的函数关系的大致图象是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（3分）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，1y 、2y 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y （单位：元）与行驶路程S （单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x 元，则可列方程为(
)
A ．
251030.1
x x =
-B ．
251030.1
x x =
+C ．
2510
30.1x x
=
+D ．
2510
30.1x x
=
-9．（3分）如图，在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点
F ，则图中阴影部分的面积是(
)
A ．2π-
B ．22π-
C ．24π-
D ．44
π-10．（3分）如图所示，二次函数2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠的图象与
x 轴交于点(3,0)A -，(1,0)B ．有下列结论：①0abc >；②若点1(2,)y -和2(0.5,)y -均
在抛物线上，则12y y <；③50a b c -+=；④40a c +>．其中正确的有(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（316的平方根是．
12．（3分）函数2
x y +=
的自变量x 的取值范围是．
13．（3分）定义一种新运算：对于两个非零实数a 、b ，a ※x
y b a b
=+．若2※(2)1-=，则(3)-※3的值是
．
14．（3分）如图，ABC ∆内接于O ，圆的半径为7，60BAC ∠=︒，则弦BC 的长度为
．
15．（3分）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为cm ．
（杯壁厚度不计）
16．（3分）在平面直角坐标系中，点1A 、2A 、3A 、4A ⋯在x 轴的正半轴上，点1B 、
2B 、3B ⋯在直线(0)y x =
上，若点1A 的坐标为(2,0)，且△112A B A 、△223A B A 、△334A B A ⋯均为等边三角形，则点2023B 的纵坐标为．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：20240
1()2cos60|3|
2
-+-
-︒+．18．（6分）先化简2221
(1)121
a a a a a a --+÷+++，再从不等式23a -<<中选择一个适当的整数，代入求值．
19．（6分）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ，且AF CE =，BAC DCA ∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
20．（6分）如图，一次函数9
(4y kx k =+为常数，0)k ≠的图象与反比例函数(m y m x
=为常数，0)m ≠的图象在第一象限交于点(1,)A n ，与x 轴交于点(3,0)B -．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P 在x 轴上，ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A 书法，B 绘画，C 舞蹈，D 跆拳道四类兴趣班．
为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴
趣班的人数约为
人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．22．（8分）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A 种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．23．（8分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30︒方向，点D在点E的北偏东58︒方向．（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B 到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin580.85
≈
︒≈，3 1.73)
︒≈，tan58 1.60
︒≈，cos580.53
24．（8分）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径作O ，交斜边AC 于点D ，点E 是BC 的中点，连接OE 、DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若4
sin 5
C =，5DE =，求A
D 的长；（3）求证：22D
E CD OE =⋅．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点
C ，点B 的坐标为(1,0)，对称轴是直线1x =-，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，
交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；
（3）若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N 、C 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：|6|6-=．故选：B ．
2．【解答】解：A 、2a 与4a 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 、3253412a a a ⋅=，不符合题意；
C 、222(2)44a b a ab b +=++，不符合题意；
D 、2336(2)8ab a b -=-，符合题意．
故选：D ．
3．【解答】解：116亿1011600000000 1.1610==⨯．故选：B ．
4．【解答】解：这个组合体的俯视图如下：
故选：B ．
5．【解答】解：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故选项A 错误，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，但对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故选项B 错误，不符合题意；
在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8，故选项C 正确，符合题意；
甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组
的方差2
0.25S =甲
，乙组的方差20.15S =乙，则乙组同学的成绩比甲组同学的成绩稳定，故选项D 错误，不符合题意；故选：C ．
6．【解答】解： 点(,)P a c 在第四象限，
0a ∴>，0c <，0ac ∴<，
∴方程20ax bx c ++=的判别式△240b ac =->，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．
故选：A ．
7．【解答】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，F F G +=拉浮，此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；当铁块逐渐露出水面的过程中，F F G +=拉浮，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，F G =拉，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．故选：A ．
8．【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x 元，则燃油汽车每千米所需费用为(30.1)x -元，依题意得：2510
30.1x x
=-．故选：D ．
9．【解答】解：在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC ==，
45A B ∴∠=∠=︒，
∴阴影部分的面积ABC
CAE CBF S S S S ∆=+-扇形扇形245(22)1
23602π⨯=⨯-⨯24π=-．
故选：C ．
10．【解答】解：由图象可得，
0a <，0b <，0c >，则0abc >，故①正确，符合题意；
二次函数2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠的图象与x 轴交于点(3,0)A -，
(1,0)B ，
∴该函数的对称轴为直线31
12
x -+=
=-，0.5x ∴=-和 1.5x =-对应的函数值相等，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，∴若点1(2,)y -和2(0.5,)y -均在抛物线上，则12y y <，故②正确，符合题意；
对称轴是直线31
12
x -+==-，12b
a
∴-
=-，2b a ∴=，
点(1,0)在该函数图象上，0a b c ∴++=，20a a c ∴++=，
即30a c +=，
55230a b c a a c a c ∴-+=-+=+=，故③正确，符合题意；0a b c ++= ，0a <，20a b c ∴++<，220a a c ∴++<，
即40a c +<，故④错误，不符合题意；故选：C ．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：
4=，4的平方根为2±，
∴的平方根为2±．
故答案为：2±．
12．【解答】解：根据题意得：20
10x x +⎧⎨-≠⎩
，
解得：2x -且1x ≠．故答案为：2x -且1x ≠．
13．【解答】解：2 ※(2)1-=，
∴
122
x y
+=-，2x y ∴-=．(3)∴-※333
x y =+-1
()
3x y =--12
3=-⨯23
=-．故答案为：2
3
-．
14．【解答】解：作OD BC ⊥于点D ，连接OB ，OC ，如图所示，
60BAC ∠=︒ ，
2120BOC BAC ∴∠=∠=︒，OD BC ⊥ ，
60BOD ∴∠=︒，7OB =，BD CD =，373
sin 7sin 60722
BD BO BOD ∴=⋅∠=⨯︒=⨯=
，2BC BD ∴==，
故答案为：．
15．【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作B 关于EF 的对称点B '，连接B A '，则B A '即为最短距离，
10()B A cm '===．
故答案为：10．
16．【解答】解：设等边△1n n n B A A +的边长为n a ，
△1n n n B A A +是等边三角形，∴△1n n n B A A +的高为3sin 602n n a ⋅︒=
，即n B 的纵坐标为3
2
n ， 点1A 的坐标为(2,0)，
12a ∴=，2224a =+=，31228a a a =++=，4123216a a a a =+++=，⋯，
2n n a ∴=，
n B ∴12n -，
当2023n =时，
n B ∴20222，
20222．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．【解答】解：原式11123
2
=-+-⨯+-1113=-+-+-
2=．
18．【解答】解：2221
(1)121
a a a a a a --+÷+++2221(1)1(1)(1)
a a a a a a -++=⋅
++-1
1
a =-．23a -<< 且1a ≠±，
0a ∴=符合题意．
当0a =时，原式1
101
=
=--．19．【解答】证明：AF CE = ，
AF EF CE EF ∴-=-．AE CF ∴=．BAC DCA ∠=∠ ，//AB CD ∴．BAE DCF ∴∠=∠．
在ABE ∆与CDF ∆中，
BAE DCF AE CF
AEB CFD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
．()ABE CDF ASA ∴∆≅∆．AB CD ∴=．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
20．【解答】解：（1）将(1,)A n 、(3,0)B -分别代入一次函数9
4
y kx =+，得
94
930
4k n k ⎧+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩．解得343
k n ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩．
故(1,3)A ．
将其代入反比例函数m
y x
=
，得31
m
=．解得3m =．
故一次函数的解析式为394
4
y x =+，反比例函数的解析式为3y x
=；
（2）由（1）知，(1,3)A 、(3,0)B -
，则5AB ==．
设(,0)
P a，
当AB AP
=时，5=．
解得5
a=或3
a=-（舍去）．
故(5,0)
P；
当AB PB
=时，5|3|a
=--．
解得8
a=-或2
a=．
故(8,0)
P-或(2,0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：(5,0)或(8,0)
-或(2,0)．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．【解答】解：（1）本次抽取调查的学生总人数为1830%60
÷=（人)，
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为
6
3000300
60
⨯=（人)，
故答案为：60，300；
（2）A选项人数为6035%21
⨯=（人)，
C选项人数占被调查的总人数的百分比为15100%25%
60⨯=
，
D选项人数占被调查总人数的百分比为6100%10%
60⨯=
，补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，所以两人恰好选择同一类的概率为
41164
=．22．【解答】解：（1）设A 种盐皮蛋每箱价格为a 元，B 种盐皮蛋每箱价格为b 元，由题意可得：96390
58310a b a b +=⎧⎨
+=⎩
，
解得30
20a b =⎧⎨
=⎩
，答：A 种盐皮蛋每箱价格为30元，B 种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）设购买A 种盐皮蛋x 箱，则购买B 种盐皮蛋(30)x -箱，总费用为w 元，由题意可得：3020(30)10600w x x x =+-=+，
w ∴随x 的增大而增大，
A 种的数量至少比
B 种的数量多5箱，又不超过B 种的2倍，∴(30)5
2(30)x x x x -+⎧⎨-⎩
，解得17.520x ，
x 为整数，
∴当18x =时，w 取得最小值，此时780w =，3012x -=，
答：购买18箱A 种盐皮蛋，12箱B 种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元．
23．【解答】解：（1）过D 作DF AE ⊥，垂足为F ，
由题意得：四边形ACDF 是矩形，
170DF AC ∴==米，
在Rt EFD ∆中，58DEF ∠=︒，
170
200sin 580.85
DF DE ∴=
≈=︒（米)，∴步道DE 的长度约为200米；
（2）小红从A 出发，经过点B 到达点D 路程较近，理由：在Rt EFD ∆中，58DEF ∠=︒，170DF =米，
170
106.25tan 58 1.6
DF EF ∴=
≈≈︒（米)，在Rt ABC ∆中，903060BAC ∠=︒-︒=︒，170AC =
米，
tan 60BC AC ∴=⋅︒=（米)，170170
3401cos602
AB ∴=
==︒
（米)，100BD =
米，
100)CD BC BD ∴=+=米， 四边形ACDF
是矩形，100)AF DC ∴==
米，
100106.25287.8AE AF EF ∴=-=+-=米米，
∴某人从A 出发，经过点B 到达点D 路程340100440AB BD =+=+=（米)，
某人从A 出发，经过点E 到达点D 路程287.8283570.8AE DE =+=+=（米)，
440 米570.8<米，
∴小红从A 出发，经过点B 到达点D 路程较近．
24．【解答】解：如图：
五、推理论证题（9分）
25．【解答】（1）证明：连接OD，BD，
在Rt ABC
∠=︒，
ABC
∆中，90
是O 的直径，
AB
∴∠=︒，
90
ADB
BDC ADB
∴∠=︒-∠=︒，
18090
点E是BC的中点，
∴==，
DE BE EC
、OD是O 的半径，
OB
∴=，
OB OD
又OE OE
=
，
∴∆≅∆，
ODE OBE SSS
()
∴∠=∠=︒，
90
ODE OBE
∴半径OD DE ⊥，
DE ∴是O 的切线；
（2）解：连接BD ，如图，
由（1）知：DE BE EC ==，90ADB BDC ABC ∠=∠=∠=︒，
5DE = ，10BC ∴=，4sin 5
C = ，∴
4
5
BD BC =，8BD ∴=，
90C CBD ABD CBD ∠+∠=∠+∠=︒ ，ABD C ∴∠=∠，4sin sin 5
ABD C ∴∠=∠=，∴
4
5
AD AB =，设4AD x =，则5AB x =，
222AD BD AB += ，222(4)8(5)x x ∴+=，
解得：83
x =（负值舍去），
832
4433
AD x ∴==⨯=；（3）证明：连接BD ，
由（1）（2）得：90BDC OBE ∠=∠=︒，BE DE =，
点O 是AB 的中点，点E 是BC 的中点，//OE AC ∴，2BC BE =，C OEB ∴∠=∠，BCD OEB ∴∆∆∽，∴
CD BC BE OE =，即2CD DE
DE OE
=
，22DE CD OE ∴=⋅．
六、拓展探究题（10分）
26．【解答】解：（1） 抛物线对称轴是直线1x =-，点B 的坐标为(1,0)，
∴点A 的坐标为(3,0)-，
∴二次函数解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+=+-；
（2）连接ON ，如图：
设(,0)P m ，则2(,23)N m m m +-，在223y x x =+-中，令0x =得3y =-，
(0,3)C ∴-，3OC ∴=，
AON BOC CON
ABCN S S S S ∆∆∆∴=++四边形2111
3(23)133()222
m m m =
⨯--++⨯⨯+⨯-239
6
22m m =--+23375()228
m =-++，
第21页（共21页）302
-< ，∴当32m =-
时，ABCN S 四边形取最大值758，此时3(2P -，0)；
∴四边形ABCN 面积的最大值是758，此时点P 的坐标为3(2
-，0)；（3）在y 轴上存在点Q ，使以M 、N 、C 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由(3,0)A -，(0,3)C -得直线AC 解析式为3y x =--，设(0,)Q t ，(,0)P n ，则(,3)M n n --，2(,23)N n n n +-，//MN CQ ，
∴当M 、N 、C 、Q 为顶点的四边形是菱形时，MN ，CQ 是一组对边；①当MC ，NQ 为对角线时，MC ，NQ 的中点重合，且CN CQ =，∴222223323(2)(3)n t n n n n n t ⎧---=++-⎨++=+⎩
，解得03n t =⎧⎨=-⎩（此时M ，N 与C 重合，舍去）或21n t =-⎧⎨=-⎩；(0,1)Q ∴-；
②当MQ ，CN 为对角线时，MQ ，CN 的中点重合，且CQ CM =，∴22223233(3)()n t n n t n n ⎧--+=+--⎨+=+-⎩
，解得03n t =⎧⎨=-⎩
（舍去）或31n t ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩
31n t ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩
(0,1Q ∴--
或(0,1-+；
综上所述，Q 的坐标为(0,1)-
或(0,1--
或(0,1-+．。