从圆幂定理到圆锥曲线幂定理

从圆幂定理到圆锥曲线幂定理
724300 陕西省略阳县天津⾼级中学陈波
2016年6期
史知识的互补性，另⼀⽅⾯，感受数学史料在思考、探究现代数学问题中所起到的重要指引作⽤．1．数学史料的呈现
古希腊著名学者阿波罗尼奥斯所著的《圆锥曲线论》共8卷，含487个命题，可以说是古希腊⼏何的登峰造极之作．阿波罗尼奥斯在其著作中使⽤纯⼏何⽅法已取得了今天⾼中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果．阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中所说的“⼀圆锥截线”即现在解析⼏何中的椭圆、抛物线、双曲线的⼀⽀，“⼆相对截线”即双曲线．其中，卷3命
题16、17、23就蕴含着圆幂定理与圆锥曲线幂定理之间的本质联系．
《圆锥曲线论》卷3命题16、17如下：
命题16 如果与⼀圆锥截线或⼀个圆的圆周相切的两直线相交，在这截线上取某个点，从它作⼀切线的平⾏线并与截线和另⼀切线相交，则在两切线上正⽅形的⽐，如同介于这截线和切线之间的两线段所夹的矩形与在切点处截出的线段上正⽅形的⽐．
命题17 如果与⼀圆锥截线或⼀个圆的圆周相切的⼆直线相交，在这截线上任取两点，且从它们作两切线的平⾏线彼此相交且交于截线，则⼆切线上正⽅形之⽐将如同类似取得的线段所夹矩形之⽐．
命题23 如果在共轭的两⼆相对截线中两条与⼀⼆相对截线相切的直线相交于任⼀截线之内，⼜任作平⾏于两切线的两直线相交并交于另⼀⼆相对截线，则两切线上正⽅形的⽐，将如同介于截线和⼆直线交点之间⼆线段所夹的矩形与类似取得的⼆线段所夹矩形的⽐．
2．数学史料的现代⼏何语⾔解释及思考
根据命题16知，过点做圆或圆锥曲线的两条切线、，切点分别为、．再过圆或圆锥曲线上任⼀点做平⾏于的直线，
交圆或圆锥曲线于另⼀点，交于点，则．
根据命题17知，在圆或圆锥曲线上分别以点、为切点的两条切线、交于点．再在圆或圆锥曲线上任取两点、，过点、分别作切线、的平⾏线、，并且、分别交圆或圆锥曲线于点、，同时与交于点，则．
就圆⽽⾔，如图1，有．如图2，有．因为圆⾥，因此上述两个等式分别为，．
因此圆幂定理实际上是说：过平⾯上⼀个定点，任作⼀直线与半径为的圆相交于、两点，则为定值（这⾥、表⽰有向线段的数量）．这个定值叫做点关于此圆的幂，简称圆幂．只是当点在圆内时，，得相交弦定理；当点在圆上时，；当点在圆外时，，得割线定理、切线长定理、切割线定理．
就椭圆⽽⾔，如图3，有．如图4，有．若过椭圆中⼼作、分别与切线、平⾏，则有，故．
⼜图3中，若过椭圆中⼼作、分别与切线、平⾏，则，可得，切线可以看成由割线退化⽽来．
因此，可以得到椭圆幂定理：过平⾯上⼀个定点，任作⼀直线与椭圆交于、两点，过椭圆中⼼作平⾏于的直线交椭圆于点，则为定值（这⾥、表⽰有向线段的数量）．这个定值叫做点关于此椭圆的幂，简称椭圆幂．只是当点在椭圆内时，，得椭圆相交弦定理；当点在椭圆上时，；当点在椭圆外时，，得椭圆的割线定理、切割线定理．就双曲线⽽⾔，仍然有命题16、17中的结论．由于与椭圆类似，不再详细写出．⽽命题23是只涉及双曲线的命题。

根据命题23知，如图5、6所⽰，已知⼀双曲线及其共轭双曲线，中⼼都为，在其中⼀双曲线上分别以点、为切点的两条切线、交于点．再在这个双曲线的共轭双曲线上任取两点、，过点、分别作切线、的平⾏线、，并且、分别交这个双曲线的共轭双曲线于点、，同时与交于点，则．
若过双曲线中⼼作、分别与切线、平⾏，则，故．
这⾥特别需要说明的是，过双曲线中⼼作、分别与双曲线的切线、平⾏，可能、与该双曲线是相交的，也可能、与该双曲线不相交，⽽与该双曲线的共轭双曲线相交．此外，当割线退化成切线时，、两点重合为⼀点，此时有，故．因此，可以得到双曲线幂定理：过平⾯上⼀个定点，任作⼀直线与双曲线交于、两点，过双曲线中⼼作平⾏于的直线交双曲线或该双曲线的共轭双曲线于点，则为定值．这个定值叫做点关于此双曲线的幂，简称双曲线幂．只是当点在双曲线内时，，得双曲线相交弦定理；当点在双曲线上时，；当点在双曲线外时，，得双曲线的割线定理、切割线定理．
就抛物线⽽⾔，仍然有命题16、17中的结论．但由于抛物线是⽆⼼⼆次曲线，因此，在椭圆和双曲线中可以过中⼼作平⾏于的直线，⽽在抛物线中，我们⽆法作出像那样的直线．因此，我们先看下⾯的问题。

如图7所⽰，已知抛物线顶点为，焦点为，抛物线的对称轴与准线交于点，、分别是抛物线的焦点弦，并且是与对称轴垂直的焦点弦．
分别作、垂直于抛物线的对称轴，则，所以．
同理，所以，即．
若在抛物线中过焦点作、分别与抛物线的两切线、平⾏，则有。

⼜，故，即．
同样，当割线退化成切线时，、两点重合为⼀点，此时有，即为．
因此，可以得到抛物线幂定理：过平⾯上⼀个定点，任作⼀直线与抛物线交于、两点，过抛物线焦点作平⾏于的弦，记这个焦点弦长为，则为定值．这个定值叫做点关于此抛物线的幂，简称抛物线幂．
3．圆锥曲线幂定理中定值的代数形式
通过坐标旋转，总可以使得圆锥曲线的对称轴平⾏于坐标轴，从⽽得圆锥曲线⽅程的⼀般形式：＝0 ．
设经过定点的直线m⽅程为（为参数），代⼊上式，整理得
＝0．……………………………………………………………………………………………（*）
设该直线与⼆次曲线的交点为、，则由参数的⼏何意义得。

当，，，时，为椭圆⽅程。

设经过椭圆中⼼O（0，0）且与直线m平⾏的直线与椭圆的交点为、，则．所以．特别地，当，，时，为圆⽅程。

此时，即．
当，，，时，为双曲线⽅程。

设经过双曲线中⼼O（0，0）且与直线m平⾏的直线与双曲线的交点为、，
则．所以．
当，，，时，为抛物线⽅程，其对称轴为x轴，顶点为原点，则由（*）式得
，。

设经过抛物线焦点且与直线m平⾏的直线与抛物线交点为、，则
，
所以．
同样，当，，，时，为抛物线⽅程，其对称轴为x轴，顶点为原点，此时有．
综上可知，圆锥曲线幂可以有统⼀的代数表达形式，充分体现了数学的美．
4．结束语
从圆幂定理到圆锥曲线幂定理的发现及推⼴是不易的．数学史料的研究和探讨往往使得我们能够开启数学之眼，发现数学之门．也能够把数学中所展现的⼀种“冰冷的美丽”变为“⽕热的思考”．
参考⽂献
[1] 阿波罗尼奥斯．圆锥曲线论_1-4卷[M]．朱恩宽，张毓新，张新民，冯汉桥，译．西安：陕西科学技术出版社，2007．。