2020-2021学年四川省成都南开为明学校高二下学期期中考试(理)数学试题(解析版)

四川省成都南开为明学校（为明教育四川学区）
2020-2021学年高二下学期期中考试（理）试题
总分:150分 时间:120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.复数2
(1i)1+i
-=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+
2.在空间直角坐标系中,点()3,2,1P --关于平面xOy 的对称点的坐标是( )
A.(3,2,-1)
B.(-3,-2,-1)
C.(-3,2,1)
D.(3,-2,1)
3.设函数()f x 在1x =处存在导数，则(1)(1)lim 3x f x f x
→∞+∆-=∆ ( ) A.'(1)f B. 3'(1)f C. 1'(1)3f D. '(3)f 4.已知圆22:1A x y +=在伸缩变换'2{'3x x y y
==的作用下变成曲线C ,则曲线C 的方程为( ) A. 22149x y += B. 22194x y += C. 22123x y += D. 22
132x y +=
5.下图是函数()f x 的导函数'()f x 的图像，则下列判断正确的是( )
A.在(2,1)-上，()f x 是增函数
B.在(1,3)上，()f x 是减函数
C.在(4,5)上，()f x 是增函数
D.在(3,2)--上，()f x 是增函数
6.下图示,在四面体O ABC ﹣中,设 ,,,OA a OB b OC c D ===⋅为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE = ( )
A.111244a b c ++
B.111232a b c +-
C.111344a b c ++
D.111344a b c -+
7.如下图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以是( )
A.13n n a -=
B.21n a n =-
C.3n n a =
D.12n n a -=
8.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()3'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =( )
A.12-
B.1
2 C.1- D.e
9.在长方体1111ABCD A B C D -中, 1AB BC ==,1AA =则异面直线
1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )
A.15 D.2
10.如下图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别是棱,AB BC 的中点,则点1C 到平面1B EF 的距离等于( )
A.23 D.43
11.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)3f =，则不等式()3e x
f x <的解集为（ ）
A.(,0)-∞
B.(,2)-∞
C.(0,)+∞
D.(2,)+∞ 12.设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点
②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点
③()f x 在(0,)10π单调递增
④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣
⎭ 其中所有正确结论的编号是( )
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.定积分1
21x dx -⎰的值为 ;
14.在极坐标系中，点π(2,)3
到直线cos 2ρθ=的距离为 ; 15.已知单位向量,a b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =____ ___;
16.定义:如果函数()=y f x 在定义域内给定区间[],a b 上存在00()x a x b <<,满足0()()()f b f a f x b a -=-,则称函数()=y f x 是[]
,a b 上的“平均值函数”, 0x 是它的一个均值点,例如2=y x 是[]1,1-上的平均值函数, 0就是它的均值点.现有函数3()f x x mx =+是
[]1,1-上的平均值函数,则实数m 的取值范围是_______ ___.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知函数2
()ln f x x x =-
(1)求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;
(2)求函数() f x 的单调区间.
18. (12分)已知1111,,,,122334(1)
n n ⨯⨯⨯⨯+，n S 为前n 项和。

(1)计算123,,S S S
(2)猜想n S 公式，并用数学归纳法证明.
19. (12分)如下图,已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形,且60ABC ∠=,E 是DP 中点.
(1)证明://PB 平面ACE
(2)若,AP PB AB PC ===
,求平面EAC 与平面PBC 所成二面角的正弦值.
20. (12分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线13C cos ρθ：＝，曲线2π4cos 02C ρθθ⎛⎫≤<
⎪⎝⎭:=． （1）求1C 与2C 交点的极坐标；
（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =
，求动点P 的极坐标方程.
21. (12分)如下图,正方形ABCD 所在平面与等腰三角形EAD 所在平面相交于AD ,EA ED =,AE ⊥平面CDE .
(1)求证: AB ⊥平面ADE ;
(2)设M 是线段BE 上一点,当直线AM 与平面EAD 所成角的正弦值为3
时,试确定点M 的位置.
22. (12分)已知函数 ()ln x f x ax x
=-. (1)若函数 ()f x 在(1,)+∞上是减函数,求实数a 的最小值;
(2)已知 ()'f x 表示() f x 的导数,若[]2
21,,e e x x ∈∃(e 为自然对数的底数),使()()12'-≤f x f x a 成立,求实数a 的取值范围.
——★ 参*考*答*案 ★——
一、选择题
1. C
2. C
『解 析』∵点()3,2,1P --关于平面xOy 的对称点的坐标横标和纵标不变,
竖标变成原来坐标的相反数,∴点P 关于平面xOy 的对称点的坐标是(3,2,1)-,故选C.
3. C
『解 析』函数()f x 在1x =处存在导数， ∴(1)(1)1lim 33f x f x ∆→∞+∆-=∆，(1)(1)1lim '(1)3
f x f f x ∆→∞+∆-=∆故选：C 4. A
5. C
『解 析』由题图知，当(2,1)x ∈-和(1,3)时，)'(f x 有正有负，故()f x 不单调，A,B 错误；当(4,5)x ∈时，)'(0f x >，所以在(4,5)上，()f x 是增函数，C 正确；当(3,2)x ∈--时，)'(0f x <，所以在(3,2)--上，()f x 是减函数，D 错误.
6. A
『解 析』12OE OA AD =+
11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111244OA OB OC =++111244
a b c =++. 7. A
『解 析』由题意得
21234,1,3,93,a a a a =====3273,=因此{}n a 的通项公式可以是n a 13n -=.
8.A
9. C
『解 析』以D 为坐标原点, 1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,
则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D
所以: 11(1,0,3),(1,1AD DB =-=
因为
: 1111111cos ,5||||2
AD DB AD DB AD DB ⋅-<>===∈, 所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为
5,选C. 10. D
『解 析』以1B 为坐标原点,分别以B B A B C B 11111,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则11(0,0,0),(2,0,0),(0,1,2),(1,0,2)B C E F
设平面1B EF 的一个法向量为(,,)x y z =n ,
则.即20,20.y z x z +=⎧⎨+=⎩令1z =,得(2,2,1)=--n .
又)0,0,2(11=C B ,∴点1C 到平面1B EF 的距离11
4
||3B
C d ⋅==n n ,故选D.
11. C
12. D
『解 析』()sin (0)5f x wx w π⎛⎫
=+> ⎪⎝⎭，
在[0,2]π有且仅有5个零点．
02x π∴≤≤,1
2555wx w πππ≤+≤+,1229
510w ≤<，④正确．
213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；
极小值点为2个或3个．∴②不正确．
当010x π<<时，5105w wx f πππ
π
<+<+，
当2910w =时，2920491051001001002w π
π
π
π
π
π
+=+=<．
∴③正确，故选D ．
二、填空题
13.2
3
『解 析』1
2311
1112| .13333x dx x -⎛⎫==--= ⎪-⎝⎭⎰故答案为2
3
14. 1
『解 析』由题意，得||||cos45=
︒⋅=⋅a b a b .因为向量k -a b 与a 垂直，
所以2()0k k k -⋅=-⋅==a b a a a b ，解得k =. 16.3
(3,]4
-- 『解 析』根据平均值函数的定义,若函数3()f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数,
则关于x 的方程()()()
31111f f x mx --+=--在区间()1,1-内有解, 即关于x 的方程310x mx m +--=在区间()1,1-内有解;
即关于x 的方程21m x x =---在区间()1,1-内有解;
因为函数()2
213124g x x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上 当12x =-取得最大值34
-,当x =1时取得最小值-3, 所以函数()2213124g x x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝
⎭在区间()1,1-上的值域为3(3,]4--, 所以实数m 的取值范围是3(3,]4--.
所以答案应填:3(3,]4
--.
三、解答题
17. 解：(1).因为()2f x x lnx =- 所以()1'2.f x x x =- .............2分
所以()'11f =又因为()11,f =
所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为1 1.y x -=-
即0x y -=. .............5分
(2).因为函数()22f x x lnx =-的定义域为()0,,+∞
由()1'20f x x x =-<得0x << ............7分
()1'20f x x x =->得x >. .............9分
所以函数()2f x x lnx =-的单调递减区间是0,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
单调递增区间为2⎫+∞⎪⎪⎣⎭. ...........10分
18.解：(1).11
1
122S ==⨯，
21112
1122333S =+=-=⨯⨯,
311113
112233444S =++=-=⨯⨯⨯.
............3分
(2).猜想:1n n
S n =+,............5分
证明：①当1n =时，左边11
2S ==,右边1
1
112==+,左边=右边，等式成立.
...........7分
②假设当()*=∈n k k N 时等式成立，即
1111122334(1)1k
k k k ++++=⨯⨯⨯++,
则：1
1
111
122334(1)(1)(2)k k k k ++++=⨯⨯⨯+++
1(2)11(1)(2)(1)(2)k k k k k k k k ++
=+=+++++
2221(1)1
(1)(2)(1)(2)(1)1k k k k k k k k k ++++===++++++
即当1n k =+时，猜想也成立. ...........10分
根据①、②可知，猜想对任何*∈n N 都成立. ...........12分
19.(1).证明:连接,BD BD AC F ⋂=,连接EF ,
四棱锥P ABCD -的底面为菱形,
F ∴为BD 中点,又∵E 是DP 中点, ∴在BDP ∆中,EF 是中位线,PB EF //∴,
又∵EF ⊂平面ACE ,而PB ⊄平面ACE ,
//PB ∴平面ACE ...........4分
(2).如图,取AB 的中点O ,连接,PQ CQ ,
∵ABCD 为菱形,且60ABC ∠=,
ABC ∴∆为正三角形,CQ AB ∴⊥.
设2AB PC ==
,AP PB ∴==
CQ ∴=且PAB ∆为等腰直角三角形,即90APB ∠=,PQ AB ⊥,
AB ∴⊥平面PQC ,且1PQ =,222PQ CQ CP ∴+=,
PQ CQ ∴⊥. ...........7分
如图,建立空间直角坐标系,以Q 为原点,BA 所在的直线为x 轴,QC 所在的直线为y 轴,QP 所在的直线为z 轴,
则()(
)()()(
)(
)
10,0,0,1,0,0,,0,0,1,1,0,0,,2Q A C P B D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()()()310,,,1,3,0,1,0,1,0,3,1
22AE AC PB PC ⎛⎫==-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭, 设1111(
,,)n x
y z =为平面AEC 的一个法向量,
则110{0n AE n AC ⋅=⋅=，即1111
1020y z x +=⎨⎪-+=⎩， 可取)3,1,3(1-=n 。

............8分
设2222(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量,
则1200n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即222200z x z -=--=⎪⎩
，可取(23,1,n =-..............9分 于是1212125cos ,7
n n n n n n ⋅<
>==. ............10分 所以平面EAC 与平面PBC . ...........12分
20.解：（1）曲线1cos 3C ρθ=:，曲线2π4cos 02C ρθθ⎛
⎫=≤
< ⎪⎝⎭:． 联立：cos 34cos ρθρθ
=⎧⎨=⎩，解得：cos θ=.
............2分
∵0,,26π
π
θθρ≤<==分
∴所求交点的极坐标π6⎛
⎫ ⎪⎝⎭. ...........6分
（2）设00P Q ρθρθ（，），（，）且004cos ρθ＝，00,
2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 由已知23OQ QP =，得0025ρρθθ
⎧=⎪⎨⎪=⎩∴22cos 5ρθ=. ...........9分 点P 的极坐标方程为10cos ,0,2πρθθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭. ...........12分
21.(1). 证明:∵AE ⊥平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,∴AE CD ⊥.
在正方形ABCD 中,CD AD ⊥,∵AD AE A ⋂=,∴CD ⊥平面ADE .
∵CD AB //,∴AB ⊥平面ADE . ...........4分
(2).由1可得平面EAD ⊥平面ABCD ,取AD 的中点O ,取BC 的中点F ,连接,EO OF . ∵EA ED =,∴EO AD ⊥,∴EO ⊥平面ABCD ............6分
以,,OA OF OE 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设2AB =,则()()()1,0,0,1,2,0,0,0,1A B E .
设(),,M x y z .∴()()
,1,2,1,2,1BM x y z BE =--=--. ............8分 ∵,,B M E 三点共线,设()01BM BE λλ≤≤=,
∴()1,22,M λλλ--,∴(),22,AM λλλ=--.
设AM 与平面EAD 所成角为θ.
∵平面EAD 的一个法向量为(0,1,0)n =. .............9分
∴sin ,3||cos AM n θ=<>=
=, 解得13
λ=或1λ=- (舍去). ............11分 ∴点M 为线段BE 上靠近点B 的三等分点. ............12分
22. 解：(1). 由已知得函数 ()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞. 而2ln 1'()(ln )
-=-x f x a x ,又函数()f x 在(1,)+∞上是减函数. 2ln 1'()0(ln )-∴=
-≤x f x a x 在(1,)+∞上恒成立. .............2分 ∴当(1,)x ∈+∞时,()max '0f x ≤ 由22ln 111'()()(ln )ln ln -=-=-+-x f x a a x x x 2111()ln 24
a x =--+- ∴当11ln 2x =,即2x e =时,()max 1'4f x a =-.
∴104a -≤,即14a ≥，所以实数a 的最小值为14
. ...........4分 (2)若221,],[∃∈e e x x ,使()()12'-≤f x f x a 成立,
则有2
[,]x e e ∈时,()()min max 'f x f x a ≤+ 由1知当2
[,]x e e ∈时,()max 1'4f x a =-,所以()max 1'4f x a += 由此问题转化为:当2[,]x e e ∈时,()min 14f x ≤
. ............6分 ①当14
a ≥时,由1知,函数()f x 在2[,]e e 上是减函数. 则222min 1()()24e f x f e ae ==-≤,所以21124a e ≥-. ............8分 ②当14a <
时,由于()222ln 111111'()()(ln )ln ln ln 24-=-=-+-=--+-x f x a a a x x x x 在2[,]e e 上是增函数所以()()()2'''≤≤x f e f f e ,即()1'4-≤≤
-a f x a 此时104
->a 若0a -≥,即0a ≤时,()'0f x ≥在2[,]e e 恒成立,函数()f x 在2[,]e e 上是增函数
所以()min 1()4
==-≥>
f x f e e ae e ,不合题意; ............9分 若0a -<即104a <<时,而()'f x 在2[,]e e 上是增函数,且()1'4-≤≤-a f x a 所以存在唯一的20[,]∈x e e 使()0'0,f x =且满足:
当[]0,∈x e x 时,()'0f x ≤,()f x 在[]0,e x 上是减函数;
当20,⎡⎤∈⎣⎦x x e 时,()'0f x >,()f x 在20,⎡⎤⎣⎦x e 上是增函数;
所以()()20000min 01a ,[,]ln 4
==-≤∈x f x f x x x e e x ∴2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=与104
a <<矛盾,不合题意。

综上,得实数 a 的取值范围是21124a e ≥
-. ...........12分。